复变函数课件：7-2一些常用函数的傅氏变换

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1、第二节 一些常用函数的傅氏变换一、单位脉冲函数单位脉冲函数二、广义Fourier变换三、小结与思考机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、单位脉冲函数一、单位脉冲函数（1）看作矩形脉冲的极限（2）函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义 满足下列两个条件的函数称为 函数：()0(0)tt ()1t dt 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,d)()(limd)()(),(0ttftttfttf 如如果果满满足足微微的的函函数数对对于于任任何何一一个个无无穷穷次次可可.)(,.00,

2、10,0)(函函数数的的弱弱极极限限为为则则称称其其中中 ttttt 定义定义).()(lim),()(),(00ttttt 或或简简记记为为即即记记为为弱弱机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为方便起见，我们把为方便起见，我们把函数看作是弱收敛函数序列函数看作是弱收敛函数序列的弱极限的弱极限.).(d)()(00tfttftt 定义定义 如果对于任意一个区间如果对于任意一个区间(,+)上连续的函数上连续的函数f(t)都有都有则称则称 (t)为为 函数函数.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Ot 1)(t Ot)(t 1工程上常将工程上常将函数

3、称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数.有时将有时将函函数用一个长度等于数用一个长度等于1的有向线段表示，的有向线段表示，线段的长度表线段的长度表示示函数的积分值称为函数的积分值称为函数的强度函数的强度.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函函数数的的其其他他性性质质：);()(,.1tt 即即函函数数是是偶偶函函数数称称为为单单位位阶阶跃跃函函数数；其其中中 0,10,0)(),()(dd),(d)(.2tttuttuttut ).0(d)()()(.3fttfttf 则则有有为为无无穷穷次次可可微微的的函函数数，若若 ).0()1(d)()()()(nnnfttft

4、一一般般地地，有有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据根据函数和函数和Fourier变换的定义变换的定义,容易求出容易求出 函数函数的的Fourier变换变换.1d)()()(0 ttitietettF FFouriert构构成成了了一一个个与与常常数数单单位位脉脉冲冲函函数数可可见见1)(,.变变换换对对二、广义的二、广义的Fourier变换变换.1d)(221)(2 tie1-F所以，所以，2()与与1构成了一个构成了一个Fourier变换对变换对.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 进而得到进而得到).(2dteti ).(2d tet

5、i推广推广).(2d0)(0ttetti ).(2d0)(0 teti即即(t t0)与与0tie 构成了傅里叶变换对，构成了傅里叶变换对，tie0 与与(0)构成了傅里叶变换对构成了傅里叶变换对.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ).(10,10,0)(1 iFouriertttu为为变变换换的的证证明明单单位位阶阶跃跃函函数数例例证证可可得得逆逆变变换换则则由由事事实实上上，若若FourieriF),(1)(d)(21)()(1tieFFtf F d)(121tiei 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dsin21d)(21 teti d

6、sin1210 t有有积积分分利利用用2dsin0 Dirichlet d21d)(21 ieetiti机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0,20,00,2dsin0tttt 0,0)2(1210,12121dsin121)(,00tttttft 时时则则当当).()()(1tutfFourieri 逆逆变变换换为为的的这这就就表表明明 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .sin)(20变变换换的的求求正正弦弦函函数数例例Fourierttf 解解变变换换公公式式，有有由由Fourierte ttetftfFtitidsind)()()(0

7、Fteieetititid200 teeititid21)()(00 )(2)(22100 i )()(00 i机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习：练习：1.求函数求函数)2()2()()(2)(atatatattf 的傅里叶变换的傅里叶变换.答案：答案：.2cos)cos(4 aa 2.求函数求函数;)(2)1(32 iiee .1cos)2(答案：答案：);3()2(1)1(tt ).(2)1()1(21)2(ttt 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、小结与思考三、小结与思考本节课我们引入了本节课我们引入了函数概念及其广义函数概念

8、及其广义Fourier变换，变换，重点掌握利用单位脉冲函数及其重点掌握利用单位脉冲函数及其Fourier变换求一些常变换求一些常见函数的广义见函数的广义Fourier变换的方法变换的方法.熟记熟记函数的性质函数的性质:).0(d)()(fttft ).(d)()(00tfttftt).(2dteti ).(2d teti机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题为什么引入为什么引入函数？广义函数？广义Fourier变换和古典变换和古典Fourier变换有什么不同？变换有什么不同？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题答案思考题答案在工程

9、技术中在工程技术中,有很多重要函数不满足有很多重要函数不满足Fourier积分定理中积分定理中的绝对可积条件的绝对可积条件,例如常数、符号函数、单位阶跃函数以例如常数、符号函数、单位阶跃函数以及正、余弦函数等，这时只能利用单位脉冲函数求出它及正、余弦函数等，这时只能利用单位脉冲函数求出它们的广义们的广义Fourier变换变换.函数可以使一些普通意义下不存在的积分，有了确定函数可以使一些普通意义下不存在的积分，有了确定的数值。的数值。.,的的形形式式只只是是仍仍旧旧写写成成古古典典定定义义的的积积分分不不是是普普通通意意义义下下分分来来定定义义的的但但要要注注意意这这时时的的广广义义积积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.作业作业:P144 3(2),4(1),5,6,8