《控制系统设计方法》PPT课件

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1、 本章讨论的系统设计问题可以认为是系本章讨论的系统设计问题可以认为是系统分析的逆问题，即对于给定的受控对象模统分析的逆问题，即对于给定的受控对象模型寻找控制策略，并按照性能指标的要求解型寻找控制策略，并按照性能指标的要求解出控制器的结构与参数，构成满足性能要求出控制器的结构与参数，构成满足性能要求的反馈控制系统。的反馈控制系统。控制系统的设计过程可以在时域进行，也可以控制系统的设计过程可以在时域进行，也可以在频域进行。在频域进行。如果对象模型是以传递函数的形式给出，通常如果对象模型是以传递函数的形式给出，通常采用经典控制理论中的频率特性法或根轨迹法采用经典控制理论中的频率特性法或根轨迹法完成控

2、制器的设计，即在原有系统中引入适当完成控制器的设计，即在原有系统中引入适当的环节，用以对原有系统的某些性能（如相角的环节，用以对原有系统的某些性能（如相角裕度、剪切频率、误差系数等）进行校正，使裕度、剪切频率、误差系数等）进行校正，使校正后的系统达到期望的性能要求。校正后的系统达到期望的性能要求。如果对象模型是在状态空间以状态方程形如果对象模型是在状态空间以状态方程形式描述的，则系统的设计过程是在时域进行的，式描述的，则系统的设计过程是在时域进行的，通常是采用状态反馈和极点配置的方法得到控通常是采用状态反馈和极点配置的方法得到控制策略，其中包括状态观测器的设计以及最优制策略，其中包括状态观测器

3、的设计以及最优控制系统的设计等，其研究内容习惯上称为现控制系统的设计等，其研究内容习惯上称为现代控制理论。代控制理论。本章主要以线性时不变系统为对象讨论几种本章主要以线性时不变系统为对象讨论几种常用的设计方法，包括常用的设计方法，包括串联校正、串联校正、PIDPID控制器设计、控制器设计、极点配置与状态观测器设计、极点配置与状态观测器设计、线性二次型最优控制系统设计等。线性二次型最优控制系统设计等。7.1 7.1 串联校正串联校正 本节讨论三种串联校正装置的频域设计方法，即本节讨论三种串联校正装置的频域设计方法，即相位超前、相位滞后、相位滞后超前校正装置设计。相位超前、相位滞后、相位滞后超前校

4、正装置设计。相位超前校正相位超前校正主要用于改善闭环系统的动态特性，主要用于改善闭环系统的动态特性，对于系统的稳态精度影响较小；对于系统的稳态精度影响较小；相位滞后校正相位滞后校正可以明显地改善系统的稳态性能，但可以明显地改善系统的稳态性能，但会使动态响应过程变缓；会使动态响应过程变缓；相位滞后超前校正相位滞后超前校正则把两者的校正特性结合起来，则把两者的校正特性结合起来，用于动态、静态特性均要求较高的系统。用于动态、静态特性均要求较高的系统。下面具体讨论三种校正装置的设计与实现问题下面具体讨论三种校正装置的设计与实现问题7.1.1 7.1.1 相位超前校正相位超前校正相位超前校正环节可以等相

5、位超前校正环节可以等效地由电阻电容构成的效地由电阻电容构成的RCRC网络来表示。网络来表示。其网络传递函数可以写为其网络传递函数可以写为1RC)(tui)(tuo2RpszsTsTssUsUsGioc11)()()(其中其中1212RRRCRT1)/(1Tpz=1/T 说明说明 超前校正环节具有极点超前校正环节具有极点 ,零点零点 ，由于，由于 ，因此在，因此在s s平面极点位于零点平面极点位于零点的左侧。的左侧。)/(1TpsTzs/11例例7-17-1使用使用MATLABMATLAB绘制当绘制当 时时的的bodebode图和图和NyquistNyquist图图5.0,2.0,1.0T=1，

6、MATLAB 程序如下：程序如下：T=1for i=1:5 alpha(i)=i*alpha0 G(i)=tf(alpha(i)*T alpha(i),alpha(i)*T 1)endbode(G(1),G(2),G(3),G(4),G(5)figurenyquist(G(1),G(2),G(3),G(4),G(5)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：由图可知：由图可知：1 1）最大超前角）最大超前角 与所对应的频率与所对应的频率 随随 的减的减 小而升高，并有关系式小而升高，并有关系式2 2）处于两个转折频率处于两个转折频率 和和1/T1/T的几何中心，的几何中心，即即3 3）超前校正环

7、节提供的最大相位超前角约在）超前校正环节提供的最大相位超前角约在 之间。若需要更大的超前角，可以采用多个超前之间。若需要更大的超前角，可以采用多个超前环节的串联。环节的串联。mm11arcsinm或或21arctanmm)/(1TT16555说明：由于此网络的增益为，所以在实际说明：由于此网络的增益为，所以在实际应用时，为保证系统的稳态性能，必须增应用时，为保证系统的稳态性能，必须增加一个增益为的放大器，即校正网络为加一个增益为的放大器，即校正网络为11)(TsTssGc例例7-2 7-2 已知原系统开环传递函数为已知原系统开环传递函数为)20030(400)(2ssssG试（试（1 1）用）

8、用bodebode图设计超前校正装置，设计指标图设计超前校正装置，设计指标为：为：静态速度误差系数静态速度误差系数 相角裕度相角裕度（2 2）用）用MATLABMATLAB语言绘制校正前后的语言绘制校正前后的bodebode图及单图及单位阶跃响应。位阶跃响应。10vK40理论分析理论分析根据根据 可以求得校正环节的增益可以求得校正环节的增益10vK5cKMATLAB 程序如下：程序如下：ng=400dg=1 30 200 0G0=tf(ng,dg)kc=5dPm=40+10mag,phase,w=bode(G0*kc)Mag=20*log10(mag)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(

