圆锥曲线——椭圆及标准方程

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1、圆锥曲线 解析几何是在坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示点的轨迹曲线（包括直线）。通过研究方程的性质，进一步研究曲线的性质。也可以说，解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科。本章是平面解析几何内容中的圆锥曲线部分，是在学生已掌握平面几何知识与平面直角坐标系、平面向量、两点距离公式及基本初等函数、直线与圆的方程等知识的基础上学习的。本章主要内容有：椭圆、双曲线、抛物线。关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少?在我们的实际生活中有这些曲线吗在我们的实际生活中有这些曲线吗?它们分别给我们什么印象它们分别给我们什么印象?星系中的椭圆星系中的椭圆 用一个平面

2、去截一个圆锥面，当平面经过圆锥用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到面的顶点时，可得到两条相交直线两条相交直线；当平面与圆锥当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个个圆圆 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：截线的变化情况，并思考：用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？有哪些几何特征？椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线定义定义 ：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫做圆：平面内与定点距离

3、等于定长的点的集合叫做圆标准方程的推导已知定点baA,.动点yxP,.定长为r由两点间的距离公式可知rbyax22)()(即222)()(rbyaxAP(x,y)圆是与一定点的距离等于定长的点的集合。圆是与一定点的距离等于定长的点的集合。那么又是什么图形呢？与两定点的距离之和为一定长的点的集合取一条定长的细绳取一条定长的细绳,把两端拉开一段距离分把两端拉开一段距离分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？该绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？该曲线满足的几何条件是什么？曲线满足的几何条件是什么？12PMMFMF 定定值值1F2FM

4、 P F 2 F 1平面内与两个定点平面内与两个定点的距离和等于常数的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距 12,F F1 2|FF一一.椭圆定义椭圆定义若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a0)，M与与F1和和F2的距离的的距离的和等于常数和等于常数2a(2a2c)，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是(c,0)、(c,0).问题：下面怎样问题：下面怎样化简化简？aMFMF2|21222221)(|,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222

5、得方程由椭圆的定义得，限制条件：由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标代入坐标xF1F2M0y它所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上，轴上，焦点是焦点是 ，中心在坐标原点，中心在坐标原点的椭圆方程的椭圆方程,其中其中12(,0)(,0)FcF c222cba222222bayaxb 两边除以两边除以22ba).0(12222babyax设设所所以以即即,0,2222 cacaca),0(222 bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 两边再平方，得两边再平方，得2222222222422yacacx

6、axaxccxaa )()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方叫做椭圆的标准方程叫做椭圆的标准方程.1F2FxyO),(yxM)0(12222babxay012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准方程椭圆的标准方程:1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式.,02222 cacaca所以即由椭圆的定义可知?,31.222的线段吗从中找出表示你能观察图思考讨论cacayOx1F2FP312.图图,c|

7、OF|OF|,a|PF|PF|,31.22121 可知由图.ca|PO|220 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM注注:共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项

8、分母较大项分母较大.焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.三、归纳总结椭圆方程与图像三、归纳总结椭圆方程与图像四、典型例题四、典型例题116y16x)2(2219y25x)3(22116y25x)1(2236y4x9)4(22例例1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？哪些是标准方程，若是哪些是标准方程，若是,试确定试确定a，b的值并写出焦点坐标？的值并写出焦点坐标？评注：评注：1）标准方程的特点：）标准方程的特点：方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2）求）求a、b、c及焦点坐标时先化为标准式方程。及焦点坐标时先化为标准式方程。3）区别焦点所在坐标

9、轴的依据是看分母的的大小。）区别焦点所在坐标轴的依据是看分母的的大小。变式练习：变式练习：1.1.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴上的椭圆，轴上的椭圆，则则m的取值范围是的取值范围是 .若表示椭圆若表示椭圆m m的的取值范围是取值范围是 22xy+=14m(0,4)(1,2)2 22 2x xy y+=1 1m m-1 13 3-m m2 2、已知方程、已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上轴上的椭圆，则的椭圆，则m m的取值范围为（的取值范围为（）（0，4）（4，+）例例2：两个焦点的坐标分别是：两个焦点的坐标分别是)0,4(),0,4(椭圆上一点到两焦点距离的和等于椭圆上一

10、点到两焦点距离的和等于10求适合以上条件的椭圆的标准方程求适合以上条件的椭圆的标准方程4 c9222 cab192522 yx102 a5 a 解：解：由题意可知由题意可知 ，所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为:20，两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是 20 ，、2523，并且经过点并且经过点练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程例例3：已知：已知B，C是两个定点，是两个定点，|BC|=6，且三角形，且三角形ABC的周长为的周长为16，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程解：1)建立直角坐标系：使x轴经过点B、C，使原点O与 B、C重合 B（-3，0），C（3，0）2)设A点的坐标为（x，y）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10 BC（用轨迹法）（用轨迹法）10y)3x(y)3x(2222 O化简可得方程：A当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形所以A 点的轨迹方程为：116y25x22 116y25x22 （y0）xy96页习题 8.1 1.2)3.选做:已知椭圆方程为 ，F1、F2 为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2120,求F1PF2的面积。1353622xy数形结合数形结合 化归与转化化归与转化思维能力思维能力 运算能力运算能力谢 谢！