九章节相似理论与量纲分析

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1、第九章第九章 相似理论与相似理论与量纲分析量纲分析 流体力学的研究方法中实验研究既是流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。绳，具有很重要的作用。本章将探讨其理论基础：本章将探讨其理论基础：相似理论相似理论 量纲分析量纲分析9.1 9.1 相似理论基础相似理论基础 为使模型流动能表现出原型流动的主为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在型流动的结果，就必须使两者在流动上相流动上相似似，即两个流动的对应时刻对应点上同名，

2、即两个流动的对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系。物理量具有各自的比例关系。具体来说，具体来说，两相似流动应几何相似两相似流动应几何相似 、运动相似、运动相似、动力相似动力相似。两流动相似应满足两流动相似应满足的条件的条件一一 几何相似（空间相似）几何相似（空间相似）定义：定义：两流动流场的几何形状相似两流动流场的几何形状相似,即两即两流动的对应长度成比例，对应角度相等。流动的对应长度成比例，对应角度相等。引入尺度比例系数引入尺度比例系数 进而，面积比例系数进而，面积比例系数 体积比例系数体积比例系数mplllC 2lmpACAAC3lmpVCVVC模型流动用下标模型流动用下标m表示表

3、示原型流动用下标原型流动用下标p表示表示二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似）定义：两流动的速度场相似定义：两流动的速度场相似,即两个流即两个流动的对应时刻对应点的速度方向相同动的对应时刻对应点的速度方向相同,大大小成比例。小成比例。引入速度比例系数引入速度比例系数由于由于 因此因此 mpCmmmtl/ppptl/1tltlmmppCCCCtltlCmptttC 运动相似需要建立在几何相似基础上运动相似需要建立在几何相似基础上.因此因此运动相似只需确定时间比例系数运动相似只需确定时间比例系数 就可以就可以了。故运动相似也就被称之为时间相似。了。故运动相似也就被称之为时间相似。运动学物理

4、量的比例系数都可以表示为长度比运动学物理量的比例系数都可以表示为长度比尺和时间比尺的不同组合形式。尺和时间比尺的不同组合形式。如：如：21tltmmppmpaCCCCttaaC的单位是m2/sQ的单位是m3/t12tlCCC131tltVmmppQCCCCtVtVC三三 动力相似（受力相似）动力相似（受力相似）定义：两流动的对应点上质点所受定义：两流动的对应点上质点所受F F的方向的方向相同相同,大小成比例。大小成比例。引入力比例系数引入力比例系数 也可写成也可写成 mpFFFC 2223)(CCCCCCCCCCltllamF力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、力学物理量的比例系数可以表

5、示为密度、尺度、速度比尺的不同组合形式，如：速度比尺的不同组合形式，如：力矩力矩M M 压强压强p p功率功率N N 动力粘度动力粘度 23CCCFlFlClmpM2CCCCppCAFmpp321CCCCCCltMNvlCCCC 综上所述，要使模型流动和原型流动相综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者似，需要两者在时空相似的条件下受力相在时空相似的条件下受力相似似。动力相似（受力相似）用相似准则（相动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的

6、条件下各相似准则都相等。在时空相似的条件下各相似准则都相等。三种相似之间的联系：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据;动力相似是决定两个流动相似的主导因素;运动相似是几何相似和动力相似的表现。9.2 9.2 相似准则相似准则 相似准则:几何比尺、运动比尺和动力比尺之间由力学基本定律规定了的一定的约束关系。一、牛顿相似准则两流动动力相似要求对应点处液体质点所受各种力大小成比例。粘性力、重力、动水压力等是企图改变流体运动状态的力；而惯性力是企图维持液体运动状态的力，液体流动的变化是惯性力和其它各种力相互作用的结果。惯性力则惯性力之比：另一企图改变流体运动状态的力为F，其比尺为CF。由动力相似有

