高考数学总复习精品课件苏教版：第九单元第二节 直线的位置关系

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1、1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1l2 .特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2都与x轴 .(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2的斜率存在，分别设为k1,k2,则l1l2 .k1=k2垂直k1k2=-1知识梳理知识梳理第二节第二节 直线的位置关系直线的位置关系2.三种距离（1）两点间的距离平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=.特别地，原点（0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=.(2)点到直线的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)

2、两条平行线的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.212212)y(y)x(x22yx 2200BACByAx2221BACC典例分析典例分析分析可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.题型一题型一 两条直线位置关系的判定和应用两条直线位置关系的判定和应用【例1】已知直线 :ax+2y+6=0和直线 :x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断 与 是否平行；（2）当 时，求a的值.1l2l1l2l1l2l1l解（1）方法一：当a=

3、1时，:x+2y+6=0,:x=0,所以 不平行于 ;当a=0时，:y=-3,:x-y-1=0,所以 不平行于 ;当a1且a0时，两直线可化为 :y=-a2x-3,:y=11-ax-(a+1),由 解得a=-1,综上可知,当a=-1时,;否则 与 不平行.2l1l2l1l2l1l2l1l2l1l2l12131aaa 1l2l1l2l方法二：由 ,得a(a-1)-12=0;由 ,得 故当a=-1时，;否则 与 不平行.（2）方法一：当a=1时,:x+2y+6=0,:x=0,所以 与 不垂直，故a=1不成立;当a1时，由 12210ABA B12210ACA C211 60a a 1l2l2221

4、1 202011611 60a aaaaa aa a 1l2l1l2l1l2l1l2l1:32alyx 21:11lyxaa121213aaa 方法二：由 ，得a+2(a-1)=0 12120A AB B23a学后反思 (1)直线 ,直线“且 ”的前提条件是 ,的斜率都存在.若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：当 ,中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，与 不平行；当 ,的斜率都不存在（与 不重合）时,;当 ,均有斜率且 ,时，有 .为避免分类讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二.111:lyk xb222:lyk xb

5、1l2l12kk12bb1l2l1l2l1l2l1l2l1l2l1l2l1l2l12kk12bb1l2l（2）当 时，可分斜率不存在与斜率存在且 来解决问题.如果利用 可避免分类讨论.1l2l121k k 12120A AB B举一反三举一反三1.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.解析：当a-2=0或a=0时两直线显然不平行，当a-20且a0时，由题意得 1a,解得a=3.综上，a=3.2a31a2.已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求实数a的值.解析：由a(2a-1)-a=0,解得a=1或a=0,当a=1时，两方程为x-y+2

6、=0与x+y+1=0,互相垂直；当a=0时，两方程为y=0与x=0互相垂直.所以a=1或a=0即为所求.题型二题型二 距离问题距离问题 【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程.分析设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程，但必须要注意斜率是否存在这个问题.解 过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意，设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.原点到直线的距离等于 ,d=，解得k=-1或k=-7,即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.学后反思 (1)直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故要进行讨论

7、.(2)使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式.221k2k222举一反三举一反三3.(2009全国)若直线m被两平行线 :x-y+1=0与 :x-y+3=0所截得的线段的长为 ,则m的倾斜角可以是:15;30;45;60;75.其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号)1l2l2 2解析：如图所示，与 间的距离为 ，由图知直线m与 的夹角为30,又l1的倾斜角为45,所以直线m的倾斜角为30+45=75或45-30=15.1l2l3 121 1d1l题型三题型三 交点及直线系问题交点及直线系问题【例3】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点且垂

8、直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.分析 本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解.解 方法一：由 3x+2y-1=0,5x+2y+1=0,得l1,l2的交点P(-1,2).又l3的斜率k3=,l的斜率k=-,l:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.方法二：由ll3,可设l:5x+3y+C=0.l1,l2的交点可以求得为P(-1,2).5(-1)+32+C=0,C=-1,l:5x+3y-1=0.535353方法三：由l过l1,l2的交点，可设l:3x+2y-1+(5x+2y+1)=0，即（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=

9、0.ll3 ,解得=,代入上式整理,得l:5x+3y-1=0.由于直线不包含l2,易验证l2不合题意.学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数，则要进行分类讨论；运用直线系方程时则必须对直线系中不包含的直线进行检验，因此本题的三种解法应该是各有优缺点.35225351举一反三举一反三4.已知两直线l1:x+2=0,l2:4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过l1,l2的交点且与点A的距离等于1的直线l.解析：方法一：l1,l2的交点为 x+2=0,4x+3y+5=0的解，即（-2，1）.若直线l斜率存在，设所求的直

