新自主招生辅导1力学

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1、第一章运动学一. 基本概念1. 质点2. 参照系3. 坐标系固定于参照物上的坐标系，以定量表示物体相对于参照系的运动。4. 相对运动：物体相对于动参考系的运动绝对运动：物体相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动位移合成定理：SA对地=SA对b+Sb对地速度合成定理：VA对地=VA对b+Vb对地加速度合成定理：aA对地=aA对B+aB对地例1、船A从港口 P出发去拦截正以速度v匀速直线航行的B船，P与B船的航线间的距离 为a，A船起航时B船与港口 P的距离为5,如图所示，如果忽略A船启动时的加速过程， 认为它一起航就做匀速直线运动，求A船能拦截到

2、B船的最小速度。EJ q-;pA例2. 一半径为R的半圆柱体沿水平方向作加速度为a的 匀加速运动，在半圆柱体上搁置一竖直杆，此杆只沿竖直 方向运动，如图所示。当半圆柱体的速度达到V时，杆与 半圆柱体的接触点P的角位置为6,求此时杆的速度和加 速度。例3.A、B、C三个芭蕾舞蹈员同时从边长为L的三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率V 运动，运动中A始终朝着B、B始终朝着C、C始终朝着A的方向，问多长时间三人相聚？每 个演员跑了多少路程？二. 运动的描述1. 位置：r=r(t)2. 位移： r=r(t+A t) r(t)3. 速度：V = lim兰，在大学教材中表述为：V =华，表示r对t求导数

3、AtdttT04. 加速度：a = lim AV，在大学教材中表述为：a =华，表示V对t求导数.加速度AtdtAt项U 2a=an+aT a表示法向加速度，速度万向的改变率，且a. = , p叫做曲率半径(这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法)，aT表示 切向加速度，速度大小的改变率。5. 由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好例1、已知质点运动方程为X=(t3+2)m，试求质点在第一秒内的平均速度和第一秒末的瞬时 速度例2、已知质点做匀速圆周运动的速率为V，半径为R，试推导质点运动的向心加速度公式三、用微元法求解相关速度问题例1、如图所示，物体A置于水平面上，高台上有一定

4、滑轮D，一 根轻绳一端固定在A上点，再绕过定滑轮D，当以恒定水平速度V 拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当绳子与水平面的夹角 为a时，A的运动速度。例2、细杆AB长L，两端分别约束在x、y轴上运动，试求当细 杆A点的速度为V时，细杆B点的速度为多少？例3、一只狐狸以不变的速度七沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不1A I：变的速率U2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，?-广猎犬在D处，FDXAB，且FD=L，如图所示，求猎犬的加速度的心大小.四、用运动的合成与分解的方法解决抛体运动问题1. 平抛运动2. 斜抛运动3. 常见的处理方法（1）将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖

5、直方向的竖直上抛运动（2）将沿斜面和垂直于斜面方向作为x、y轴，分别分解初速度和加速度后用运动学公式解 题（3）将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动， 用矢量合成法则求解例1、两竖直墙相距d，从地面上与两墙相等距离的位置点0，以速度V0斜向上抛出一个小球，小球与两竖直墙各发生一次弹性碰撞后，正好返回点0,求小球的抛射角。例2、如图所示，从倾角为。的斜面顶点A将一小球以v0初速.水平抛出，小球落在斜面上B点，求小球距斜面的最远距离H。Zhz例3、已知斜上抛运动的初速度为u。，抛射角为。，求斜上抛运动任意时刻t时轨迹的曲率 半径P。第二章物体的的平衡一、共点力

6、作用下物体的平衡n个力式】、凡同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为共点力，如图所示。作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是：合力为零。支& =0支凡=0,支璃=0,文酩=0E用分量式表示：例1、一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置 于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为 30的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的 圆心角也为30。试求球体的重心C到球心O的距离。例2、如图所示，质量m = 5kg的物

7、体置于一粗糙斜面上，并用一 平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体，使物体能够沿斜面向上 匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量M = 10kg，倾角 为30，重力加速度g = 10m/gtg0 ）时，求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。例5、如图所示，一质量为M、倾角为。的光滑斜面，放置在 光滑的水平面上，另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放，试 求斜面的加速度。例6.如图所示，一个半径为R的光滑均质半球，固定于水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：质点离开球面时位 置。例7.如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一小球。当小球在最低点时，给球一个vo

8、= 20 的水平初速，试求所能到达的最大高度。第四章万有引力、天体运行1、开普勒三定律给出了行星绕太阳运动的描述第一定律（轨道定律：行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积.第三定律周期定律）：所有的行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都a 34 兀 2相等.丁 = 式中M为太阳质量,G为万有引力常量.T 2 GM（当认为天体做圆周运动时，a=R；开普勒三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫 星绕行星的运动）2、万有引力定律F= G12 （G为万有引力常量=6.67X10-11Nm2kg-2,r

