7甲型光学第七章傅里叶变换光学

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1、第七章 傅立叶变换光学与全息照相衍射系统的屏函数夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析阿贝成像原理相衬显微镜全息照相变换光学 处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，它们的作用都可以应用变换的方法处理。7.1 衍射系统的屏函数 能使波前的复振幅发生改变的物，统称为衍射屏衍射屏。衍射屏将波的空间分为前场和

2、后场两部分。前场为照明空间照明空间，后场为衍射空间衍射空间。波在衍射屏的前后表面处的复振幅复振幅或波前函波前函数数分别称为入射场入射场、透射场透射场（或反射场反射场），接收屏上的复振幅为接收场。),(1yxU),(2yxU),(yxU入射场 透射或反射场接收场(,)x y衍射屏(,)xy接收屏z1(,)Ux y入射场2(,)Ux y衍射场(,)U xy接收场衍射空间照明空间(,)x y衍射屏(,)x y接收屏z1(,)Ux y入射场2(,)Ux y衍射场(,)U x y接收场衍射空间照明空间 衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或反射场）。用函数表示，就是衍射屏的透过率或反射率函数，统称屏函数

3、屏函数。),(),(),(12yxUyxUyxt衍射屏函数),(exp),(),(yxiyxtyxtt),(yxt),(yxt屏函数的模。模为常数的衍射屏称为相位型相位型的，如透镜、棱镜等。屏函数的幅角即相位。幅角为常数的衍射屏称为振幅型振幅型的，如单缝、圆孔等。相因子判断法 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，完全确定屏函数几乎是不可能的。只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。一般都是在傍轴近似下进行判断。平面波前（x,y）上的相因

4、子)sin(sinexp21yxik2exp22zyxik2exp22zyxik平面波轴上物点发散球面波轴上物点汇聚球面波(,)x y(,)x y(,)x yzzz12z2200exp()2xxyyxyikzz2200exp()2xxyyxyikzz(,)x yz(,)x yz00(,)xyzz00(,)xy 以原点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相位因子2exp22zyxik22exp2xyikzikzQ(,)x yzoz 以物点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相位因子 以原点相位为0，xoy平面上点（x，y）的位相因子 以物点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相位因子Q(,)x

5、yzoz00(,)xy2200exp()2xxyyxyikzz22000exp()2xxyyxyikrikzz0r透镜的相位变换函数（透过率函数）透镜的有效口径为D。忽略透镜的吸收2,02,),()(exp),(1212DrDreyxaiAAtyxiLL1/),(12AAyxa),(),(exp),(exp),(12yxyxiyxiyxtLLD透镜的透射屏函数 傍轴近似，入射波前、出射波前取平面 透镜中光波平行于光轴0d1r2r12ndQQ从图上可以求得光波经透镜后的相位差),(2),(21yxndyxL)(221021dn)(1(2210n002nd222111(,)()x yrrxy222

6、2222222)(),(ryxyxrryx221221 11(,)()()2Lnx yxyrr 12111(1)()Fnrr其中0d1r2r12nd1r1r22xy傍轴条件下22121(11)xyrr2212xyr222xykF 透镜的相位变换函数（屏函数）22(,)exp2Lxytx yikF相因子222xykF12111(1)()Fnrr透镜的波面变换011eiUA22021eexyikiFA汇聚到轴上F处的球面波F12(sinsin)11eik xyUAF2212(sinsin)221exyikxyFUA2212sinsin21exFyFxyikFFA汇聚到轴上F(sin1,sin2,1

7、)处的球面波焦距 fF21(,)LUU tx y22021exyikiFA透镜对球面波的变换22211exyiksUAs22222222()2222211eeexyxyxyxyikikiksFsFUAA2211()21exyikFsA汇聚球面波111()sFsFssF 1FFssGauss 公式s球心棱镜的相位变换函数（透过率函数）薄的楔形棱镜，可以得到)(2)(2),(0nndndyxP)1(20nx0d棱镜中心处的厚度 xnkyxP)1(),()(1(exp),(21yxnikyxtP二维情况下7.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析1空间频率的概念 在空间上也可以定义周期和频率，空间周期