7、如下关系：CF=CIVamaI22CCCVaVaClmpI即：式中：是一个无量纲数22CCCVaVaCClmpIF22222222mmmmppppmmmpppmplFlFllFF或22lFNe 因此，两个流动相似的重要标志是它们的牛顿准则数相等：即mpNeNe 二、雷诺准则二、雷诺准则对于有压流动，粘性力是主要作用力。对于有压流动，粘性力是主要作用力。粘性力比尺粘性力比尺CCCCAATTCldydummdyduppmpTmmpp要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即即22CCCCCCCllmpmmmppplllCCCReRe1即即雷诺数的物理意义雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：Re223

8、lllAVaTIdydu三、佛汝德准则三、佛汝德准则对于具有自由表面的流动，重力是主要对于具有自由表面的流动，重力是主要的作用力。的作用力。重力比尺重力比尺gmmppmpGCCCgmgmGGCl3要满足重力相似，必须满足CG=CI，即即223CCCCCClglmpmmpplgFrFrlglgCCCmp即即2221佛汝德数的物理意义佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：FrglgllmgVaGI2322四、欧拉准则四、欧拉准则作用在两流动对应点上的动水总压力之作用在两流动对应点上的动水总压力之比为：比为：2lCCApApPPCpmmppmpP要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即即222CC

9、CCClplmpmmmppppEuEuppCCC即即2221欧拉数的物理意义欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：通常，对流动起作用的是液流中两点压强差p，而不是某点的压强p。故欧拉数常写为：EuplplVapAIP22222pEu注意：压力场的相似不是两个流动相似的原因，而是两个流动相似的结果。Eu准则不是独立的。只要主要的相似准则（Re或Fr)得到满足，则该准则必定满足。综上所述，动力相似可以用相似准则数表综上所述，动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等。准数均相等。9.3 9.3 模型实验模型实验什么是模型实

10、验：什么是模型实验：通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象。实际发生的现象被称为原型现象，理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。物理本质相同，模型实验才是有价值的。为什么要进行模型实验 科学研究和生产设计需要做模型实验科学研究和生产设计需要做模型实验；并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数值模拟的流动现

11、象都不必模拟实验。论分析或数值模拟的流动现象都不必模拟实验。并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。模拟的原型最适合做模型实验。一、相似准则的选择为了使两流动完全相似，在满足几何相似的前提下，各独立的相似准则应同时得到满足。这在实际实验中往往很难实现，甚至是不可能的。例如：欲在某实验中实现雷诺准则和佛汝德准则的同时满足：即要实现流动相似应满足两个条件（1）模

12、型流速原比型流速缩小 倍；（2）模型流体的粘度应比原型粘度缩小 倍，这很难实现。lglCCCCCC由佛汝德准则求得由于由雷诺准则求得,1231,11llCCCCC时，当意义；此时失去了模型实验的时，当lC23lC 因此，要使两者达到完全的动力相似，因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是起主要作用的实际上办不到，我们寻求的是起主要作用的力相似力相似近似相似。近似相似。例如：例如：有压管流有压管流粘性力起主要作用粘性力起主要作用雷诺准则雷诺准则明渠流动明渠流动重力起主要作用重力起主要作用佛汝德准则佛汝德准则二、模型的设计1、首先根据实验场地和模型制作的条件定出长度比尺Cl;2

13、、根据选定的长度比尺Cl确定出模型流动的几何边界；3、根据所选用的相似准则确定速度比尺和流量比尺，从而定出模型流动的流量。例例1 1 有一轿车，高有一轿车，高h hp=1.5mp=1.5m，在公路上行驶，设，在公路上行驶，设计时速计时速v vp p=108km/h108km/h，拟通过风洞中模型实验来确，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞已知该风洞系低速全尺寸风洞(C(Cl l=3/2)=3/2)，并假定，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相