9、G0*kc)phi=(dPm-Pm)*pi/180alpha=(1+sin(phi)/(1-sin(phi)Mn=-10*log10(alpha)Wcgn=spline(Mag,w,Mn)T=1/Wcgn/sqrt(alpha)Tz=alpha*TGc=tf(Tz,1,T,1)figure(1)bode(G0*kc,G0*kc*Gc)；F0=feedback(G0*kc,1)F=feedback(G0*kc*Gc,1)figure(2)step(F0,F)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明：运行以下语句，可以验证性能指标说明：运行以下语句，可以验证性能指标 margin(G0*kc*

10、Gc)经比较看出：校正后系统的快速性得到提高，经比较看出：校正后系统的快速性得到提高，超调量有所降低，大约由原来的超调量有所降低，大约由原来的40%40%下降到下降到29%29%。例例7-3 7-3 已知原系统开环传递函数为已知原系统开环传递函数为)104.0(100ss（1 1）绘制原系统的）绘制原系统的bodebode图，标出相角裕度和幅值图，标出相角裕度和幅值裕度；裕度；（2 2）现引入超前校正装置，）现引入超前校正装置，绘制校正后系统的绘制校正后系统的bodebode图，并与原系统的图，并与原系统的bodebode图进图进行比较；行比较；（3 3）绘制校正前后的阶跃响应曲线并进行比较。

11、）绘制校正前后的阶跃响应曲线并进行比较。要求：要求：10106.010262.0)(sssGcMATLAB 程序如下：程序如下：G0=tf(100,0.04,1,0)Gm0,Pm0,Wcg0,Wcp0=margin(G0)Gc=tf(0.0262,1,0.0106,1)G=Gc*G0Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)bode(G0,G)T0=feedback(G0,1)T=feedback(G,1)figurestep(T0,T)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：Gm0=InfPm0=Wcg0=InfWcp0=Gm=InfPm=Wcg=InfWcp=%原系统原系统%校正后系统

12、校正后系统从图中看出：从图中看出：展宽了频带，展宽了频带，增加了相角增加了相角裕度，提高裕度，提高了系统的快了系统的快速性。速性。从图中看出：从图中看出：证明了不但证明了不但减小了系统减小了系统的超调量，的超调量，而且提高了而且提高了系统的快速系统的快速性。性。7.1.2 7.1.2 相位滞后校正相位滞后校正 相位滞后校正的等效相位滞后校正的等效RCRC网络如图所示网络如图所示 其网络传递函数可以写为其网络传递函数可以写为)()(111)()()(pszsTsTssUsUsGioc1RC)(tui)(tuo2R其中其中1221RRRCRT2)/(1TpTz/1说明说明滞后校正环节具有极点滞后校

13、正环节具有极点 ，零点，零点Tps1因此在因此在s s平面上，极点位于零点的右侧平面上，极点位于零点的右侧Tzs1由于由于 ，1例例7-4 7-4 设滞后校正环节的传递函数为设滞后校正环节的传递函数为设：设：T=1T=1；=5=5，1010，1515，试绘制滞后校正环节的试绘制滞后校正环节的bodebode图和图和NyquistNyquist图图11)(TsTssGcMATLAB 程序如下：程序如下：beta0=5T=1for i=1:3 beta(i)=i*beta0 G(i)=tf(T 1,beta(i)*T 1)endfigure(1)bode(G(1),G(2),G(3)figure(

14、2)nyquist(G(1),G(2),G(3)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明：说明：最大相位滞后角所对应的频率最大相位滞后角所对应的频率在转折频率在转折频率 处，校正环节的幅值裕度衰处，校正环节的幅值裕度衰减为减为 。Tm1T/1lg20滞后校正环节对高频噪声可以有效的抑制，滞后校正环节对高频噪声可以有效的抑制，因此具有低通滤波器特性。因此具有低通滤波器特性。例例7-5 7-5 已知原系统开环传递函数已知原系统开环传递函数)5(10)(sssG要求：稳态误差要求：稳态误差 ,剪切频率剪切频率 ，相角裕度相角裕度 ，试用，试用MATLABMATLAB语句编制滞后校语句编制滞后校正

15、装置的设计程序，绘制校正前后的正装置的设计程序，绘制校正前后的bodebode图和阶图和阶跃响应曲线。跃响应曲线。%5ssesradc/240MATLAB 程序如下：程序如下：num=10den=1 5 0G0=tf(num,den)wcg=2kc=10mag,phase,w=bode(G0*kc)magdb=20*log10(mag)Gr=-spline(w,magdb(1,:),wcg)alpha=10(Gr/20)T=10/(alpha*wcg)Gc=tf(alpha*T 1,T 1)F0=feedback(G0*kc,1)F=feedback(G0*kc*Gc,1)figure(1)b

16、ode(G0*kc,G0*kc*Gc)figure(2)step(F0,F)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明：说明：从从阶跃响应曲阶跃响应曲线看出，滞线看出，滞后校正使系后校正使系统响应速度统响应速度变慢，但平变慢，但平稳性得到改稳性得到改善，超调变善，超调变小，振荡次小，振荡次数减少。数减少。校正前相校正前相角裕度为角裕度为28校正后相校正后相角裕度为角裕度为63例例7-6 7-6 已知原系统开环传递函数为已知原系统开环传递函数为)104.0(100ss若采用滞后校正装置若采用滞后校正装置 ，试绘制校正前后的试绘制校正前后的bodebode图和阶跃响应曲线，图和阶跃响应曲线，并与

17、超前校正结果进行比较。并与超前校正结果进行比较。15.215.0)(sssGcMATLAB 程序如下：程序如下：G0=tf(100,0.04,1,0)Gc=tf(0.5,1,2.5,1)G=Gc*G0Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)figure(1)bode(G0,G)T0=feedback(G0,1)T=feedback(G,1)figure(2)step(T0,T)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明说明滞后校正后系滞后校正后系统的相角裕度统的相角裕度由原来由原来 的的增加到增加到 ，而剪切频率由而剪切频率由原来原来 的减少的减少到到 ，同时阶跃响应同时阶跃响应的平稳

