与圆锥曲线有关的问题

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1、与圆锥曲线有关的问题与圆锥曲线有关的问题内容地位】圆锥曲线是高考的重中之重，高考对圆锥曲线的考查，主要考 查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线 的位置关系和求轨迹方程等内容。涉及的数学思想方法主要有数形 结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、整体思想，以及配方、 换元、构造、待定系数法等数学方法。以圆锥曲线为载体在知识网 络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点。设计意图】04 年对圆锥曲线的考查，主要是对基本知识和基本概念的考 查，没有偏题、怪题、注重通性通法，淡化特殊技巧，因此我设计 此课主要通过问题带动学生对基础知识的理解深化，让学生在已有 知识经验的基础上，主

2、动研究，发现规律，形成能力。对课堂问题 不是讲解，而是和学生一起研究、解决。基础知识梳理】问题1.方程y二1表示什么曲线？x问题2.双曲线y二1的焦点是和。（注意和常规下的x双曲线比较同时复习常规下的圆锥曲线方程的形式）问题3.曲线y二1为什么表示双曲线？（引导学生回忆圆锥曲线的定 x义）和学生一起探究曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常 数。双曲线的两个焦点为F（*2,r2）、卩2（二2），设P（x,y）是双曲线 上任一点，PFTPFJ =1_J1_心+x f环+x r环x + 1 _V2 卜 2/2x + 1 + J2 -x（去绝对值时注意分x +1 2两种情况） xx问题 4.你能

3、用其它方法说明它是双曲线吗？和学生一起尝试用双曲线的第二定义来探究。（同时引导学生复习 相关的几何性质）问题5.问过双曲线y二1的某个焦点且弦长为2迈的弦长有几条？X思考时可以将问题转化为求过双曲线X2 - y2二2右焦点弦长为2迈 的弦长有几条？设直线与双曲线的交点为A、Bo当斜率k存在时，设过右焦点的直线方程为y二k（X - 2），将其与 双曲线 X 2 - y 2 二 2 联立，得（k 2 -1）X2 - 4k 2X + 4k 2 + 2 二 0（k 2 -1 丰 0）则 x + x 二亘,xx = 2（2k 2 +1） oA B k 2 -1 A B k 2 -1由弦长公式得2迈x -

4、x |二彳迈（2 + D.k=0（直观可看出）A B|k 2 -1当斜率k不存在时，将x = 2代入x 2 - y 2二2得y = 迈， : AB = 2迈 o（过焦点的弦长问题可用第二定义，比弦长公式运算量小，也可由 此推出通径长是交同一支中最短的弦长，讲解此问题时可以适当复 习直线与圆锥曲线的关系）例题讲解】例题1. （2004北京东城）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F，其右焦点F和右准线分别是抛物线y2 =-9x + 36的顶点和准线。1求椭圆 C 的方程；若点P为椭圆上C的点，APF F的内切圆的半径为5，求点P1 27到 x 轴的距离；（此问在原题基础上添加的）若点P为椭圆C上的一

5、个动点，当ZF PF为钝角时求点P的取 值范围。（此问也可改成求ZF PF的最大值）设计意图主要复习1圆锥2 曲线的基本知识，待定系数法和定义法等 通性通法的运用。学生可能出现的问题：学生能够知道抛物线的开口方向，在定位顶 点和准线时易出错，所以在和学生一起解决问题时，在有些易出错 的地方故意出错，来加深学生对问题的理解。解：抛物线的顶点为（40），准线方程为x = 4+4 = #,设椭圆的方程为乂 +竺=1（aa 2 b20），则有 c=4,又a2 =c25T设椭圆内切圆的圆心为Q,贝ijS 二 S + S + S二 1X5(PF| + |PF 1+ FF |)= 5習 PF2AQPF!AQ

6、PF2aqfjf2 2 7121 21 10 5设点P至U x轴的距离为h,贝U x 4x h = 5 : h =。2 424|PF | = a 一 ex = 5 + x2o 5 0设点P的坐标为(x ,y ),由椭圆的第二定义得: 004PF I = a + ex = 5 一 x ,05 0由 ZFPF 为钝角知：PF2 + |PF |2 |FF I2-%7 x %7即为所求。(此题也可以用向量的方法解决，也可将404椭圆的方程乂 +竺=1与圆的方程x2 + y2二16联立消去y得x = 也，让学2594生来体会点P的横坐标的取值范围为什么是-口x 0)a2若双曲线与直线l: x + y-1

