&amp#167;1 集合的含义及其表示

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1、 1集合的含义及其表示教学目标：通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言,图形语言，集合语言描述不同的具体问题教学重点：集合概念与表示方法教学难点：运用描述法和列举法表示集合课 型：新授课教学过程型：引入课题同学们在报到时学校通知：8月29日下午4点，高一年级学生按班级在学校行政楼前 集合。试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是 高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念一集合（宣布课 题），即是一些研究对象的总体。研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它

2、不仅是数学的一个基本分支，在数学 中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦 的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基 础。（参看阅教材中读材料P）。下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。一、新课教学“物以类聚，人以群分”数学中也有类似的分类。女口：自然数的集合0，1，2，3，女口： 2x-l3，即x2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。女口：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，用大写字母A，B，C,等标记。示例集合中

3、的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母a，b，c，d等标记。示例2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a = A，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4） ma ths中的字母评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。3、集合的中元素的三个特性1元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或 者不是这个给

4、定的集合的元素。2元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归 入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合3元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样， 仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N有理数集Q正整数集N+ （或N*）实数集 R整数集Z注：实数的分类5、集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法例：1, 2, 3 特点：元素个数少易列举

5、 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 特点：元素多或不宜列举例：大于3小于10的实数A二xUR丨3 x 10方程x2 + 2x二0的解集用描述法为B= 11 x2 + 2x二函数y=2x图像上的点（x,y）的集合可表示为C= （x,y） | y=2x在平面直角坐标系中第二象限的构成的集合D= （x,y） | x0 方程组y 的解集禺,y）l x = 4, y = -1x + y = 3例题用适当的方法表示下列集合 由大于3小于10的整数组成的集合 方程x2 - 9 = 0的解的集合 小于10的所有有理数组成的集合 所有偶数组成的集合6、集合的分类原则：集合中所含元素的多少

6、有限集 含有限个元素，如A=-2, 3 无限集 含无限个元素，如自然数集N,有理数Q 空集不含任何元素，如方程x却1=0实数解集。专用标记：二、课堂练习1、用符合“U”或“笑”填空：课本P5练习2、补充思考下列集合是否相同1) A1,5B(1,5)C5,1D (5,1)2) A 0B 0 C 0 D 03)A 二x e Q,x e Z,x丰 0B = y I y e Z, y e Z, y 主 0小结1、集合的概念2、集合元素的三个特征3、常见数集的专用符号.4、集合的表示方法5、空集三、作业布置基本作业：P6 A组4，5补充作业：求数集1，x, x2-x中的元素x应满足的条件； 思考作业：P

7、6B组板书设计(略)另注：请各位考虑是否提出实数和全部实数及R之间的区别2集合间的基本关系一. 教学目标：1. 知识与技能(1) 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。(2 )理解子集.真子集的概念。(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义3. 情感.态度与价值观(1) 树立数形结合的思想.(2) 体会类比对发现新结论的作用.二. 教学重点.难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念难点：难点是属于关系与包含关系的区别.三. 学法与教学用具1学法：让学生通过观

8、察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.2教学用具：投影仪.四. 教学过程(一) 创设情景，揭示课题问题1：实数有相等.大小关系，如57, 2W2等等，类比实数之间的关系，你会想到 集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一 起来观察研探.(宣布课题)(二) 研探新知1. 子集问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间有什么关系吗？(1) A 二123, B 二123,4,5；(2) C = 西安中学高一(1)班女生, D =西安中学高一(1)班学生；(3) E =I x是菱形F = lx I x是正方形组织学生充分讨论.交

9、流，使学生发现：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合C中的任何一个元素都是集合D 中的元素，集合E中的任何一个元素都是集合F中的元素。综合归纳给出定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们 就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：A匸B(或B二A)读作：A 包含于(is con tained in) B,或 B 包含(con tains) A举例：如Q匸R， M = x I x是矩形p = (r I x是平行四边形则M匸P思考：包含关系a匸A与属于关系a g A定义有什么区别？试结合实例作出解释1,21,2,1,

10、2,1,2温馨提示：(1) 空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有0匸A。(2) 任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有A匸A。(3) 若A匸B，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若A = 0， 则A中不含任何元素；若A=B,则A中含有B中的所有元素。非子集关系的反例：(1) A=1,3,5 B=2,4,6(2) C=x|x29 D=x|xW3可用数轴直观表示(3) E= x|x29 F= x|xW12当集合A中存在(即至少有一个)着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B,或B不包含A,分别记作：A工B(或B工A )2. 集合的相等引入时举例：A = fx I (x