18、性得到的平稳性得到改善。改善。288.50srad/47srad/7.16MATLAB 程序如下：程序如下：超前校正结果进行比较超前校正结果进行比较G0=tf(100,0.04,1,0)Ga=tf(0.5,1,2.5,1)G1=Ga*G0Gb=tf(0.0262,1,0.0106,1)G2=Gb*G0T1=feedback(G1,1)T2=feedback(G2,1)step(T1,r,T2,b,1.5)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：7 71 13 3 相位超前滞后校正相位超前滞后校正相位超前滞后校正装置的等相位超前滞后校正装置的等效效RCRC网络如图所示，其传递网络如图所示，其传递

19、函数函数1R1C)(tui)(tuo2R2C1111)()()(22111sTsTsTsTsUsUsGioc111CRT 222CRT 1,212211112CRCRCRTT其中其中超前环节超前环节滞后环节滞后环节例例7-7 7-7 设设10;121TT试绘制超前滞后校正环节的试绘制超前滞后校正环节的bodebode图和图和NyquistNyquist图图=10=10 beta=10T1=1T2=10num=conv(T1 1,T2 1)den=conv(T1/beta 1,T2*beta 1)Gc=tf(num,den)figure(1)bode(Gc)figure(2)nyquist(Gc

20、)MATLAB 程序如下：程序如下：运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明说明在在bodebode图幅频特性上，低频段与高频段均为图幅频特性上，低频段与高频段均为0dB0dB，这表明该环节的总增益为，这表明该环节的总增益为1 1；在相频特；在相频特性曲线上，曲线与性曲线上，曲线与 线交点处的频率刚好是线交点处的频率刚好是在幅频特性曲线的最低点，其值在幅频特性曲线的最低点，其值 ，当当 时，整个环节起滞后作用，时，整个环节起滞后作用，当当 时，起超前校正作用。时，起超前校正作用。0211/1TT101例例7-87-8已知原系统开环传递函数已知原系统开环传递函数)15.0)(1()(sssk

21、sG试设计超前滞后校正装置试设计超前滞后校正装置 ，满足下列性能指，满足下列性能指标：速度误差系数标：速度误差系数 ，相角裕度，相角裕度 ，幅，幅值裕度值裕度)(sGc10vK40dBKg10要求：要求：（1）用）用MATLAB语句绘制校正前后系语句绘制校正前后系统的统的bode图和校正后的阶跃响应；图和校正后的阶跃响应；（2）用）用Simulink进行系统仿真，绘制进行系统仿真，绘制仿真结构图。仿真结构图。理论分析：理论分析：为了满足速度误差系数为了满足速度误差系数 ，可求得，可求得 ，得未校正系，得未校正系统的相角裕度为统的相角裕度为 ，而幅值裕度，而幅值裕度 因此系统是不稳定的因此系统是

22、不稳定的 10vK10k1.28)/41.1(0sraddBKgg现采用滞后超前校正。为了保持足够的响应速现采用滞后超前校正。为了保持足够的响应速度，取校正后的剪切频率度，取校正后的剪切频率 （不（不至于距离校正前的剪切太远），求得滞后校正至于距离校正前的剪切太远），求得滞后校正部分为：部分为：超前校正部分为：超前校正部分为：于是得滞后超前校正装置的传递函数为于是得滞后超前校正装置的传递函数为sradgc/41.114.71114.7ss1143.0143.1ss1143.0143.114.71114.7)(sssssGcMATLAB 程序如下：程序如下：G0=tf(10,conv(1 0,c

23、onv(1 1,0.5 1)figure(1)margin(G0)Gc1=tf(1.43 1,0.143 1)Gc2=tf(7.14 1,71.4 1)G=Gc1*Gc2*G0figure(2)margin(G)T=feedback(G,1)figure(3)step(T)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明：说明：校正后系统校正后系统的的bodebode图和图和阶跃响应曲阶跃响应曲线表明系统线表明系统具有良好的具有良好的动态特性，动态特性，比原来有了比原来有了明显的改善。明显的改善。说明：说明：校正满足设计要求校正满足设计要求Transfer Fcn 2100.5s +1.5s +s

24、32Transfer Fcn 17.14s+171.4s+1Transfer Fcn1.43s+10.143 s+1StepScope用用SimulinkSimulink进行系统仿真，仿真结构图如图所示。进行系统仿真，仿真结构图如图所示。7.2 7.2 反馈校正反馈校正除了前面介绍的三种串联校正方法之外，反馈校除了前面介绍的三种串联校正方法之外，反馈校正（又称并联校正），也是广泛采用的系统设计正（又称并联校正），也是广泛采用的系统设计方法之一。方法之一。设含有反馈校正的控制系统框图如图所示。设含有反馈校正的控制系统框图如图所示。待校正系统开环传递函数为待校正系统开环传递函数为)()()()(3

25、210sGsGsGsG校正后系统开环传递函数为校正后系统开环传递函数为)()(1)()(20sGsGsGsGc若在我们感兴趣的频段（即可接受校正的频段，一若在我们感兴趣的频段（即可接受校正的频段，一般在低、中频段）内般在低、中频段）内1)()(2jGjGc则有则有)()()()(20jGjGjGjGc或写为或写为)()()()(02jGjGjGjGc表明表明，在，在bodebode图上只要待校正的开环幅频特性与期图上只要待校正的开环幅频特性与期望开环幅频特性相减，即可近似地获得望开环幅频特性相减，即可近似地获得 ，由于由于 已知，已知，可以立刻求出。可以立刻求出。)()(2sGsGc)(2sG

