线性变换的定义课件.ppt

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1、返回 后页 前页 教学目标： 理解线性变换的概念，掌 握线性变换的基本性质 6.1 线性变换的定义 教学难点： 线性变换的象与核的求法 授课题目： 6.1 线性变换的定义 授课时数： 4学时 教学重点： 线性变换的基本性质 第六章 线性变换 返回 后页 前页 图 6.1 例 1 在二维几何空 间 中，令 是将 每个向量旋转角 的一个旋转变换 （见图 6.1） 2V 一 . 定义及例子 容易看出：对任意向量 ,及实数 k 均有 (+) ()+() (k) k() 1.两个实例 返回 后页 前页 容易看出：对任意向量 ,及实数 k 均有 (+) ()+() (k) k() 例 2 在 中， H是过

2、原 点的一个平面 . 令 是对平面 H 的正投影变换 （图 6.2） 3V 图 6.2 返回 后页 前页 定义 1 设 V是数域 F上的一个线性空间， 是 V的一个变换，如果它满足以下两个条件： （ 1）对任意的 , V，有 (+) ()+ ()； （ 2）对任意的 k F，有 (k)=k(). 则称 是向量空间 V的一个线性变换 2.定义 返回 后页 前页 例 3 对 的每个向量 ，规定 是 的一个变换，我们证明它是一个线性变换 1 2 3( , , )x x x = 1 1 2 2 3( ) ( , 3 , )x x x x x = - + 3F 3F 1）对于 的任意两个向量 ， 与 ，

3、有 (+) = (x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3) 1 2 3( , , )x x x = 1 2 3( , , )y y y = 3F 3.一些例子 =( x1+ y1, 3(x1+ y1)-( x2+ y2), ( x2+ y2)+( x3+ y3) 返回 后页 前页 2)对任意数 k F，则有 (k)=(kx1, kx2, kx3） =( kx1, 3kx1- kx2, kx2+ kx3) = k(x1, 3x1-x2, x2+x3) = k() 因此， 是 F3的一个线性变换 =( x1, 3 x1- x2, x2+ x3)+( y1, 3 y1- y2, y2+ y3)

4、 = ()+ () 返回 后页 前页 =(1,0,0), =(2,0,0), += ， ()= , ()= , ()+()= ,而 (+)= , (+) _ ()+(). 如果在 F3中规定 () (x12, 3 x1- x2， x2+ x3） 那么 就不是 F3的线性变换 . (3,0,0) (1,3,0) (4,6,0) (5,10,0) (9,9,0) 返回 后页 前页 例 4 在 Mn(F)中 , 对任意的 n阶方阵 X, 规定 (X)=AXB，其中 A和 B为 F上两个固定的 方阵 . 由于： 1）对任意的 X、 Y Mn(F)，则有 (X+Y) = = = ; A(X+Y)B AX

5、B+AYB (X)+ (Y) 2)对任意的 k F，有 (kX)= = = A(kX)B k(AXB) k(X) 所以 ,是 Mn(F )的一个线性变换 . 返回 后页 前页 特别地， 若 A=B, 则 (X)=BXB, 是 Mn(F)的一个线性变换； 若 B可逆，且 A=B-1, 则 (X)=B-1XB, 也是 Mn(F)的一个线性变换 . 返回 后页 前页 例 5 设 V是数域 F上的一个线性空间，取定 F中的 一个数 k，对任意的 V，规定 () k. 当 k 1时， 是 V的恒等变换 ； 是 V的一个线性变换，叫做 V的一个数乘（或 位似）变换 . 因此，恒等变换及零变换都是线性变换

6、. 当 k 0时， 是 V的零变换 . 返回 后页 前页 例 7 设 Ca, b是定义在 a, b上的一切连续 函数作成的 R上的线性空间 . 对任意的 f(x) Ca, b, 规定 J(f(x) . 例 6 在 Fx中，令 D(f(x)=f (x) 容易验证， D是 Fx的一个线性变换，称为 F x的微商变换（或微分变换） . J(f(x)仍是 a, b上的连续函数 线性变换，叫做 Ca, b的积分变换 . J是 Ca, b的一个 ()xa f t dt 返回 后页 前页 二 . 线性变换的基本性质 1) 线性变换 把零向量变成零向量； 把任一向量 的负向量 -变成 的象 ()的负向量 -(