10、线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+(2k+1)=0.因为所求直线与点A(-1,-2)的距离为1,所以 ,得k=,代入,得所求直线l的方程为4x+3y+5=0;11k12k2k234若直线l斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直线x=-2是否符合所求直线l的条件.点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为1，直线x=-2，即x+2=0也符合直线l的要求.所求直线l的方程是x+2=0或4x+3y+5=0.方法二：l1,l2的交点为（-2，1）.过l1,l2交点的直线系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0,不包括l2,是参数，化简得(1+4)x+3y+(2+5)=0.由点A（-

11、1，-2）到直线l的距离为1,得 ,解得=0,代入方程，得x+2=0.又因为直线系方程中不包含l2,所以应检验l2是否也符合所求l的条件.因为点A（-1，-2）到l2的距离为 =1,所以l2也符合要求，所求直线l的方程是x+2=0或4x+3y+5=0.题型四题型四 对称问题对称问题【例4】(14分)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.1(3)4)(15)(232)(4)(11222234564分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l对称，用对称点方法求出入射线上一点P关于l的对称点，再由两点式写出方程.解 方法一：由 3

12、x-2y+7=0,x=-1,x-2y+5=0,得 y=2,即反射点M的坐标为(-1,2).2又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设点P关于直线l的对称点为P(x0,y0).由PPl,可知kPP=,.5而PP的中点Q的坐标为 ,又Q点在l上，.5xy3200)2y,25x(00072y225x300联立 ,(x0-5)-y0+7=0,.9解得 x0=-1713,y0=-3213,即P点坐标为 .11反射光线过M(-1,2)和P .根据直线的两点式方程,可得反射光线所在的方程为29x-2y+33=0.14 325xy0023)1332,1317()1332,1317(方法二：设直线x-2

13、y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点P(x,y),则 .3又PP的中点 在l上，32xxyy00)2yy,2xx(00 ,.6由 ,x0=,y0=,10代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,.12即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0.1432xxyy00072yy22xx30007)y(y2xx300134212y5x13285y12x学后反思 比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的；其中方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解，方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲

14、线关于直线对称问题的通法.举一反三举一反三5.(2009北京海淀区模拟)若直线 :y=k(x-4)与直线 关于点(2,1)对称，则直线 恒过定点 .答案:(0,2)1l2l2l解析:由已知，直线 恒过定点(4,0).与 关于点（2,1）对称，而(4,0)关于(2,1)对称点为(0,2),恒过定点(0,2).1l1l2l2l易错警示易错警示【例】讨论直线ax+y-2=0与x-ay+3=0的位置关系.错解 两直线的斜率分别是k1=-a,k2=,k1k2=-a =-1，两直线垂直.错解分析 错解中忽略了对实数a是否为0的讨论.正解 若a=0,则两直线方程分别为y=2和x=-3，显然两直线垂直；若a0

15、,由k1k2=-a =-1知两直线垂直.综上可知，两直线垂直.a1a1a1考点演练考点演练10.若直线 :y=kx+k+2与 :y=-2x+4的交点在第一象限，求k的取值范围.1l2l解析：方法一：由题意易知k-2.由方程组 y=kx+k+2,y=-2x+4,得交点坐标为 由题意，知 2-k2+k0,4+6k2+k0,解得 k2.方法二：如图，直线 表示过定点M（-1,2）,斜率为k的直线系，直线 过点A(2,0),B(0,4).要使l1与l2的交点在第一象限，由图知 k2.246(,)22kkkk231l2l2311.求直线 :2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线 的方程

16、.1l2l1l解析:设 上的动点P（x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点为P ,则有 解得 P(x0,y0)在 上，化简得：2x+11y+16=0,即为直线l2的方程.2l0,oxy00003102243xxyyyyxx 0724625xyx0247825xyy724624782402525xyxy12.如图，过点P(2,1)的直线l分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|PB|最小时l的方程.解析：方法一：设直线l的方程为 (a2,b1),由已知可得(1)方法一：ab8.当且仅当 ,即a=4,b=2时，取最小值4,此时直线l的方程为 ,即

17、 1xyab211ab212121abab142AOBSab2112abAOBS1xyab142xy方法二：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A(,0),B(0,1-2k).则 当且仅当 ，即 时取最小值，此时直线l的方程为x+2y-4=0.(2)由 ,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3，b=3时，|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.12k1111121 244444222AOBSkkkk 14kk 12k 211ab22222221 0201211422414PAPB