7、二0的右支交于不同的两点A、B,求双 曲线离心率 e 的取值范围；设点Q(x, y)在双曲线C上第一象限上运动，试求点P(2,xy)的 x 轨迹方程 E；将中轨迹方程E的表达式，写成y二f(x)的形式，求其单调 区间。设计意图通过本例引导学生运用方程思想、函数思想等数学方 法，培养学生分析、解决问题的能力。学生可能出现的问题：基础知识梳理后让学生解决问题应该很容 易，他们可能在解决时不能理解求P点轨迹方程的实质，求点P(丄,xy)的轨迹实质上是求点P的横纵坐标满足的关系式，因此设出 x点P的坐标后，找出它和Q的关系，利用代入的方法就很容易解决 了。解：由双曲线与直线有两个不同的交点知：x2 一

8、 _ 方程组石一 *_1有两组不同的解，消去y整理得: x + y 一 1 _ 0(1-a2)x2 +2a2x-2a2 _ 0解为一正一负，一 2 a 2 00 a 、： 2设 0, y 0)由得y = 空由x 0, y 0得函数的定义域为（0, 1）,1- a2 x2ay / = a2 + a2x2 0在（0,丄）上单调递增。（1- a2x2）2a例3.已知双曲线的中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，离心率为5, 且双曲线上动点P到点（2,0）的最近距离为1.2证明:满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上； 求此双曲线的方程；设此双曲线的左右焦点分别是F、F, Q是双曲线右支上的动 12点，过F

9、作ZF QF的平分线的垂线，求垂足M的轨迹。设计意1图通1过2此问题培养学生逻辑推理能力及掌握数学基本方 法如配方法等方法。学生可能出现的问题：逻辑推理是学生的弱项，相当多的学生在解 决推理问题时说理不清，因果关系不明显，以至于失分较多。对问 题学生能够求出轨迹方程，但不会考虑轨迹的限制条件，不能准 确求出x的范围。解：用反证法，设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则由-上，得-=-。若双曲线焦点在y轴上，a 2 a 2法1：则其双曲线方程为y2 - 4x2二九（九0），求出|pa （用九表示），然后 利用|pa|的最小值为1，推出矛盾。法2：焦点在在y轴上的双曲线的渐近线为y二

10、2x，A到渐近线的距离4d = 1，不可能。设双曲线的方程为：旦-兰=1(b 0)，则P(x,y)到A的距离为:4b 2 b 21(PAI =、：(x- 2)2 + y2 = 5(x-8)2 + -b2 (x e (-s,-2b2b,+s)455-b2 - 1，不可能。 ）5若2b 5，即当X = 2b时，|PA|有最小值2b -2 = 1，解得b二2 （舍去） 或b二3，所以所求双曲线为：乂 -空2 = 1。299设M（x, y），延长QF2与FM交于点T,连接0M。QFj = |QT, |F1 M = MT V点Q是双曲线右支上的动点，|QF - |QF | = |QT| - |QF =

11、2a n |F T| = 2a n OM = a1 2 2 2M在以O为圆心，a为半径的圆上。圆的方程为x2 + y2二9（-655 x 2）（1）若九为常数，试用直线1的斜率k （kH0）表示三角形OAB的 面积。（2）若九为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程。（3）若九变化，且九二k2+l,试问：实数九和直线1的斜率k（kR），分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？ 并求此时的椭圆方程。设计意图此题在向量的背景下把方程、不等式、函数联系在 一起，能够把前后知识联系起来，能够提高学生综合运用数学知 识和数学思想方法解决问题的能力。学生可能出现的问题：问题综合性强、运