11、7)G + 5)= oB =5,7由元素分析发现两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同，给出集合相等的定义: 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元 素都是集合A中的元素，那么我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.问题3：与实数中的结论“a b,b a o a = b ”相类比，在集合中，你能得出什么 结论？教师引导学生通过类比，思考得出结论：A匸B,B匸A o A二B .3. 真子集问题 4： A=小于 7 的正整数B=1,2，3，4，5，6，C=1,3，5显然，C匸A, B匸A，又发现B=A，CHA，如何确切表明C与A的特殊关系？文字语言对于两个集

12、合A与B,如果A匸B且A丰B，就说集合A是集合B的真子集(proper subset)符号语言若A匸B,但存在元素x,x g B且x电A则A学B (或B A) 读作：A真包含于B (或B真包含A)教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合, 这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示集合相等和真子集的关系。问题5：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示. 学生主动发言，教师给予评价.做练习4,并强调确定是真子集关系的写真子集，而不是子集。思考：(1) 对于集合A，B，C,如果AUB，B UC，那么集合A与C有什么关系?如果真包含呢

13、?(2) 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？(3) 空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗？(4) 0，0与0三者之间有什么关系？(三) 巩固深化，发展思维1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例1某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产 品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成 立？A u B, B U A, A U C, C U A试用Venn图表示这三个集合的关系。例2(与书上有变动)分别求下列集合的子集，并指出哪些是它们的真子集0，1, 1,2, 1,2,3集合子集子集个数

14、真子集个数001010 ,1211,20 ,1,2,1,2431,2,30 ,1,2,3,1,2,1,2,3 87推广归纳：有限集b ,a ,a ,a ,a 的子集个数2n，真子集个数2-1，非空12 3n-1 n子集个数2n -1，非空真子集个数2n - 2。2. 练习第5题（四）归纳整理，整体认识请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想方法有那些J A = B o A 匸 B 且B 匸 A1.A与B间的关系丿匸气A丰Bn A早BA农B也可结合配备的多媒体光盘用FLAS显示Venn图形式的集合间不同关系以加深印象。2性质结论：（1）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A

15、都有A匸A。（2）空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有0匸A。 空集是任何非空集合的真子集。（3）欲证A = B，只须证A匸B,且B匸A都成立即可。（4 对于集合A、B、C,若AUB，BUC,则AUC.若A呈B,B呈C,则A早C.（五）布置作业基础题：第9页习题1-2 A组2，4，5题.B组第1题.思考题：1. （06年上海理）已知集合A= -1，3，2 m-1 ，集合B= 3，m 2.若B u A,则实数m = .2. 已知集合A二x I a x 5, B二x I x三2，且满足A U B，求实数a的取值范 围。3集合的基本运算教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简

16、单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能 用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。课 型：新授课教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；第一课时：教学过程：四、引入课题我们两个实数之间可以进行运算，比如加法运算，那么两个集合之间存在运算吗？ 实例1： A= 高一（9）班女生 B= 高一（9）班团员C= 高一（9）班女团员，我们发现集合C中的元素是集合A和集合B的公共元素。 实例2：学校的某次运动会要求各班选出数名篮球队员和足球队员假设A= 高一（

17、9）班的篮球队员B= 高一（9）班的足球队员C= 高一（9）班的运动员，我们发现集合C的元素是由集合A和集合B的元素共同构成 的。我们发现集合之间是存在一定运算的。五、新课教学1交集（如实例1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）记作：AHB读作：“A交B”即： AGB=x| UA,且 xUB交集的Venn图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。 则上例中C=AGB。练习：1.A=3,5, 7 ，B= （ 1，2，3，4 则 AHB；2. A =x o|贝lA c B.说明：连续的（用不等

18、式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。当两 个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集2. 并集（如实例2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：AUB读作：“A并B”即：AUB=x|xUA,或 xUB与B的所有元素组成的集合（重练习：l.A=3, 5, 7 , B=1, 2, 3, 4则 AUB；2. A =0 x 3】MA o B.说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集Ua3空丿总结基本结论：AHB 匸 A, AHB 匸

19、 B, AHA=A, AH 0 = 0 ,AHB=BHAAUAUB, BOAUB, AUA=A, AU 0 =A,AUB=BUA总结：交集的性质a n a=a , a n 0=0,a n b=b n a,a n b u a,a n b u b,若A U B,则A n B=A,反之也成立。并集的性质A U A=A, A U 0 =A,A U B=B U A,A U B A, A U B B若A U B,则A U B=B,反之也成立。联系交集的性质有结论：0 UAn B UAUAU B.三.例题讲解：例1.某学校所有男生组成的集合A, 一年级的所有学生组成的集合B, 一年级的 所有男生组成的集合C

