二章节随机信号分析

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1、1第二章 随机信号分析2.1 随机过程的基本概念2.2 平稳随机过程2.4 高斯过程2.5 窄带随机过程2.6 随机过程通过线性系统22.1 随机过程的基本概念n随机过程是时间t的函数n在任意时刻观察，它是一个随机变量n随机过程是全部可能实现的总体 34分布函数与概率密度：n设 表示一个随机过程，（t1为任意时刻）是一个随机变量。F1（x1，t1）=P x1 的一维分布函数n如果存在n n则称之为 的一维概率密度函数)(t)(1t)(1t)(t),(),(1111111txfxtxF)(t5 的n维分布函数n维概率密度函数 n越大，Fn，fn描述 的统计特性就越充分nnnnnxtxtxtPtt

2、txxxF)(,)(,)(),;,(22112121nnnnnxxxtttxxxF212121),;,(),;,(2121nnntttxxxf)(t)(t6数学期望与方差 E =D =E -E 2 =E 2-E 2=协方差函数与相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性协方差 B（t1，t2）=E -a（t1）-a（t2）=)(),(1tadxtxxf)(t)(2t)(t)(t)(t)(t)(t)(11tax)(1t)(2t212121222),;,()(dxdxttxxftax 7相关函数 R（t1，t2）=E =B（t1，t2）=R（t1，t2）-E E ，表示两个随机过

3、程互协方差函数 互相关函数212121221),;,(xddxttxxfxx)(1t)(2t)(1t)(2t)(t)(t),(21ttB)()()()(2211tattatE)()(),(2121ttEttR82.2 平稳随机过程任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关),;,(2121nnntttxxxf),;,(2121nnntttxxxf任意的n和 因此，一维分布与t无关，二维分布只与t1，t2间隔 有关。均值 （2）方差 （3）相关函数 R（t1，t2）=（4）（1）dxtxxftE),()(adxxxf)(2)()(tatEdxtxfax),()(222)()(dxxfax212

4、121221),;,(xddxttxxfxx)()(21RttR9均值，方差与时间无关相关函数只与时间间隔有关满足（2），（3），（4）广义平稳（宽平稳）满足（1）狭义平稳（严平稳）时间平均：取一固定的样本函数（实现）对时间取平均 x（t）为任意实现22)(1limTTTadttxT2222)(1limTTTdtatxT22)()()(1limTTTRdttxtxT10平稳随机过程 ，其实现为x1（t），x2（t），xn（t），如其时间平均都相等，且等于统计 平均，即 a=则称平稳随机过程 具有各态历经性。各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简化计算。)(ta22)()(RR)(t11相关函

5、数与功率谱密度)(t 为实平稳随机过程，其自相关函数性质：（1）R（0）=E =S 的平均功率（2）R（）=R（-）R（）是偶函数（3）)(2t)(t)0()(RR证明：2)()(ttE)()()(2)(22ttttE)()(2)0(2ttER0)(2)0(2RR)()0(RR12（4）的直流功率（5）的交流功率 任意确定功率信号f（t），功率谱密度)(t)(t)()(2tER2)()0(RR)(SPTFPTTS2)(lim)()(TF 是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均，某一实现之截短函数)()(TTFt)(tTFEPEPTT

6、S2)(lim)()()()(RPdPS)(2113你应该知道的：n傅里叶变换n记为：nF（j）=F f（t）nf（t）=F-1F（j）dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)(14 的自相关函数与功率谱密度之间互为傅氏变换关系n例：某随机过程自相关函数为R（），求功率谱密度。n解：)(tdteRptj)()(tsR其它,02,2)(222dtetj2212tjejjeejj242228 Sa1516例 求随机相位正弦波 的自相关函数与功率谱密度，常数，在（0，2 ）均匀分布。n解 )sin()(0tt0)sin()(0tEtasincoscossin00ttE0)()(),(21

7、21ttEttR0cos21)()(cos000)(2)(2)(00P21)0(RS21)(21dPs172.3高斯过程 任意的n维分布都服从正态分布的随机过程n一维概率密度函数 a 数学期望，均方差，方差nf（x）关于 x=a 对称nf（x）在 单调上升，单调下降 或 n 且有 )2)(exp(21)(22axxf2),(a),(axx0)(xf1)(dxxf21)()(aadxxfdxxf1819分布函数 n概率积分函数n误差函数n互补误差函数dzazxFx2)(exp21)(22)()(axxF)2(211)2(2121)(axerfcaxerfxFax ax dzzxx)2exp(21