18、ababab 第六节第六节 椭圆椭圆基础梳理基础梳理1.椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a;2a F1F2.(2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是F1F2.2.椭圆的标准方程和几何性质F1、F2标准方程 图形性质 范围 xa yb xb ya对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点A1 ,A2B1 ,B2 A1 ,A2B1 ,B2 轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 .焦距 F1F2=离心率 e=a,b,c的关系 c2=0)b1(abyax22220)b1（abxay2222ac-a-a-b-b(-a,0)(0,-

19、b)(a,0)(0,b)(0,-a)(-b,0)(0,a)(b,0)2a2b2c(0,1)a2-b2典例分析典例分析题型一题型一 椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.354352解 方法一：设椭圆的标准方程 或 ,两个焦点分别为F1、F2，则由题意知2a=PF1+PF2=,a=.在方程 中,令x=c,得y=；

20、在方程 中,令y=c,得x=.依题意知 =,b2=.即椭圆的方程为0)b1(abyax22220)b1（abxay22225251byax22221bxay2222ab2ab2ab21103x5y1或103y5x2222532310方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则PF1=,PF2=.由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2=,即a=.354352525由PF1PF2知，PF2垂直于长轴.故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22=,c2=53，于是b2=a2-c2=.又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的

21、条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .9603101103x5y1或103y5x22220)n0,1(mnymx22a2b2举一反三举一反三1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析:（1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 22221xyab2223 2941abab 22455ab221455xy(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综

22、上，所求的椭圆方程为 或 22221xyab2223 2941abab 2285859ab22918585xy221455xy22918585xy题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为(2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.22221xyab12FPF2tan2b01290FPF分析 （1）为焦点三角形，设 ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.12FPF1PFm2PFn121211s

23、insin22F PFSPFPFmn解 (1)证明：如图所示，设 ,的面积为S，则 .在 中，m+n=2a,1+cos 0,.由、得(2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号),e ,e的取值范围为 ,1).1PFm2PFn12FPF121sin2F PFSmn12FPF222222cos()21 coscmnmnmnmn221 cosbmn2tan2Sb01290FPF22442camn222mnmna222442caa2212ca2222学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.

24、举一反三举一反三2.(2009北京)椭圆 的焦点为 ,点P在椭圆上，若|P|=4,求|P|及 的大小.22192xy2F1F1F2F12FPF解析:,又|P|=4,且|P|+|P|=2a=6,|P|=2,又由余弦定理，得 29a 22b 22927cab122 7FF 1F1F2F2F22212242 71cos2 2 42FPF 012cos120FPF题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（

25、A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1,.2a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1.4(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m，x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=

26、0,.6则由题意得=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20.又x1+x2=，x1x2=，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=80)b1(abyax222224k38mk224k33)4（m2224k3)4k3（m以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD=-1,即 ,y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2=,且均满足3+4k2-m2012当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=-k时,l的方程为y=

27、k(x-),直线过定点(,0).所以直线l过定点，定点坐标为(,0).1412xy2xy2211044k316mk4k33)4(m4k3)4k3（m22222272k72727272学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3.若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C：于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.14y9x22解析：设A,B的坐标分别为（x

28、1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k=.所以直线l的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.29k49k18k2xx22219898【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变

29、量的函数式，并写出其定义域.题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y0),解得 (0 xr).14ryrx222222xr2yS=(2x+2r)=(x+r),由S0和C与D不重合，得其定义域为x0 xAB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为

30、此椭圆短轴的两端点，此时面积S=km2.0)1(y3y4x2232易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .22189xyk12e 错解 由已知 ,又 ,解得k=4.28ak29b 12cea2222221184cabkeaak错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时，,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).c=,由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 ,两点，则 ,是上述方程的根，且有0,即 恒成立.即 ,.故所求椭圆方程为 22221xyba5 22250ab222232150yxxybb2222

31、210512460bxb xbb11,M x y22,N xy64240218492000bbb 2122655bxxb225b 212216122255xxbb275a 2212575xy12.(2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.2234xy解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ，223

32、4xyyxn 2246340 xnxn212640n 4 34 333n11,x y22,xy则 ,又 ,，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值 1232nxx212344nx x11yxn 22yxn 122nyy3,44n n3,44n n3144nn232SAC222212123162nACxxyy234 34 3316433Snn4 3