26、)(sGc用期望特性法设计反馈校正装置的步骤如下：用期望特性法设计反馈校正装置的步骤如下：1）根据稳态指标绘制未校正系统的开环对数幅）根据稳态指标绘制未校正系统的开环对数幅频特性，即频特性，即)(lg20)(00jGL2）根据给定性能指标绘制期望开环幅频特性，即）根据给定性能指标绘制期望开环幅频特性，即)(lg20)(jGL3）将以上两式相减，即可求得的对数频率特性，即）将以上两式相减，即可求得的对数频率特性，即)()()()(lg2002LLjGjGc0)()(0LL（要求（要求 ）4）检查局部反馈回路的稳定性，并检查在期望）检查局部反馈回路的稳定性，并检查在期望剪切频率剪切频率 附近附近

27、的程度是否符合近似条件的程度是否符合近似条件c0)()(lg202jGjGc5）由）由 求出求出)()(2sGsGc)(sGc6）检验校正后的系统是否满足性能指标要求。）检验校正后的系统是否满足性能指标要求。例例7-97-9已知某随动系统如图所示，试设计反馈校正已知某随动系统如图所示，试设计反馈校正装置装置)(sHc设计指标为：设计指标为：绘制校正前后的绘制校正前后的bodebode图及单位阶跃响应曲线，并作图及单位阶跃响应曲线，并作出仿真结构图。出仿真结构图。100vK%23%sts6.0首先对本题做理论分析首先对本题做理论分析 1 1）由）由 可确定可确定k=100k=100，故固有部分故

28、固有部分传递函数为传递函数为100vK)10067.0)(11.0(100)(0ssssG由由BodeBode图可知系图可知系统的性能指标统的性能指标 2 2）求取期望频率特性。）求取期望频率特性。根据性能指标根据性能指标 ，可求得可求得 再由再由 ，可得，可得%23%sts6.0175.1rMrcM1)(sin58)(c由经验公式由经验公式34.2)1(5.2)1(5.122rrMMksradtksc/246.126.014.334.2近似取近似取sradc/12取中频宽取中频宽124.1211rrMMhsradc/123 取取 srad/833sradh/69.632 取取 srad/52

29、低频段的转折频率可由几何方法求得。低频段的转折频率可由几何方法求得。则校正后系统开环传递函数（即期望特性）则校正后系统开环传递函数（即期望特性）为为)1831)(10067.0)(16.01()151(100)(ssssssGsrad/6.013 3）确定校正装置）确定校正装置 的参数。的参数。将原系统化为结构图如图所示将原系统化为结构图如图所示)(sHc由于低于由于低于 和高于和高于 的频率无需校正，故考的频率无需校正，故考虑虑 的校正频率段。由期望特性和原系统的校正频率段。由期望特性和原系统的频率特性可推得的频率特性可推得133112.0)()(2ssKssHsHncc0167.011vn

30、KK故反馈校正装置的传递函数为故反馈校正装置的传递函数为12.00167.0)(sssHc式中式中 是反馈校正装置的增益是反馈校正装置的增益nKG01=tf(100,conv(0.1 1,0.0067 1)G02=tf(1,1 0)Hc=tf(0.0167 0,0.2 1)G0=G01*G02Ga=feedback(G01,Hc)G=Ga*G02figure(1)bode(G0,G)T0=feedback(G0,1)T=feedback(G,1)figure(2)step(T0,T)MATLAB 程序如下：程序如下：运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：仿真结构图仿真结构图1492537.3

31、1s(s+10)(s+149.25)Zero-Pole11492537.31s(s+10)(s+149.25)Zero-Pole0.01670.2s+1Transfer FcnStep1StepScope1sIntegrator11sIntegrator7.3 PID7.3 PID控制器设计控制器设计PIDPID控制是最早发展起来方法之一。由于其结控制是最早发展起来方法之一。由于其结构简单，应用中参数整定方便，因此在工业控构简单，应用中参数整定方便，因此在工业控制中得到广泛的应用。事实上，当今应用的工制中得到广泛的应用。事实上，当今应用的工业控制器中，有半数以上是采用业控制器中，有半数以上是采

32、用PIDPID或变形或变形PIDPID控制方案的，其中包括传统的模拟式控制方案的，其中包括传统的模拟式PIDPID控制控制和近年来微处理器实现的数字和近年来微处理器实现的数字PIDPID控制器。控制器。PIDPID控制器的数学表达式为控制器的数学表达式为 dttdeTdtteTteKtudtip)()(1)()(0其传递函数为其传递函数为sTsTKsEsUsGdip11)()()(7.3.1 PID7.3.1 PID控制器的控制特性控制器的控制特性PIDPID控制有多种应用形式，如控制有多种应用形式，如P P、PIPI、PIDPID等，下面等，下面通过具体实例说明比例、积分、微分各环节的控制通

33、过具体实例说明比例、积分、微分各环节的控制作用。作用。例例7-107-10考虑一个三阶对象模型，考虑一个三阶对象模型，研究分别采用研究分别采用P P、PIPI、PIDPID控制策略下闭环系统的控制策略下闭环系统的阶跃响应。阶跃响应。3)1(1)(ssGG=tf(1,1 3 3 1)P=0.2:0.6:2.0for i=1:length(P)G_c=feedback(P(i)*G,1)step(G_c)hold onendMATLAB 程序如下程序如下（采用（采用P控制）控制）运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明说明当当 值增大值增大时，系统响时，系统响应速度加快，应速度加快，幅值增高幅

34、值增高 pK说明说明根轨迹分根轨迹分析可知，析可知，当当 系统将不系统将不稳定稳定。0.8pKG=tf(1,1 3 3 1)Kp=1Ti=0.7:0.2:1.5for i=1:length(Ti)Gc=tf(Kp*1,1/Ti(i),1,0)G_c=feedback(G*Gc,1)step(G_c)hold onendaxis(0,18,0,2)MATLAB 程序如下程序如下（采用（采用PI控制）控制）运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明说明PIPI的控制作用时的控制作用时可以消除静差，可以消除静差，当当 值增大时，值增大时，系统超调变小，系统超调变小，响应速度变慢；响应速度变慢；若若