12、算要求高，学生在解 决问题时不可能一蹴而就。问题是一个双参数问题，学生理不 清思路，建立不起来函数关系。解：设椭圆方程为：(1 X)(3k2 +1) 一1，x2 _ (1 X)(3k2 +1) 一1 +兰=1(a b 0), a2 b2得a2二3b2，故椭圆方程为：x2 + 3y2二3b2直线1： y = k(x +1)交椭圆于A(x , y )，B(x , y )两点,1122 由 CA =九 BC 得(x +1, y ) X (1 x，y )x +1 一九(x +1)12y Xy121 1 2 2把1： y k(x +1)代入椭圆方程得:(3k 2 +1)x2 + 6k 2 x + 3k

13、2 3b 2 0 且k 2 (3b 2 1) + b 2 0丄6k2x + x x x12 *3k 2 +11 2r 1S-入yAOAB21y23k 3b 2 3k 2 +1lX +1由知道x + 1 2s -X+1AOABX 11-2 lX + 1y 22(1 X )(3k 2 +1) 2)2I引x2 +1 S _ X +1AOAB X 1网 J 0)3k 2 +13鬧+占1加31/3当且仅当3|k -时，即k -土三 时，S取得最大值。一阴3将k - 代入中得3b2 3X + 1，故所求为(X 1)2x 2 + 3 y 2 - X2 +1(k 2)(X 1)2由联立得 x 1(x 2代入得

14、3b 2 - 31. (04辽宁高考)已知点A(-2,0)、B (3,0)，动点P(%, y)满足 PA PB = x2，则P点的轨迹是()A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线2. 已知椭圆乂 +竺=1的弦AB的中点坐标为(1,1),则弦AB的斜42率为()A.2 B.丄 C.-2D.-丄2 23. 设F是抛物线y2二2px(p 0)的焦点,P是抛物线上一点,FP的 延长线交y轴于Q,若P恰好是FQ的中点，则|pf| =()A. P B. Z.PC. p D.空3 344. 在平面直角坐标系中，若方程m(x2 + y2 + 2y +1)二(x 2y + 3)2表 示的曲线为椭圆，则

15、m的取值范围是()A. 0 m 1 C. 0 m 55. 我国发射的“神州”五号载人飞船的运行轨道是以地球的中 心为一个焦点的椭圆，近地点距地面m千米，远地点距地面n 千米，地球的半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为()A.2i：(m + R)(n + R) B. ,(m + R)(n + R)C.mn D.2mn6. 已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y = bx,(a,b 0)，若双曲线上有一点 M(x, y)，使 b|xj b时在x轴上 D.当a b 时在 y 轴上7. 已知抛物线y2二a(x +1)的准线方程为x = -3，那么抛物线的焦点坐标为 。8. 过双曲线乂 22 =

16、 1的右焦点F(c,0)的直线交双曲线于M、N两 a 2 b2点，交y轴于P点，显然PM =九MF,PN =九NF，规定：p p 1 2九+九二PM+PN，贝U有PM+PN的定值为込，类比双曲线这 19已知曲线竺21二1(a 0, b 0)的离心率e二，直线l过A (a,a 2b230)、B (0，-b)两点，原点0到l的距离是空. MF NFmF NFb2PM +型的定值为 mf nF一结论，在椭圆兰+ 21 = 1(a b 0)中,a 2 b2求双曲线的方程；过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM - ON = -23， 求直线 m 的方程.10.抛物线方程y2 = p(x +1)(p

17、 0)，直线x + y = t与X轴的交点在 抛物线准线的右边.求证:直线与抛物线总有两个交点；设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B，求p关于t的函数 f (t)的表达式；在条件下，若t变化，使得原点到直线AB的距离不大于迈2 求p的取值范围。11.已知椭圆C :竺+上=1(a b 0)的一条准线方程是x = 25,其1 a2 b24左、右顶点分别是A、B；双曲线c : 乂-竺=1的一条渐近线方程2 a 2 b 2为 3 x 5y=0.求椭圆C的方程及双曲线C的离心率；12在第一象限内取双曲线C上一点P,连结AP交椭圆C于点2112+X 1)2(X 1)2 3X 2)当X 2时，3b2是X的减函数，故当X =2时(3b3) 3 故椭圆方程为x2 + 3y2 3。思维能力训练】 max