20、, 一年级的所有女生组成的集合D,求AHB, CUD。 解AHB= 是该校一年级的男生= C;C o D = x是该校一年级学生B.例2.设A =|x是不大于 10的正奇数 B = c|x是12的正约数求 AHB, AUB.解 A = |x是不大于 10的正奇数= 13,5,7,9）B = x 是 12 的正约数= ,2,3,4,6,12a n B = &3A o B = &2,3,4,5,6,7,9,12完成思考交流，通过文氏图说明。总结集合的交集和并集运算满足结合律。例 3.已知集合 M=y|y=x2+1, xUR, N=y|y=x+1, xUR，求 MHN。解 M=y|y=x2+1, x

21、UR二y|y三1, N=y|y=x+1, xUR = y|yURMHN=M=y|y三 1四.课堂练习：P12练习1, 2, 3, 4题P14习题1题五. 小结：AGB=x| UA,且 xUBAUB=x|xUA，或 xUB交集的性质a n a=a , a n 0=0, a n b=b n a, a n b 匸 a, a n b 匸 b, 若A u B,则A n B=A,反之也成立。并集的性质A U A=A，A U 0 =A， A U B=B U A， A U B A, A U B B若A U B,则A U B=B,反之也成立。联系交集的性质有结论：0 -An B UAUAU B.六. 作业1.

22、基础作业：P14习题A组2, 3, 4题2. 选做:已知集合 A=x|x2-3x+2=0, B=x|x2mx+2=0，且 AGB=B，求实数 m 范围。 解 化简条件得A=1, 2, AHB=BoBuA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B= 0 , B=1或2, B=1, 2当 B= 0 时，=m2-80.-2 込 m 2 込当B=1或2时，F 卡，m无解1 - m + 2 = 0或 4 - 2m + 2 = 01 + 2 = m当 B=1, 2时，im=31 x 2 = 2综上所述，m=3或- 22 m 2“23 .思考B组1题3集合的基本运算第二课时一. 复习回顾：上节学习了集合的两种基本

23、运算求交集和求并集。实际中在研究某些集合的时候，这些 集合往往是某些给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集。二新课讲解1. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称 这个集合为全集(Universe)，通常记作U。2补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合 称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A在U中的补集，或余 集。记作：CdA即：C/ =9 e UKx 电 A补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制三例题讲解例3试用集合A, B的交集、并集、补集分别表示图中I ,II,I

24、II,W四个部分所表示的集 合。解I部分：A c B;II部分：A c (C B);UIII部分：B c (C A);UW部分：C (a u B)或(0 B)c(C A)UUUx 设全集为R, A =(1)A c B;(2)(7)C A, C B;R R(4)(C A) u (C B);RRC(A u B)R(6)(C A) c (C B);RRC (a c B )；R，并指出其中相等的集合。解 (1)在数轴上，画出集合A和B.3 x 5,x(2) AuB =x (4)(C A) c (C B)=RR(C A) u (C B)=RRC(A c B)= k| RIRx 5.C (a u B)=0

25、.Rx3求注意对连续实数集利用数轴直观去处理，通过例题了解德摩根律。总结：补集的性质：C 0 = U, C U = 0, AHC A= 0, AUC A=U, C ( C A)=AUUUUU U德摩根律：(C A) n (C B)= C (A U B), (C A) U (C B)= C (A Pl B),uuuuuu四课堂练习。P14 练习 1, 2, 3, 4, 5 题五归纳小结六.作业布置1、基础作业：P习题A组，第5, 6, 7题。152、选做：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的 关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个

26、字眼出发去揭示、 挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。若全集U= *2,0,3 - a2,子集 p = 4,a2 - a - 2,且 C P = L1,求实数 a .ua 2 a2=0解 由子集定义和补集定义可知3a 2 =1 ，解得a = 2.3 .思考： 习题B组2题第一章集合复习课教案(2课时) ()教学目标：(1) 了解集合的含义，理解集合的表示方法(2) 理解集合的运算，会求集合的交，并，补集(3) 能使用韦恩图表达集合的关系及运算(二) 教学三点解析：(1) 教学重点：知识的网络结构；(2) 教学难点：集合思想的应用及运算；(三) 教学过程

27、设计知识归纳集合知识网络*1含义 L1指定对象的全体形成一个集合T特彳帀严确定性、互异性、无序性勺表示法L列举法1,2,3,、描述法xIP,韦恩图法m分类l有限集、无限集空集*1数 集 L1自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*关紊L属于丘、不属于电、包含于匸、非包含于工，真包含于呈、集合相等弓运算 交集 AQB=xIxA 且 xGB； 并集 AUB=xIxGA 或 xGB； 补集CUA =xIx电A且xGU, U为全集勺性质L A匸A；申匸A；若A匸B, B UC,则AUC；AQA=AUA=A； AQ 申=申；AU 申=A； AQB = AAUB=BA U B；数轴分析(C