8、d的倒数就是空间频率，即有f=1/d。f称为空间频率。2正弦光栅的傅立叶变换平行光正入射)2cos()(010fxttxt11)(AxU112)()()(AxtxUxU)2cos(010fxtt)2(exp)2(exp21)2cos(000fxifxifx1101221)(tAtAxU)2(exp21)2(exp0110fxitAfxi)()()()(1102xUxUxUxU)2(exp21011fxitA)(1xU透射波实际上变为三列波 12xkfffkkx22sin1111010)(tAxU0级波，方向 0sin0)(1xU)2(exp21011fxitA+1级波，方向 f1sin)(1x

9、U)2(exp21011fxitA-1级波，方向 f1sin傅里叶变换 周期性函数的傅立叶变换 周期为d的函数t（x）t（xd），可以用傅立叶级数表示为0122()(cossin)2nnnannt xaxbxdd 其中2222()cosdddnnat xx xdd2222()sindddnnbt xx xdd周期性屏函数的傅里叶级数展开 周期性屏函数()()t xt xd 屏函数的空间频率1fd 1、正弦余弦展开式011()cos2sin2nnnnnnt xtaf xbf x222()cos(2)dddnnat xf xxd222()sin(2)dddnnbt xf xxd2021()dddt

10、t xxdnnfnfd基频n倍频2、余弦相移展开式01cos(2)nnnntcf x22nnncab1tannnnbanbnancn011()cos2sin2nnnnnnt xtaf xbf x22012222(cos2sin2)nnnnnnnnnnnabtabf xf xabab01(cos2cossin2sin)nnnnnntcf xf x3、复指数展开式011()cos2sin2nnnnnnt xtaf xbf x2222011()()22nnnnif xif xif xif xnnnneeeetabi2201122nnif xif xnnnnnnaibaibtee22222201122

11、nnnnnnif x innif x innababtee2222(2)(2)01122nnnnnnif xnnif xnnababtee22(2)002nnnnif xnabte200nif xnntt e22ninnnncaibte一维周期性衍射屏的傅里叶展开xda00001,()()0,(1)xmdxxamdt xt xdxamdxxmd0 x011()cos2sin2nnnnnnt xtaf xbf x22/221cos(2)dsin(2)/2aannnnaaf xxf xadf d222sin(2)d0aannbf xxd2021daaatxdd2sin()nnf af d2sinn

12、 aadn addn级波的方向011()cos2sin2nnnnnnt xtaf xbf x12sincos2nnn aaadf xn addd2212sin2nnif xif xnn aaaeedn addd20sinnif xnnnaaeddnn ad其中，0级波n级波平面波，相位2nf xxzkrnsinnnfnd2sinxk rsinndn光栅方程sinnnnan audsinsin()nnnnnuaaUddu单缝衍射因子20sin()nxidnn aaadt xen addd2da如果平面波入射22110sin()()()(1)infxnanfaUxU x t xAednfa210s

13、in2(1)22infxnnAen226610101111()()()235ifxifxifxifxifxifxAAAAeeeeee1111222cos2cos6cos10235AAAAfxfxfxsinnnnfdxz非周期性函数的傅立叶展开 非周期性函数t(x)定义域为(-L/2,L/2)将(-L/2,L/2)间的函数复制，则成为周期函数 对复制后的函数，可以作傅立叶展开()t xx02L2L()t xx02L2L200()nif xnnt xtt e/22/21()dnLif xnLtt x exLnnfnfLx()t x对于非周期性函数g(x)，可视作周期为周期性函数11nnnfffL这