7、). 证 任取一向量 ，有 (0) (0) 0() 0 所以 (-) -() ()+(-) (-) (0) 0， 返回 后页 前页 2) 定义 1中的条件 (1), (2)与以下条件等价： (3) 对任意的 a, b F, , V，有 (a+b) a()+b(). 3）线性变换 保持线性关系式，即对于 V， 若有 k1, k2, kn F,及 1,2, n V使得 k11+ k22+ knn 则 () k1(1)+ k2(2)+ kn(n), 返回 后页 前页 特别地，当 0时，有 K1(1)+ k2(2)+ kn(n) 0. 若 k1 ， k2， ， kn 不全为 0，则得性质： 4) 线性

8、变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组 . 5) 设 是 V的一个线性变换 , V 是 V的子空间 . V 在 下的象集合 ,记作 (V ), 即 (V ) = () V . 则 (V )是 V的一个子空间 . 返回 后页 前页 证 对任意的 ， (V) 总有 , V使 () ,() . 由于 是线性变换，所以，对任意的 a, b F, 有 a +b a()+ b( ) (a+b). 但 V 是 V 的子空间， a+ b V, 因而 a +b (V), 故 (V)是 V 的一个子空间 . 特别地， (V)是 V的子空间，称为 的象，可用 Im()表示 . 返回 后页 前页 6）设 是 V

9、的一个线性变换， W是 V的一个 子空间，则 W在 之下的原象集合 V （ ） W 是 V的一个子空间 特别地，零子空间 0在 之下的原象集是 V的一个子空间，称为 的核，用 ker() 表示 .即 ker() V () 0 返回 后页 前页 V V ker( ) O 图 6.4 我们用 图 6.3和 图 6.4分 别表示 子空间 Im()和 ker(). V V Im( ) 图 6.3 O 返回 后页 前页 性质 5）和性质 6）可总括为： 在线性变换 之下，向量空间 V的 子空间的象集和原象集都是 V的子 子空间 . 返回 后页 前页 的求解问题，用线性变换的话来说，就是 求向量 的原象的

10、问题 . 12( , , , )nb b b 线性方程组 例 8 在 中，令 () A,是 中任意的 向量， A是确定的 F上的 n阶方阵 . 则 是 的 一个线性变换 . nF nF nF 11 22 nn xb xb A xb 而解齐次线性方程组就相当于求线性变换 的核 . 返回 后页 前页 容易看出 Im()=L(A1, A2, , An) =L(1, 2, , n) 其中 1 ( 1 , 0, . , 0 ) , = 2 ( 0, 1 , . , 0 ) , . , = ( 0, 0, . , 1 ) .n = 而 1, 2, , n是 A的列向量 . 返回 后页 前页 习题 6.1

11、1. 判断以下的变换是否是线性变换，说出理由 1) 在 R3中 ,(x1, x2, x3)=(0,x1+ x2-3 x3,2x1-x2-2x3); 2)在 Q3中 ,(x1, x2, x3)= ( , x2- x3, 21x 23);x 3) 在线性空间 V中， () ,是 V中固定 的一个向量； 4) 在线性空间 V中 ,() +,是 V中 固定的一个向量； 返回 后页 前页 5）在 Mn(F)中， (X) XA+AX,其中 A是 Mn(F) 中固定的一个方阵； 6）在 Fx, (f (x)=f(x+1)-f(x); 7) 在由实数域 R上的所有次数不超过 n的多项式及 零多项式构成的线性空间 Rnx中， (f(x)=xf(x)； 8）把复数域 C看成它自己的线性空间 ,令 ()= , , C, 是 的共轭复数 返回 后页 前页 2. 设 是数域 F上的线性空间 V的一个变换， 证明： 是线性变换的充要条件是，对任意 的 a、 b F 和任意 , V都有 (a+b)=a()+b(). 3. 证明：线性空间 V的子空间 W在 V的线性变 换 下 的原象仍是 V的子空间 .