35、 变小，则变小，则超调增大，响应超调增大，响应加快。加快。iTiTG=tf(1,1 3 3 1)Kp=1Ti=1Td=0.1:0.4:2.1for i=1:length(Td)Gc=tf(Kp*Ti*Td(i),Ti,1/Ti,1,0)G_c=feedback(G*Gc,1)step(G_c)hold onendaxis(0,20,0,1.6)MATLAB 程序如下程序如下（采用（采用PID控制）控制）运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明说明当当 增大时，增大时，系统的响应速度系统的响应速度加快，响应峰值加快，响应峰值提高提高 dT在实际应用时，由于纯微分环节无法实现，通在实际应用时，

36、由于纯微分环节无法实现，通常用带有滞后的近似一阶环节来代替。相应的常用带有滞后的近似一阶环节来代替。相应的PIDPID控制器传递函数为控制器传递函数为111)()()(NsTsTsTKsEsUsGddip为了较好地近似，为了较好地近似，N N取值的可以大些。理论上取值的可以大些。理论上当当 时，近似微分环节将趋于理想微分时，近似微分环节将趋于理想微分环节。环节。N例例7-11 7-11 考虑一个三阶对象模型，考虑一个三阶对象模型，采用采用PIDPID控制方法，令控制方法，令 ，研究近，研究近似微分环节对闭环系统阶跃响应的影响。似微分环节对闭环系统阶跃响应的影响。3)1(1)(ssG1dipTT

37、KG=tf(1,1 3 3 1)Td=1;Kp=1;Ti=1N=100,1000,1:10Gc=tf(Kp*Ti*Td,Ti,1/Ti,1,0)G_c=feedback(G*Gc,1)step(G_c)hold onfor i=1:length(N)nn=Kp*(Ti*Td,0,0+conv(Ti,1,Td/N(i),1)/Ti dd=Td/N(i),1,0 Gc=tf(nn,dd)G_c=feedback(G*Gc,1)step(G_c)hold onendfigurey,t=step(G_c)err=1-yplot(t,err)MATLAB 程序如下程序如下运行程序，得到结果：运行程序，得

38、到结果：说明说明当选择当选择N=10N=10时，时，近似精度近似精度是令人满是令人满意的意的 说明说明N=10N=10时误差时误差信号的变化信号的变化情况情况 7.3.2 PID7.3.2 PID控制器的参数整定控制器的参数整定实现实现PIDPID控制器的核心问题是根据给定的受控对控制器的核心问题是根据给定的受控对象，合理的选择控制参数。象，合理的选择控制参数。PIDPID控制器的三个参控制器的三个参数选择，本质上是在三维空间的搜索问题。早在数选择，本质上是在三维空间的搜索问题。早在19421942年，齐格勒年，齐格勒-尼柯尔斯（尼柯尔斯（Ziegler-NicholsZiegler-Nich

39、ols）就在大量的实验基础上，提出了一种实用的参数就在大量的实验基础上，提出了一种实用的参数整定规则，简称整定规则，简称Z-NZ-N规则规则。具有具有PIDPID控制器的闭环系统框图。控制器的闭环系统框图。由图可见，由图可见，PIDPID控制器是一种串联校正装置。当被控制器是一种串联校正装置。当被控对象的数学模型已知时，可以采用各种不同的设控对象的数学模型已知时，可以采用各种不同的设计方法确定控制器的参数，包括解析方法和阶跃曲计方法确定控制器的参数，包括解析方法和阶跃曲线等。但是被控对象模型无法精确获得，则不能用线等。但是被控对象模型无法精确获得，则不能用解析方法去设计控制器。解析方法去设计控

40、制器。在这种情况下，只能借助在这种情况下，只能借助于实验的方法来整定控制器的参数。此时，于实验的方法来整定控制器的参数。此时，Z-NZ-N整整定规则更显出它的实用价值。定规则更显出它的实用价值。Z-NZ-N整定规则有两种实施的方法，它们共同的目整定规则有两种实施的方法，它们共同的目标都是使系统阶跃响应的最大超调量不超过标都是使系统阶跃响应的最大超调量不超过25%25%。第一种方法（响应曲线法第一种方法（响应曲线法 ）在被控对象的输入端加一阶跃信号，然后测出输出在被控对象的输入端加一阶跃信号，然后测出输出的响应曲线。如果被控对象既无积分环节，又无共的响应曲线。如果被控对象既无积分环节，又无共轭复

41、数极点存在，则阶跃响应曲线呈轭复数极点存在，则阶跃响应曲线呈S S形。形。该曲线的特征可以用测得的延迟时间该曲线的特征可以用测得的延迟时间 和时间常数和时间常数 T来表征来表征其相应的数学模型可以用下面的传递函数近其相应的数学模型可以用下面的传递函数近似的描述：似的描述：1)(TsKesGs（如果阶跃响应的曲线不是（如果阶跃响应的曲线不是S S形，则不能应用此方法）形，则不能应用此方法）根据实验测得的根据实验测得的、T T参数，再按表参数，再按表7-17-1，即可整定，即可整定PIDPID控制器的参数。控制器的参数。控制器类型控制器类型P PT/K0PIPI0.9T/K/0.30PIDPID1

42、.2T/K20.5表表7-1 7-1 第一种第一种Z-NZ-N整定方法整定方法 pKiTdT第二种方法（临界比例度法）第二种方法（临界比例度法）对于图所示闭环系统，设对于图所示闭环系统，设 ,即只采用即只采用比例控制。令比例控制。令 从零逐渐增大，直至系统阶跃响应从零逐渐增大，直至系统阶跃响应呈现持续的等幅振荡。记下此时输出曲线对应的临呈现持续的等幅振荡。记下此时输出曲线对应的临界增益值界增益值 和振荡周期和振荡周期 （若无论怎样变化（若无论怎样变化 值，值，系统都不会呈现持续振荡，则不能用此方法），再系统都不会呈现持续振荡，则不能用此方法），再按表按表7-27-2给出的经验公式确定给出的经验