14、时，上述求和变为积分，傅里叶级数变为傅里叶积分2()dnif xnt xT ex2001nif xnntLt eL0L2()difxnTt x ex21nif xnT eL2nif xnnT ef7.3 阿贝成像原理 对于衍射屏，可以用Fourier变换将其展开为Fourier级数或Fourier积分2200()eennif xif xnnnt xttt/22/21()edndif xndtt xxd11nfnfnfndd：衍射屏的（空间）周期f：衍射屏的（空间）频率1f基频 以简单的平面波入射，透射波为222111eennif xif xnnUU tAtAt2enif xntn级平面波n级平

15、面波的复振幅 ntFourier 频谱nt 可以用屏函数表示衍射波（透射波）2enif x的方向sinnnfxz阿贝对成像过程的理解 一、可以从几何光学的角度，即光线的折射来说明成像过程 二、也可以从Fraunhofer衍射的角度，即对波前的变换来说明成像的过程 以正弦光栅的成像说明阿贝成像原理22O1 01 11 111()ee22ifxifxUxAtAtAtO101(,)(cos2)Ux yA ttfx1111ABC0S1S1SABC第一步，物光波（屏函数的平面波）经过透镜在其焦平面上汇聚成衍射斑，即点光源第二步，焦平面上的衍射斑作为相干的点光源，发出的次波在像平面上相干叠加xxzzF1x

16、1x),(),(),(),(110yxUyxUyxUyxUI0S1S1Sxxzz像平面的光波是三个衍射斑发出光波的相干叠加02200(,)exp()2SxyUx yUik S Bikz122111(,)exp()2Sx xxyUx yUik S Bikikzz0(,)(,)(,)ikreU x yKU x y Fr 近轴条件下0(,)ikrKU x y er(,)eikrU x y三个衍射斑（点光源）发出的光波在像平面上的复振幅ABC1x1x1111ABC0S1S1SABCxxzzF1x1x1x xkz阿贝正弦条件11sinsinnyn y 11sinsinV 11sinx xkkxz1sin

17、kx1V1sinxkV2()xfV2fxV122112(,)exp()2SxyfxUx yUik S BikizV02200(,)exp()2SxyUx yUik S Bikz001 0exp()SUAtik BS衍射斑ABC0S1S1SxzF11 111exp()2SUAtik BS)2cos(),(101fxttAyxUO设物平面B点的位相为0物光波是正弦光栅的屏函数221 000exp()exp()2xyAtik BSik S Bikz221 11112exp()exp()22xyfxAtik BSik S BikizV221 00exp()2xyAtik BS Bikz1111ABC0

18、S1S1SABCxxzzF1x1x2201 000(,)exp()exp()2xyUx yAtik BSik S Bikz2211 11112(,)exp()exp()22xyfxUx yAtik BSik S BikizV221 1112exp()exp22xyfxAtik BS BikizVzABC0S1S1SABCxxzF1x1x2201 00(,)exp()2xyUx yAtik BS Bikz2211 1112(,)exp()exp22xyfxUx yAtik BS BikizV0()BS B物像间等光程1()BS B1()BS B220()2xyk BS Bkz 221()2xyk

19、 BS Bkz(,)x y(,)1 0eix yAt(,)1 112exp2ix yfxAt eiV(,)11 112(,)eexp2ix yfxUx yAtiV(,)01 0(,)eix yUx yAt),(),(),(),(110yxUyxUyxUyxUI(,)1eix yA(,)101e(cos2)ix yfAttxV)2cos(),(101fxttAyxUO(,)IUx y像平面光波与物平面光波是相似的，即两者是物像关系空间频率：ff/V，表示像的几何放大或缩小。像质的反衬度：交流部分与直流部分的比值。反衬度不变像光波物光波1022exp()exp()2tifxifxtVV空间滤波 空

20、间频率与波的衍射角相关，sinnnnfd df1衍射屏或物的空间频率 低通高通带通可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置低通高通带通sinnnf阿贝（1874）波特（1906）空间滤波实验 以黑白光栅为物，单色平行光照射 在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化Z像平面傅氏面黑白光栅可调光阑xz傅氏面黑白光栅f傅里叶频谱只让0级，即直流成分通过，则像平面被0级斑发出的球面波照明。近轴条件下，被均匀照明像平面让0级和1级通过，则像平面上是0和1三个衍射斑发出的次波的相干叠加 1012cos()IxUaakxz像平面振动（电场强度）分布120122cos()2cos()IxxUaakxakxzz让0级

