第一类换元积分法

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1、3.3第一类换元积分法 教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分 法的一般步骤及其应用。重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困 难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一 根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积 分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法， 由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法换元积分法(通常简称换元法)

2、。 该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。二、第一类换元积分法(凑微分法) 我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的 不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分， 这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。定理设f(u)具有原函数，u (X)可导，则有换元公式f (x) (x)dx f(u)du u (X)证明设 f(u)具有原函数F(u),即F(u)=f(u),f(u)du=F(u)C .又因为是关于的可导函数u(x)，所以有f (X) (X)dX f (X)d (X) dF (X)

3、F (X) C又 f (u)duu (X) F(u) C F (X) C又u (X)u (X)从而推得 f (X) (X)dX f(u)duu (X) 证毕推论若 f (X)dX = F (X) C 成立，则 f (u)du = F (u) C .也成立，其中为的任一可 导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量换为的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。 f (X) (X)该方法的关键在于从被积函数f (x)(x)中成功地分出一个因子 (x)与凑成微分d (x)，而剩下部分正好表成(x)的函数，然后令(x) u，就将所要求的不定积 分变为基本积分表中已有的形式。通过

4、第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。三、第一类换元积分法的一般步骤:若某积分小血可化为f (x)(x)dx的形式，且 皿血比较容易积分，那么可按下列的方法和步骤来计算所给积分g (x)dx f (x) (x)dx凑微分设法将积分变形为的形式，从而可得：g (x)dxf (x) (x) f (x)d (x)作变量代换作变量代换U(x)，则du (x)dx d (x)，从而将积分变为g (x)dxf (x) (x) fu)du并计算该积分;将变量回代根据所作代换，用(X)替换积分结果中的，从而求得原积分的结果，即: g(x)dx fu)du F (u)C F (x) Cu (x)

5、 注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法又叫做凑微分法。四、举例例1求2xcos(x2解：因为 2x (x21)dx1)2x cos(x2 1)dx 于是令X21 u cosuducos(x2 1) (x21) dx回代u x2 1 sin(x2sinu C1) Cxk ，把一般地，对于积分f(Xk)xk 1dx为不等于“0”的常数)，总可以作变换口它化为f (u)dukf (xk )xk 1dx 1 f (xk )dxkk例2求 tan10 x sec2 xdx解：因为 sex (t arx)tan10 x sec2 xdx = tan10 x (tanx) dx令 tan

6、x ui uiodu_iyun Ctarp x C11回代u tanx(3 例3求 解：由于(32x)4dx(3 2x)4dx =令3 2 x u2x)12122 ，所以(3 2x)4 (3 2x)dxu4 duu5 C=10回代u 3 2x2x)4 d(3 2x)丄(310f(ax2 x)5 Cb)dx，总可以作变换uax b,把它化为b)dx 丄 f (ax b)d (ax b) 1 f (u)duaa注：运用换元积分法，必须要熟悉基本积分公式和一些常用的微分等式，如 dx 丄 d (ax b) d (a x)a(其中、为常数且不为零)xdx 丄d(x2) d (ax2 b) 1 d (a

7、2 x2)2 2a2一般地，对于积分f(ax1 dx d (1朝|)xexdx d(ex ) cosxdx d (sinx) sinxdxd (cosx)等等；在运算比较熟练以后，可省略写出变量代换的过程，这样可使运算过程更捷。sin：x |dx例4求 ，总可以作变换u lnx，把它化为xf(lnx)竺 f (lnx)d lnx f (u)dux一个较为复杂的积分往往需要借助两个或两个以上的积分来完成。1 dx(a一般地，对于积分例 12 求x2a21dx解：X2ruT a211(dx2a xa1d(x2a xaxa)(1臓 a i*x12a12a0)(x a) (x a) d (x a)(x

8、 a)dx)axCCdx21 d (x a)sin2 xdx 例 13 求解解：1x21sin2 xdx_ 一 2cos2xdxcos2xdx21 cos2xd(2x)4sin2 x cos； xdx例 14 求sin2 x cos； xdx 解： rui 1 sin2x4sin2 x cos4 x cosxdxsin2 x(1 sin2 x)2 d (sinx)(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d (sinx)isir? x -sin； x sirr x C357一般的，对于形如 sinm x cosn x (m,nN)的积分，当m,n中有一个为奇数时,可考虑从奇次幂因式中分一个

9、因子与dx凑微分，并借助公式cosx+sin=1再利用凑微分法求 解(如例 14);当 m,n 同为偶数时,利用公式11cos=(1+cos2x), sin= (1-cos2x)22先降幂,再利用求微分法求解（如例14）.例 15 求sin3 xdxsin3 xdxsin2 x sinxdx厢 解：cos2 xd(cosx)d (cosx)(1cos2 x)d (cosx)1C0S3 X3cosx C例 16 求Sin5 x C0S3xdx解：根据三角学中的积化和差公式得sin5xcos3xdx (sin8x sin2x)dx28Sin8xd(8x)cos8x16cos2x4sin2 xd (

10、2 x)C例 17 求tan5 xsec3 xdx解： tan5 xsec3 xdx解：小结：（1）由前面举例可以看出，求形式为(x)(xydx（x）d(x)ln (x) C（xL（x）的积分时，可用下列公式计算sinm x cosn xdx求形如的积分，tan4 x sec2 x secx tanxdx(sec2 x1)2 sec2 xd secx121sec? xsec5 xsec3 x C753若m为奇数时，只要根据sin!x 1 cos2x、sinxdxd（cosx）变形，并取（x） cosx即可；若n为奇数，可作类似处理。运用换元积分法积分，如何适当的选择变量代换没有一般的途径可循，

11、常要用到一定 的技巧，灵活性较强，因此，要想掌握此法，平时必须多做练习并加强积累才行.最后需要指出的是：积分也存在一题多解，采用的方法不一样，其结果在形式上可能不例如，求积分同.sinxcosxdxsinxd(sinx)1 sir? x C2sinxcosxdxcosxd(cosx)1 cos x CCOS2 x C2sinx cos xdxsin2xdx 24sin2xd(2x)cos2x C4sinxcosxdx解法 1：解法 2解法 3可以验证，上面三个结果都是正确的，其形式的差异只是积分常数不同罢了. 一般说来，采用的方法不同，解题的难易程度不同，故今后求积分时，应先对积分的特征进行分

12、析并选择最佳的方法来计算.习题 3.31求下列不定积分：cos4xdx:si dt33x 2)3(2x 3)dx ； (2x 1)5dxxsinxdxdxdxC0S2 X . V X2 2x2dx(a 2 x3)12.2 exexdxx ln3 xdx.x2dx3x C0s(2 3x2 )dx(11)xex2dxQ2)esinx C0sxdx心；Q4)丄dxe xx2；，Q5)xsin2 (x2dxD ；Q7).1 dxxpl ln2 x；Q8)exdx: 1 e2x3x3dx1 x42.求下列积分:x(siiax eb)dx.2x 1dxJ1 x2；，dxxlnxlnlnx .sinx C0sx,dx3sinx cosx.cos3 xdx .x3八1dxdx9 x2.(xI)x2)102 arccosxdxtan3 x secxdx1h.X-1X21 lnxdxdx(xlnx)2.Q2)(arcsix)2 V1 x