43、公式确定 、和和 。这种。这种方法又称为方法又称为临界比例度法临界比例度法。表中比例度。表中比例度 ，临，临界比例度界比例度iTiT0dTpKcKcTpKpKiTdTpK/1ckK/1控制器类型控制器类型P P20PIPI2.20.8330PIDPID1.70.50.125表表7-2 7-2 第二种第二种Z-NZ-N整定方法（整定方法（临界比例度法临界比例度法）iTdT%/)/1(pKcTcTcTkkk例例7-12 7-12 已知被控对象传递函数为已知被控对象传递函数为110151211)(sssssG试用试用Z-NZ-N两种整定方法确定两种整定方法确定PIDPID控制器的参数，并控制器的参数

44、，并绘制阶跃响应曲线。绘制阶跃响应曲线。理论分析理论分析 根据实验测得的根据实验测得的、T T参数，按表参数，按表7-17-1，即可整，即可整定定PIDPID控制器的参数。控制器的参数。MATLAB 程序如下程序如下运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：G=tf(1,conv(1 1,conv(2 1,conv(5 1,10 1)step(G)可得可得K=1，理论分析理论分析 根据实验测得的根据实验测得的 、参数，按表参数，按表7-27-2，即可，即可整定整定PIDPID控制器的参数。控制器的参数。MATLAB 程序如下程序如下运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：G1=tf(1,conv

45、(1 1,conv(2 1,conv(5 1,10 1)kcG=feedback(G1*kc,1)step(G,40)cKcT698.7cK7.1989.1159.31cT第二中方法基本参数第二中方法基本参数MATLAB 程序如下程序如下t1=0:0.5:150G=tf(1,conv(1 1,conv(2 1,conv(5 1,10 1)Gc,kc,ti,td=z_n1(k,t,tor,pid)Gcl1=feedback(G*Gc,1)step(Gcl1,150)hold onKcGc,kc,ti,td=z_n2(Kc,Tc,pid)Gcl2=feedback(G*Gc,1)step(Gcl2

46、,150)z_n1自定义函数程序清单自定义函数程序清单functionGc,kc,ti,td=z_n1(k,t,tor,varargin)controllertype=varargin1switch controllertype case p delta=k*tor/t;Gc=tf(1/delta,1)kc=1/delta;ti=inf;td=0 case pi delta=1.1*k*tor/t;ti=3.3*tor;kc=1/delta;Gc=tf(ti 1,ti 0)*kc;td=0 case pid delta=0.85*k*tor/t;ti=2*tor;td=0.5*tor;kc=1

47、/delta;Gc1=tf(ti 1,ti 0)*kc;Gc2=tf(td 0,1)*kc Gc=Gc1+Gc2endz_n2自定义函数程序清单自定义函数程序清单functionGc,kc,ti,td=z_n2(Kc,Tc,varargin)controllertype=varargin1switch controllertype case p kc=Kc/2;Gc=tf(kc,1)ti=inf;td=0 case pi kc=Kc/2.2;ti=0.833*Tc;Gc=tf(ti 1,ti 0)*kc;td=0 case pid kc=Kc/1.7;ti=0.5*Tc;td=0.125*Tc

48、 Gc1=tf(ti 1,ti 0)*kc;Gc2=tf(td 0,1)*kc Gc=Gc1+Gc2end运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：例例7-13 7-13 已知被控对象传递函数为已知被控对象传递函数为432110)(sssssG(1)(1)试用试用MATLABMATLAB语句输入语句输入 ，并绘制阶跃响应，并绘制阶跃响应曲线，估计模型参数曲线，估计模型参数K K、T值。值。(2)(2)根据模型参数，用根据模型参数，用Z-NZ-N第一种方法设计第一种方法设计P P、PIPI、PIDPID控制器，并绘制阶跃响应曲线。控制器，并绘制阶跃响应曲线。)(sG理论分析理论分析 MATLAB

49、程序如下程序如下运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：G=tf(10,conv(1 1,conv(1 2,conv(1 3,1 4)step(G)k=dcgain(G)可知可知MATLAB 程序如下程序如下G=tf(10,conv(1 1,conv(1 2,conv(1 3,1 4)Gc1,Kp1=ziegler(1,k,l,t,10);Kp1Gc2,Kp2,Ti2=ziegler(2,k,l,t,10);Kp2,Ti2Gc3,Kp3,Ti3,Td3=ziegler(3,k,l,t,10);Kp3,Ti3,Td3G_c1=feedback(G*Gc1,1);step(G_c1);hold o

50、nG_c2=feedback(G*Gc2,1);step(G_c2)G_c3=feedback(G*Gc3,1);step(G_c3)function Gc,Kp,Ti,Td=ziegler(key,vars)Ti=;Td=;k=vars(1);l=vars(2);T=vars(3);N=vars(4);a=k*l/T;if key=1,Kp=1/a;elseif key=2,Kp=0.9/a;Ti=3.33*1;elseif key=3 Kp=1.2/a;Ti=2*1;Td=1/2;endswitch key case 1 Gc=Kp;case 2 Gc=tf(Kp*Ti,1,Ti,0);c

51、ase 3 nn=Kp*Ti*Td*(N+1)/N,Kp*(Ti+Td/N),Kp;dd=Ti*Td/N,1,0;Gc=tf(nn,dd);endZiegler自定义函数程序清单自定义函数程序清单运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：说明说明在在P控制下，控制下，系统存在稳态系统存在稳态误差。可以看误差。可以看出出PID的响应的响应速度一般高于速度一般高于PI控制器控制器关于关于Z-NZ-N参数整定方法的几点说明：参数整定方法的几点说明：对象数学模型已知时，对象数学模型已知时，Z-NZ-N规则当然可以使用，但同时还规则当然可以使用，但同时还有许多其它的解析方法有许多其它的解析方法 和图解方法

