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1、 2.3幂函数 问题引入 (1) 如果张红购买了每千克 1元的蔬菜 w千克 ,那么她需 要支付 p=w元 ,这里 p是 w的函数 ; (2) 如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 这里 S是 a的函数 ; (3) 如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 , 这里 V是 a函数 ; (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的 边长 这里 S是 a的函数 ; (5)如果人 ts内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度 这里 v是 t的函数 . 2aS 我们先看几个具体问题 : 3aV ,21sa = ,/1 skmv t= 若将它们的自变量全部用 x来表示 ,函数值用 y来表
2、示 ,则它们的函数关系式将是 : xy = xy 2= xy 3= xy 21= xy 1= xy = 定义 几点说明 : . , 是常量 是自变量其中叫做幂函数函数一般地 xy x = .2 .,11 的值有关与定义域没有固定 并且后面没为常数项前面的系数为中 ，、 、y xx = 式子 名称 a x y 指数 函数 : y=a x 幂函数 : y= x a 底数 指数 指数 底数 幂值 幂值 幂函数与指数函数的对比 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数 x是 指数 还是 底数 幂函数 指数 函数 例 1: 判断下列函数是否为幂函数 . (1) y=x4 2 1 )2( x y
3、 = (3) y= -x2 2 1 )4( xy = (5) y=2x2 (6) y=x3+2 作出下列函数的图象 : yx 2yx yx 2yx 3yx 1 2yx 1yx 3yx 1 2yx 1yx x 3- 2- 1- 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 27 8 1 0 1 8 27 2 3 0 1 1 3 1 2 1 2 1 3 1 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -2 2 4 6 作出下列函数的图象 : yx 2yx 3yx 1 2yx (1,1) (2,4) (-2,4) (-1,1) (-1,-1) 从图象能得出他 们的性质吗 ?
4、 几个幂函数的性质 : 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 R R 奇函数 增函数 (1,1) R 偶函数 (1,1) R R 奇函数 增函数 (1,1) 非奇非偶 增函数 (1,1) 奇函数 (1,1) yx 2yx yx 2yx 3yx 1 2yx 1yx 3yx 1 2yx 1yx 0y 0 x 0 x 0y 0y 一般幂函数的性质 : 所有的幂函数在 (0,+)都有定义 ,并且 函数图象都通过点 (1,1). 如果 0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1) 并在 (0,+)上为增函数 . 如果 0,则幂函数的图象过点 (1,1),并在 (0,+)上为减函数 . 当 为奇数时 ,幂函数为奇函数 , 当 为偶数时 ,幂函数为偶函数 . 幂函数的定义域、奇偶性，单调性， 因函数式中 的不同而各异 . .,0)(.2 上是增函数在证明幂函数例 += xxf 则且任取证明 ,0,: 2121 xxxx + xx xxxxxxxx ff 21 2121 2121 )()( )()( + + = xx xx 21 21 + = ,0,0,0, 21212121 xxxxxxxx + 所以因为 .,0)(),()( 21 上的增函数在即幂函数所以 += xxfff xx 方法技巧 :分子有理化 一 . 定 义 二 . 图 象 三 . 性 质 四 . 应 用 小结
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