8、)(2xzdzexerf022)(xzdzexerfxerfc22)(1)(202.4 窄带随机过程窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频)(Scfcf21 n 同相分量n 正交分量n 为零均值，平稳高斯窄带，确定 统计特性)(cos)()(tttatc0)(tatttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats)(t)(ta)(t)(tc)(ts22结论1：n推导：由于 平稳，零均值，即任意t，均有0)()(tEtEscttEttEtEcsccsin)(cos)()()(t0)(tE0)()(tEtEsc

9、23结论2：同一时刻 不相关，或统计独立。cs0)0(csR0)0(scR),(ttR)()(ttE)()(ttEcc)(coscosttcc)()(ttEsc)(sincosttcc)()(ttEcs)(cossinttcc)()(ttEss)(sinsinttcc),(ttRc),(ttRsc),(ttRcs),(ttRs平稳)(t)(),(RttR24令 t=0n显然要求n令 同理可得ctttRRccos),()(0ctttRscsin),(0)(),(ccRttR)(),(scscRttRccsccRRRsin)(cos)()(ct2cccssRRRsin)(cos)()(（1）（2）

10、25由（1），（2）可得n根据互相关函数的性质，应有 是 的奇函数 有 同理可证 即同一时刻 不相关，或统计独立。)()(scRR)()(csscRR)()(csscRR)()(cscsRR（3）)(csR0)0(csR0)0(scRcs26由（1），（2）还可得 平均功率相等即 方差相等结论3：，是高斯过程 证：当)0()0()0(scRRR222sc)(tc)(ts01t)()(11ttcct22)()(22tts)(1tc)(2ts故：是高斯随机变量。)(tc)(ts是高斯过程27重要结论：n均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳随机过程，均值为零，方差相同，在同一时

11、刻得到的 及 不相关，或统计独立。cs28 统计特性n 服从瑞利分布n 服从均匀分布)(),(ttaa2exp)(222aaaf0a21)(f2029理想的宽带过程白噪声n n0为常数n白噪声的自相关函数仅在 时才不为零，故白噪声只有在 时才相关，在任意两个时刻上随机变量都不相关。2)(0nP)(2)(0nR0030带限白噪声n对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量)(p20n0f0f31021f021f32例：限带3400Hz的语音信号和加性噪声，以fs=6800Hz的速率对x（t）进行抽样n tX(t)=s(t)+n(t)()()(ssskTnkTSkTX)()()(s

12、sxkTXkTXER)()()()(nssnnsRRRR)(sR332.5随机过程通过线性系统线性系统响应v0（t），输入vi（t），冲激响应h（t）n线性系统是物理可实现的，则 或当输入是随机过程 时，输出为dthvtvi)()()(0)()()(0ivHvdthvtvti)()()(0dtvhtvi00)()()()(ti)(0t00)()()(dthti34假定输入 是平稳随机过程，考察 的特性)(ti)(0t)(0tE00)()()(dthEtEi0)()(dtEhi（平稳性）)(tEi0)()(dhtEi000)()()0(dtethHHtj0)(dtth)0()()(0HtEtEi

13、1、352、的自相关函数n由平稳性 n输出过程是广义平稳的。)(0t),(110ttR),(110ttR)()(1010ttE01)()(dthEi01)()(dthi010)()()(tEhhiddti)(1)()()(11iiiRttE),(110ttR)()()()(000RddRhhi363、的功率谱密度n令 则)(0t)(0P)(0PdeRj)(0deRhhddji)()()(00)(0P00)()(dehdehjjdeRji)()()()(*iPHH)()(2iPH374、输出过程 的分布n将 改写为和式：可知：若 为正态随机变量 也为正态随机变量 高斯过程经线性变换后的过程仍为高

14、斯的。)(0t00)()()(dthtikkkkihttk)()(lim)(000)(ti)(0t38思考：随机过程 ，A是均值为a，方差为 的高斯随机变量，求：n1、及 的两个一维概率密度。n2、是否广义平稳？n3、的功率谱n4、平均功率是多少？tAtcos)(2A0)(tt1)(tt)(t)(t39解：1、Att0)()2)(exp(21)(220AAaxxfAtt1)()2)(exp(21)(221AAaxxf2、在 t=0 及 t=1 时刻，均值不同，一维特征与时间有关)(coscos),(002ttAEttR)(coscos002ttAE)(coscos)(0022ttaA自相关函数与时间有关，不是广义平稳过程)(t403、功率谱并不反映随机信号的相位特征，因此，求功率谱，先对R进行时间平均。n4、022cos2),(attRA)()(2)()(0022aPA2),(220attRSA