52、。实践证明，在对象和图解方法。实践证明，在对象模型不能精确确定的情况下（特别是在工业过程控制中），模型不能精确确定的情况下（特别是在工业过程控制中），Z-NZ-N规则的使用价值更加明显。规则的使用价值更加明显。注意注意Z-NZ-N规则的使用条件：第一种方法要求对象的阶跃响应规则的使用条件：第一种方法要求对象的阶跃响应曲线呈曲线呈S S 形；第二种方法要求当以增益为参量变化时，闭环形；第二种方法要求当以增益为参量变化时，闭环系统的输出响应必须呈现等幅振荡状态，否则不适用。系统的输出响应必须呈现等幅振荡状态，否则不适用。使用使用Z-NZ-N整定方法，闭环系统阶跃响应呈现出整定方法，闭环系统阶跃响应

53、呈现出10%60%10%60%的超调的超调量，经过量，经过Z-NZ-N整定，最大超调量的平均值约为整定，最大超调量的平均值约为25%25%。实际上，。实际上，Z-NZ-N整定方法对参数值提供了一种科学的估测，并为进一步整定方法对参数值提供了一种科学的估测，并为进一步精调提供了起点。精调提供了起点。PID PID控制器由于其算法简单，鲁棒性好以及可靠控制器由于其算法简单，鲁棒性好以及可靠性高，被广泛应用于过程控制和运动控制。性高，被广泛应用于过程控制和运动控制。随着计算机技术与智能理论的发展，近年来出现随着计算机技术与智能理论的发展，近年来出现了许多智能了许多智能PIDPID控制器的设计和各种参

54、数优化方法，控制器的设计和各种参数优化方法，为复杂动态不确定性系统的控制提供了新的途径，出为复杂动态不确定性系统的控制提供了新的途径，出现了现了神经网络神经网络PIDPID控制、遗传算法控制、遗传算法PIDPID参数优化、非线参数优化、非线性系统性系统PIDPID鲁棒控制、专家系统和模糊鲁棒控制、专家系统和模糊PIDPID参数整定方参数整定方法法等，使传统的等，使传统的PIDPID控制方法与现代各种控制技术融控制方法与现代各种控制技术融为一体，展现出广阔的发展前景。为一体，展现出广阔的发展前景。MATLABMATLAB辅助工具的作用愈显突出。辅助工具的作用愈显突出。7.3.3 PID7.3.3

55、 PID控制器参数的智能整定（参数优化方法）控制器参数的智能整定（参数优化方法）经典控制理论经典控制理论通常采用输出反馈，用频率法通常采用输出反馈，用频率法或根轨迹法设计控制系统，使闭环极点在期望的或根轨迹法设计控制系统，使闭环极点在期望的位置上。位置上。现代控制理论现代控制理论则更多地采用状态和极点任意则更多地采用状态和极点任意配置的方法进行综合。由于状态反馈可以提供更配置的方法进行综合。由于状态反馈可以提供更丰富的状态信息和选择的自由度，因此使系统容丰富的状态信息和选择的自由度，因此使系统容易获得更优良的性能。易获得更优良的性能。7.4 7.4 状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置设受控系

56、统设受控系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为7.4.1 7.4.1 状态反馈状态反馈若用状态向量的线性反馈构成闭环系统，则称若用状态向量的线性反馈构成闭环系统，则称其为状态反馈系统其为状态反馈系统DCBA,0DuCxyBuAxx 状态反馈系统的结构图如图所示状态反馈系统的结构图如图所示由图可见，状态反馈控制规律为由图可见，状态反馈控制规律为将此式代入状态方程，可得闭环系统状态方程为将此式代入状态方程，可得闭环系统状态方程为闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为K K称为状态反馈增益矩阵称为状态反馈增益矩阵BrxBKAxKxru0BKAsI例例7-147-14 已知受控系统已知受控系统

57、的系数矩的系数矩阵分别为阵分别为 DCBA,02031A11B01C0D期望极点在期望极点在-5-5和和-6-6，试确定状态反馈矩阵，试确定状态反馈矩阵21kk由已知条件可写出闭环系统特征方程为由已知条件可写出闭环系统特征方程为理论分析理论分析0)52()3(21212kkskksBKAsI期望特征方程为期望特征方程为03011652ssss两式比较，可求得反馈矩阵两式比较，可求得反馈矩阵21kk3;521kk21kkK 编写程序求反馈矩阵编写程序求反馈矩阵 MATLAB 程序如下：程序如下：a=-1 3;0-2b=1;1c=1 0d=0G=ss(a,b,c,d)p=-5-6syms k1 k

58、2 sk=k1 k2eq=simple(det(s*eye(size(a)-a+b*k)er=1for i=1:2 er=simple(er*(s-p(i)ender=er-eqk1 k2=solve(jacobian(er,s),subs(er,s,0)运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：表明：通过选择合适的状态反馈矩阵表明：通过选择合适的状态反馈矩阵K K能使闭环极能使闭环极点（即特征根）配置到所期望的位置。但是，这点（即特征根）配置到所期望的位置。但是，这样做的充要条件是状态必须完全可控。反言之，样做的充要条件是状态必须完全可控。反言之，如果系统是状态完全可控的，则可以通过状态反如果

59、系统是状态完全可控的，则可以通过状态反馈来任意配置闭环极点的位置。馈来任意配置闭环极点的位置。k1=5 k2=3控制系统的性能主要取决于系统极点的位置。控制系统的性能主要取决于系统极点的位置。作为系统性能指标的一种形式，往往是给出一组作为系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望极点。期望极点。所谓极点配置所谓极点配置，就是对于给定对象的状态模型，就是对于给定对象的状态模型，通过选择状态反馈矩阵，使闭环系统的极点正好通过选择状态反馈矩阵，使闭环系统的极点正好配置在期望极点上，以便获得所需要的动态性能。配置在期望极点上，以便获得所需要的动态性能。由于期望极点具有任意性，因此极点配置也应具由于期望