14、同，试求：风洞实验时，风洞实验段的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？内的气流速度应安排多大？解：解：首先根据流动性质确定决定性相似准首先根据流动性质确定决定性相似准则数，这里选取则数，这里选取ReRe作为决定性相似准则作为决定性相似准则数，数，Rem=Rep，即，即CvCl/C=1，再根据决定型相似准数相等，确定几个再根据决定型相似准数相等，确定几个比尺的相互约束关系，这里比尺的相互约束关系，这里C=1，所以，所以 Cv=Cl-1，由于，由于Cl=lp/lm=3/2，那么，那么Cv=vp/vm=1/Cl=2/3 最后得到风洞实验段内的气流速度应该最后得到风洞实验段内

15、的气流速度应该是是 vm=vp/Cv=108/(2/3)=162km/h=45m/s 例例2 2 在例在例1 1中，通过风洞模型实验，获中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s45m/s时，空气阻力为时，空气阻力为1000N1000N，问：此轿，问：此轿车以车以108km/h108km/h的速度在公路上行驶时，所的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？受的空气阻力有多大？解：在设计模型时，定下解：在设计模型时，定下 C=1 Cl=3/2 Cv=2/3 在相同的流体和相同的温度时，流在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数体密度比

16、例系数C=1，那么力比例系数，那么力比例系数 CF=C Cl2 CV2 CF=1(3/2)2(2/3)2=1 因此，该轿车在公路上以因此，该轿车在公路上以108km/h108km/h的的速度行驶所遇到的空气阻力速度行驶所遇到的空气阻力 Fp=FmCF=10001=1000N9.4 9.4 量纲分析法量纲分析法一一 量纲的概念量纲的概念二二 量纲齐次性原理量纲齐次性原理三三 量纲分析法量纲分析法 9.4.1 9.4.1量纲的概念量纲的概念量纲的定义量纲的定义:量纲是物理量的单位种类，又称因次。量纲是物理量的单位种类，又称因次。如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以米、如长度、宽度、高度、深度、厚

17、度等都可以米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用用 L 表示。表示。量纲的表示方法：量纲的表示方法：物理量的代表符号外加上中括物理量的代表符号外加上中括号。如号。如 L，M，T 等。等。用 表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位量纲的分类：量纲的分类：基本量纲基本量纲 导出量纲导出量纲 基本量纲是一组具有独立性的量纲。在基本量纲是一组具有独立性的量纲。在水力学领域中有三个基本量纲：水力学领域中有三个基本量纲：L ，T，M。导出量纲由基本量纲组合或推导出来的导出量纲由

18、基本量纲组合或推导出来的量纲。如加速度的量纲量纲。如加速度的量纲 a=LT-2 ；力的量力的量纲纲 F=ma=MLT-2 9.4.2 有量纲量和无量纲量有量纲量和无量纲量水力学中任何物理量水力学中任何物理量C的量纲可写成的量纲可写成C=M L T 当当、不全为不全为0时，时，C称为有量纲量。称为有量纲量。当当、全部为全部为0时，时，C称为无量纲量或无量纲称为无量纲量或无量纲数。数。有量纲量水力学中的有量纲量可分为三类：1、几何学的量，0，0；2、运动学的量，0，0；3、动力学的量，0。无量纲量 1,1Re,Re1,2212121LLTLTFrgluFrTLLLTdLLJdLdHJ9.4.3 9

19、.4.3 量纲齐次性原理量纲齐次性原理量纲齐次性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲和谐性原理，指凡是正确反映客观规律的量纲和谐性原理，指凡是正确反映客观规律的物理方程物理方程,其各项的量纲必须是一致的。其各项的量纲必须是一致的。推论：凡是正确反映客观规律的物理方程，必然推论：凡是正确反映客观规律的物理方程，必然可以写成无量纲形式。可以写成无量纲形式。忽略重力的伯努利方程忽略重力的伯努利方程物理方程的无量纲化物理方程的无量纲化（沿流线）（沿流线）0202121pvpv220200p)vv(1v21ppC（沿流线）（沿流线）无量纲化伯努利方程无量纲化伯努