28、口 A)=A； C口 (AuB) = C口 AQCU B:区别丘与U、呈与U、a与a、申与 、(1,2)与1,2；A U B时，A有两种情况：A = 与AH申1. 需要注意的问题(1) 要正确理解集合、空集、子集、全集、补集、交集、并集的概念及性质(2) 特别注意对空集的概念和性质的理解(3) 集合的表示方法各有特点,应结合具体问题适当选用.(4) 利用数形结合的思想，将集合用Venn图表示出来，帮助理解或解决问题，在求数集的交 集、并集、补集时，可以借助于数轴.(5) 集合中蕴涵着分类的思想,体会它在生活中和数学中的广泛的应用.(6) 理解集合是一种语言，这种语言能简洁、准确地表达数学的一些

29、内容.2. 常见题型1、用适当的方法表示下列集合：100以内被3除余2的正整数所组成的集合；所有正方形；直角坐标平面上在直线和两侧的点所组成的集合；(x + 2 y 二 3方程组5得解集y - x 二 62、由元素1, 2, 3组成的集合可记为：A .|x = 1,2,3 b.|x e(1,2,3)C.xx e N*,x4)d.是6的质因数3、实数集合仏“ “ 一 N中元素x满足的条件是4、已知集合 A= a 2 ,a, a 2 2a+l, B=1,2且 AGB=1,求 a 的值。5.设a,b,c为非零实数，则x =aabc+ T +abc+的所有值组成的集合为（）c abc6、已知集合A=

30、1,3,2 m 1,集合B= 3, m 2.若B匸A,则实数m = .7、 定义集合A*B=x|xA且x电 B,若 A=2,4,6,8,B=2,4,5,则 A*B 的子集个数为（）1n 1p 18、 已知集合 M=x|x=m+ ,mUZ,N=x|x二-,nUZ,P=x|x二 + ,p = Z，则 M,N,P62 326满足关系（）9、若1,2呈Au1,2,3,4,5,则满足这一关系的集合A的个数为10、已知集合 M=y|y=x2+1, xUR, N=y|y=x+1, xUR，求 MGN。11、若集合A , A满足A u A =A,则称（A , A ）为集合A的一个分拆，并规定：12 12 1

31、2当且仅当A = A时，（A , A ）与（A , A ）为集合A的同一种分拆，则集合A= a , 12 12 2 1 1a , a 的不同分拆种数是（）。2312、 设全集 U = R,貝=刃疋0）,求anb,aub,判断与；uE之间的关系.13、 已知集合 A=x|2WxW9,B=x|m-1x4m+1且0，若 AuB=A ,求m 的取值范围14、已知集合A=xuR|aX2 3x+2=0,aUR，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是*15、设 A=x|x2+ax+b=0,B=x|x2+cx+15=0，又 AU B=3 , 5, A A B=3,求实数 a,b,c 的值.16、设全集 U=1

32、 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, P=1 , 2 , 3 , 4 , 5, Q= 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 则 P Pl CQ=U17、已知 U= 6,2,3,4,5,6,7,8 A c（C B）= 11,8（C A）c B = 2,6Uu（C A）C（C B）=也,7则集合 A=UU18、某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学 小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有 6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这三个 小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，问需要

33、预购多少张车票？二. 归纳小结，强化思想1、常见题型：集合元素的辨析、集合的运算2、数轴分析法、韦恩示意图法、代入法。3、分类讨论思想；等价转化思想三. 作业：章节小节集合练习(选自各年高考试卷)1、设S, T是两个非空集合，且S7 t,t7 S,令X = SGT，那么SUX=。 (87(1)3分)A. X B. T C. 0 D. S2、集合1, 2, 3的子集总共有。(88(3)3分)A. 7个 B. 8个 C. 6个 D. 5个3、如果全集U= a, b, c, d, e, M= a, c, d, N= b, d, e，则C M nC N =。U 1 1 U(89(1)3 分)A. Q

34、B. d C. a, c D. b, e4、设全集 U= (x, y)|x,yUR,M=(x, y)| x - 2=1, N=(x, y)|yHx+1,则 C( m o N)=。(90(9)3 分)A. Q B. (2, 3) C. (2, 3)D. (x, y)|y = x+15、设全集U=0, 1, 2, 3, 4,集合A=0, 1, 2, 3,集合B= 2, 3, 4,则C AUC B u u=。(94(1)4 分)A. 0B. 0, 1 C. 0, 1, 4 D. (0, 1, 2, 3, 4)6、设集合M=x|0WxV2，集合N=x|x2 2x 3V0，集合MGN=。(97(1)4 分)A.x|0WxV1B.x|0WxV2 C. x|0WxW1D.x|0WxW2 7、 设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则工的S值为.(92(21)3 分)8、如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是。(99(1)4 分)A. (MGP)GSB. (MGP)USC. (MAP) n CSD. (MnP) U CS9、若集合 S=y|y = 3x, xUR, T=y|y=x21, xUR，则 SAT 是。(2000 上海(15)4 分)A. S B. T C. 0D.有限集