21、、1和2级通过，则像平面上是5个衍射斑发出的次波的相干叠加 像平面振动（电场强度）分布31241234cos()cos()cos()cos()IxxxxUakxakakakzzzz除0级外，全开放像平面振动（电场强度）分布4F系统 物平面O，变换平面T，像平面I：OTI系统(,)x y(,)(,)x yOTIFFFF1.网格实验网格实验 频频谱谱像像(a)(b)(c)(d)像面像面焦平面焦平面谱面谱面空间频率滤波举例空间频率滤波举例 若挡住焦平面上的亮点若挡住焦平面上的亮点在象平面上出现消除了光在象平面上出现消除了光栅线条的图形。栅线条的图形。若只让焦平面上的亮点透过若只让焦平面上的亮点透过在

22、象平面上出现清洁在象平面上出现清洁的光栅图形的光栅图形-其它图形滤掉。其它图形滤掉。放在频谱面上的遮光屏实际上起了选频的作用，为。空间滤波器是光学信息处理的一种基本方式。若遮光屏只在中央有个圆孔，则它能允许低频信息通过，为低通低通滤波器。若遮光屏只是一个较小的不透光圆屏，则高频的光信号从周围通过，为高通高通滤波器。（spatial filtering）2.调制(modulation)用白光照射物体，在输出平面上得到彩色图象，这种彩色图象是对不同角度 的光栅产生的光学信息选择的结果。又称分光调制分光调制。(a)(b)(c)(d)红红蓝蓝 黄黄 蓝蓝红红黄黄红红黄黄蓝蓝彩色光栅的调制相衬显微镜 很

23、薄的透明样品，例如生物切片，对光的吸收很小，因而不同的部分反差较小，在显微镜下观察，不容易分辨细节。这类样品，不会引起透射光振幅的改变，所以不是振幅型的；但由于各处折射率并不相同，因而透射光的相位会有改变，是相位型的。针对这一特点，可以通过相移的方式增大图像的反衬度。相移的原理 样品的屏函数为 即在样品平面处，相位因子各不相同 平面光照射样品，物平面发出的物光波为(,)(,)ix yt x ye(,)11(,)(,)ix yoUx yAt x yAe231(1)2!3!iAi 衍射后在傅里叶面上形成一系列衍射斑 在傅里叶面上0级斑处加一滴液体，使直流成分产生一个附加的相位，即产生相移。(,)1

24、(,)(,)iix yIoUx yUx y eAe231(1 1)2!3!iiA ei 1(1)iiAee21(1)(1)iiiiIA eeee 2()()13iiiiiiAeeeeee 2132cos()2cos2cos A光强与样品的相位分布有关231()2!3!iiA ei0仅作用于 级生物切片，样品很薄，因而相衬显微术2132cos()2cos2cos IA12132coscos2sinsin2cos2cos Asin2132cos2 sin2cos2IAcos12112 sin A像的反衬度取决于2 sin反衬度最大2 1.Condenser annulus2.Object plan

25、e3.Phase plate4.Primary image plane上皮细胞的相衬显微像Frits(Frederik)Zernike(18881966)全息照相 物发出光波，在波场中任意一个波前上都有一个特定的复振幅分布。对于观察点（场点）而言，接收到的振动既可以认为是来自于物，也可以认为是来自于上述波前。如果将上述波前的复振幅记录，并再现，则对于场点而言，相当于物发出的光波。相当于物再现。波前的记录与再现物波前OUOU 物发出光波感受到物的存在OU物发出光波光波场波前函数感受到物的存在()OU QU只要有波前函数感受到物的存在()OU QU只要记录并再现波前函数再现物()UQ全息照相的过程