20、利方程 在无粘性圆柱绕流中在无粘性圆柱绕流中1C ,0vp前后驻点前后驻点30pC ,v2v上下侧点上下侧点4sin1C2p其他点其他点 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。柱面上：柱面上：,sin0vv柱面外：柱面外：pCRr流场中流场中 还与无量纲半径还与无量纲半径 有关有关CDABa0,0vp9.4.49.4.4量纲分析法量纲分析法 对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。量纲分析法有两种：雷利法和定理雷利法解题步骤：首先找出

21、影响流动的物理量，并用它们写出假拟的指数方程；然后以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理出最后形式。例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。试求位移s的表达式。解：s=Kgatb L=LT-2aTb根据量纲和谐原理，方程两侧的量纲应一致，则L a=1T -2a+b=0得出：a=1,b=2 s=Kgt2例题b:液体在恒定水头H作用下从面积为A的孔口流出，v与H、g和有关。试求v的表达式。解：v=KHa b gc dLT-1=LaML-3bLT-2cML-1T-1d定理对于某个物理现象或过程，如果存在有对于某个物理现象或过程，如果存在有n

22、n个变量互个变量互为函数关系，为函数关系，f(a1,a2,an)=0而这些变量含有而这些变量含有m m个基本量纲，可把这个基本量纲，可把这n n个变量转换个变量转换成为有成为有(n-m)=i个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数关系式 F(1,2,n-m)=0这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少了方程中的变量数减少了m个，更为概括集中表示个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。物理过程或物理现象的内在关系。例例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降流体流动的压降 p

23、与下列因素有关：管径与下列因素有关：管径d、管长管长l、管壁粗糙度、管壁粗糙度 、管内流体密度、管内流体密度、流体、流体的动力粘度的动力粘度 ，以及断面平均流速，以及断面平均流速v有关。试有关。试用用 定理推出压降定理推出压降 p的表达形式。的表达形式。解：解：所求解问题的原隐函数关系式为所求解问题的原隐函数关系式为 f(p,d,l,v)=0 有量纲的物理量个数有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲，此问题的基本量纲有有L、M、T三个，三个，m=3，按，按 定理，这定理，这n个变个变量转换成有量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数关系式 F(1,2,3,4)=0 从从7

24、个物理量中选出基本物理量个物理量中选出基本物理量3个，如取个，如取、d、v，而，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示 1=l 1v 1d 1 2=2v 2d 2 3=3v 3d 3 4=p 4v 4d 4将上述表达式写成量纲形式将上述表达式写成量纲形式 1=L(ML-3)1(LT-1)1L 1=M0L0T（1）2=L(ML-3)2(LT-1)2L 2=M0L0T0 （2）3=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L 3=M0L0T0 （3）4=ML-1T-2(ML-3)4(LT-1)4L 4=M0L0T0 (4）求解方程（求解方程（1）M:1

25、=0 T:1=0 L:-3 1+1+1+1=0 1=-1所以所以 1=l/d求解方程（求解方程（2）M:2=0 T:2=0 L:1-3 2+2+2=0 2=-1 所以所以 2=/d求解方程（求解方程（3）M:1+3=0 3=-1 T:-1-3=0 3=-1 L:-1-3 3+3+3=0 3=-1所以所以 3=/vd=1/Re求解方程（求解方程（4）M:1+4=0 4=-1 T:-2-4=0 4=-2 L:-1-3 4+4+4=0 4=0所以所以 4=p/v2因此，所解问题用无量纲数表示的方程为因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d,/d,1/Re,p/v2)=0至此，问题求解结束，进

26、一步对上式整理规范。至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式由上式可知可知 p/v2与其余三个无量纲数有关，那么与其余三个无量纲数有关，那么 p/v2=F1(l/d,/d,1/Re)=(l/d)F2(/d,1/Re)p/g=p/=(l/d)(v2/2g)F2(/d,1/Re)令令=F2(/d,1/Re)p/=(l/d)(v2/2g)这就是达西公式，这就是达西公式，为沿程阻力系数，为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。正比，与管径成反比。从该例题看出，利用从该例题看出，利用 定理，可以在定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。础。