60、极点具有任意性，因此极点配置也应具有任意性。有任意性。7.4.2 7.4.2 极点配置控制器设计极点配置控制器设计 期望极点的选取，实际上是确定设计目期望极点的选取，实际上是确定设计目标的问题，要考虑到期望极点对系统品质影标的问题，要考虑到期望极点对系统品质影响的多方面因素，如动、静特性，抗干扰，响的多方面因素，如动、静特性，抗干扰，灵敏度，实现的可能性等。灵敏度，实现的可能性等。事实上，在经典控制理论中的根轨迹法事实上，在经典控制理论中的根轨迹法和频率特性法本质上也是极点配置问题，只和频率特性法本质上也是极点配置问题，只不过没有采用状态反馈的方法而已。不过没有采用状态反馈的方法而已。只讨论单

61、输入、单输出系统的极点配置算法只讨论单输入、单输出系统的极点配置算法 假定给定系统的状态空间描述为假定给定系统的状态空间描述为CxyBuAxx 如果给定系统如果给定系统 完全能控，我们可以引完全能控，我们可以引入状态反馈，并假定进入受控系统的信号为入状态反馈，并假定进入受控系统的信号为CBA,0则闭环系统的状态方程可写为则闭环系统的状态方程可写为KxruCxyBrxBKAx)(极点配置的核心是研究在指定极点分布的情极点配置的核心是研究在指定极点分布的情况下，如何设计状态反馈增益矩阵的问题。况下，如何设计状态反馈增益矩阵的问题。下面给出几种算法下面给出几种算法1 1、矩阵变换法（、矩阵变换法（B

62、ass-GuraBass-Gura算法）算法）设期望的闭环极点为设期望的闭环极点为则闭环系统的期望特征方程为则闭环系统的期望特征方程为ini,2,10)()(122111nnnnnniissssss再设原系统的开环特征方程为再设原系统的开环特征方程为0)det()(12211nnnnnasasasasAsIsa若原系统完全能控，则状态反馈向量可以由下式若原系统完全能控，则状态反馈向量可以由下式给出给出111CLaTaKTT其中其中)(,),(),(2211nnTaaaa1111CLLCTT T为定义的变换矩阵为定义的变换矩阵为能控性矩阵为能控性矩阵BAABBCn 1,0001001011132

63、121aaaaaaLnnnn说明：说明：通过变换矩阵通过变换矩阵T T，可以定义一个新的状态向，可以定义一个新的状态向量量 ，且，且 。xxTx如果能控性矩阵如果能控性矩阵C C的秩为的秩为n n（满秩意味着系统状态（满秩意味着系统状态完全能控），完全能控），则矩阵则矩阵T T的逆存在，并且可将原系的逆存在，并且可将原系统状态方程写为统状态方程写为BuTxATTx11其中其中1211100001000010aaaATTnn10001BT这样就把原方程变换成能控标准型。如果原系统给这样就把原方程变换成能控标准型。如果原系统给出时就采用能控标准型，则可免去状态变换，根据出时就采用能控标准型，则可免

64、去状态变换，根据特征多项式系数直接计算状态反馈阵特征多项式系数直接计算状态反馈阵K K应用矩阵变换算法进行极点配置的步骤：应用矩阵变换算法进行极点配置的步骤：1 1）检查给定系统的能控性）检查给定系统的能控性 2 2）确定原系统系数矩阵）确定原系统系数矩阵A A的特征多项式系数，即的特征多项式系数，即nnnnnasasasasAsI122113 3）确定变换矩阵）确定变换矩阵 CLT4 4）确定期望特征多项式系数）确定期望特征多项式系数 ，即，即 innnnnnsssssss12211215 5）求反馈增益阵）求反馈增益阵K K，即，即1TaKT2 2、爱克曼公式（、爱克曼公式（Ackerma

65、nn）设给定系统状态方程为设给定系统状态方程为BuAxx设系统状态完全能控，又设期望的闭环极点为设系统状态完全能控，又设期望的闭环极点为 利用状态反馈控制利用状态反馈控制 的闭环的闭环系统状态方程为系统状态方程为nisi,2,1;KxuxBKAx)(定义定义 BKAA则期望的特征方程为则期望的特征方程为nnnnnnsssssssAsIBKAsI1221121定义定义 nnnnnsssss12211)(则对于系数矩阵有则对于系数矩阵有nnnnnAAAAA12211)(根据凯利根据凯利哈密尔顿哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理，定理，应满足其自身的特征方程，即应满足其自身的特征方程，即

66、0)(12211IAAAAAnnnnn将将 代入，可求得反馈矩阵代入，可求得反馈矩阵K K为为)(10001ACKBAABBCn 1,此式称为爱克曼公式此式称为爱克曼公式BKAA式中的式中的 是能控性矩阵。是能控性矩阵。A根据爱克曼公式配置极点的步骤为根据爱克曼公式配置极点的步骤为1 1）检查给定系统的能控性）检查给定系统的能控性 2 2）确定）确定 的系数的系数 ，即即ini,2,1nnnnnnsssssss1221121)()(A3 3）求）求 4 4）求反馈增益阵）求反馈增益阵K K，即，即)(10001ACK例例7-157-15 已知受控对已知受控对象象32110)(ssssG试试1 1）设计控制器）设计控制器 ，使期望闭环极点，使期望闭环极点Kxu3222,1j1032 2）试用矩阵变换法、爱克曼公式法以及工）试用矩阵变换法、爱克曼公式法以及工具箱具箱place()place()函数或函数或acker()acker()求解本题。求解本题。理论分析理论分析定义状态变量定义状态变量则系统的状态空间描述为则系统的状态空间描述为CxyBuAxx 其中其中6116100010A1000