26、与原理 1.记录过程 物光波物光波UO与参考光波参考光波UR是相干的 在记录介质上（即波前上）相干叠加分束板物物光波参考光波记录介质(,)ORiiORORU x yUUA eA e光强分布复振幅分布2(,)|(,)|I x yU x y()()ORORUUUU22ORORORAAU UU U2.感光介质的线性冲洗 经过线性的显影定影处理，介质的透过率函数与记录过程中的光强函数是线性关系22(,)ORORORI x yAAU UU U0(,)(,)t x ytI x y220()()ORORORtAAU UU U()()220()ORORiiORORtAAA A ee 这样就得到一张图片，称作全

27、息图全息图。是物光波与参考光波的干涉条纹分布的照片。全息图Photograph of a hologram in front of a diffuse light background 88mm 3.物光波的再现 用具有相干性的照明光波UR照射全息图。透射光为U2A ReiR()()220()ORORRiiiRORORA etAAA A ee220()RiRORA tAAe()ORRiiORRA eA A e()ORRiiORRA eA A e2(,)(,)RiRRUU t x yA et x y220()ORRtAAUOiiOA eeOiiiOOA eeeUiOeU参考波、照明波都是简单入射

28、光波0级1级1级分束板相干光虚像照明光波实像0级+1级-1级全息图220()ORRtAAUiOeUiOeU单色反射全息图单色反射全息图Dennis Gabor（19001979）激光全息照片的拍摄(1)用特定的单色光照射时，能在特定的方向和范围内再现物光束。(2)全息照片的每一部分都记录了整个物体各部分的全部信息。(3)全息照片无正负之分，黑白相反时观察效果相同。全息照片易于复制。(4)一张全息照片可分别记录几个物光波，可储存信息量比普通照片多。(5)一张全息照片可对同一物体用同一参考光束进行两次曝光,显示其中的微小差别。全息照片的类型全息照片的类型 折变型和浮雕型折变型和浮雕型 如果记录媒质

29、是浮雕型的，在透射全息图如果记录媒质是浮雕型的，在透射全息图的浮雕表面上镀一层反射膜就能形成一张的浮雕表面上镀一层反射膜就能形成一张反射全息图。反射全息图。实际上由于乳胶收缩（如卤化银干板）或实际上由于乳胶收缩（如卤化银干板）或膨胀（如铵板）再现时像的颜色向短波或膨胀（如铵板）再现时像的颜色向短波或长波方向偏移。长波方向偏移。全息图的分类全息图的分类 根据记录媒质的厚度与条纹间距之比,分为薄全息图和厚全息图；根据复振幅透过率的调制变量的不同，分为振幅型全息图和位相型全息图；根据记录时物光和参考光的方位情况，分为同轴全息图和离轴全息图；根据记录时物光和参考光在干板的同侧还是两侧，可分为透射全息图

30、和反射全息图；根据记录的物体与干板的距离，分为菲涅耳型和夫琅和费型全息图；根据制作时所有光源的性质，分为连续波激光全息图和脉冲激光全息图等等。几种点光源全息图的记录位置 同轴全息图和离轴全息图 斜参考光束，得到离轴全息图，克服了孪生像问题彩虹全息 用激光记录全息图，用白光透射再现。人眼是水平排列的，成像只有在水平方向有视差效应。它将不同波长的光沿着垂直方向色散开来，在不同的高度可以看到不同颜色的假彩色立体再现像。彩虹全息保留了水平方向的物体信息，牺牲垂直方向的物体信息，从而可以降低对照明光源的时间相干性的要求。彩虹全息图彩虹全息图彩色反射全息图彩色反射全息图全息照相的应用全息照相的应用 1.1.全息显示全息显示 2.2.模压全息模压全息 3.3.全息光学元件全息光学元件 4.4.全息干涉计量全息干涉计量 5.5.全息信息存储全息信息存储模压全息模压全息dabx)(xt10 x