9、为两质点间的距r 2离）3、万有引力为保守力，两质点系的引力势能E = -G (规定无穷远为零势能位置)Pr4、宇宙速度第一宇宙速度第二宇宙速度第三宇宙速度例1、经过天文望远镜长期观察，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，双星系统由两个 星体构成，其中每个星体的线度都远小于两个星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体 很远，可以当作孤立系统来处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中 每个星体的质量均为m,两者相距L,他们正围绕两者连线中点做圆周运动。(1) 试计算该双星系统的运动周期T(2) 若实验上观测到的运动周期为T/，且T： T=1：腴 (N1)。为了解释T/与T的不同，

10、目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能有一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化 模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗 物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。例2,已知地球第一宇宙速度为U ，试求地球第二宇宙速度U例3 一颗人造地球卫星近地心点和远地心点的距离分别为rr2,设地球质量为M,万有引力 常量为G试求卫星期T第五章动量定理、动量守恒定律、碰撞一、冲量和动量1、冲量定义I=Ft （Ft图象包围面积）、矢量、改变物体的动量2、动量的定义P=mu、矢量例1.跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于（）A. 人

11、跳在沙坑里的动量比跳在水泥地上小B. 人跳在沙坑里的动量的变化比跳在水泥地上小C. 人跳在沙坑里受到的冲量比跳在水泥地上小D. 人跳在沙坑里受到的冲力比跳在水泥地上小二、动量定理由牛顿第二定律和加速度定义联立可以推得FAt=m u 2-m u 1=P2 -P1=AP虽然动量定理和牛顿第二定律一样都反映了质点运动状态的变化与力的作用的关系，但是它们是有区别的.动量定理在处理象碰撞和反冲一类问题时很方便AP2、分方向的表达式：Z I = P，Z I = P 3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即了 =Z F烬At外例1、太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时

12、遇到太 空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m， 垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S，与 太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F。例2、三个质点A、B和C，质量分别为m1、m2和m3，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC 相连，静止在水平面上，如图所示，AB和BC之间的夹角为（n a ）。现对质点C施加以冲 量I，方向沿BC，试求质点A开始运动的速度。三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件a、原始条件与等效：系统不受外力或所受外力的矢量和之和为零b、近似条件：如果系统内各物体之间相互

13、作用的内力远大于它们所受外力如爆炸、碰撞等 过程，可以近似认为系统的动量守恒。c、某个方向上满足a或b，可在此方向应用动量守恒定律例1.两根磁铁放在两辆小车上，小车能在光滑水平面上自由移动，甲车与磁铁总质量为 1kg，乙车与磁铁总质量为2kg，两根磁铁的S极相对。推动一下使小车相向而行，若某时刻 甲的速度为3m/s，乙的速度为2m/s，可以看到，它们还没有碰上就分开了，则（）A. 甲车开始反向时，乙车速度减为0.5m/s，方向不变B. 乙车开始反向时，甲车速度为0.5m/s，方向与原来速度方向相反C. 两者距离最近时，速率相等，方向相反D. 两者距离最近时，速率都约为0.33m/s，方向都与甲

14、车后来的速度方向一致例2.如图所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人，也是静止的。现七 l在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当一 .、人走到船尾时，船将会移动多远？四. 碰撞碰撞的特点是相互作用的时间极短，而相互作用力又极大，所以当把相互作用的两个物 体看作一个系统时，可以忽略外力的作用的影响，从而认为它满足动量守恒定律。一、弹性碰撞：碰撞全程完全没有动能损失。即除了满足动量守恒定律外还满足动能 守恒：m1v10 + m2v201=m1v11+ m2v211m v 2 +mv 2 =m v2 + m v221 10222021 122 2解

15、以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得:(m m )v + 2m v(m m )v+ 2m vv =12100， v =21_201-01m + m2m + m所以v2 一V=v10v20即碰后分离速度（v2 v1）与碰前接近速度（v10 v20） 相 对于结果的讨论： 当m1 = m2时，v1 = v20，v2 = v10，称为“交换速度”; 当m1 m2，且 v20 = 0 时，v1 R v10，v2 2v10， 二、非弹性碰撞：只满足动量守恒定律，动能有损失碰撞后两物体，碰撞为完全非弹性。例1.如图所示，一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平 衡状态，一质量

16、为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图所示，让环自由下落， 撞击平板。已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长（）A. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒呻遂山B. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒右部C. 环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关d. 在碰后板与环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧弹 力所做的功例2、光滑水平面上有两个质量分别为m1和m2的小球A和B，它们在一条与右侧墙壁 垂直的直线上前后放置。设开始时B静止，A以速度v对准B运动，不计摩擦且认为碰撞是 完全弹性的，已知m1=2m2，试通过计算说明A、B发生几次碰撞？例3、

17、如图所示，一质量为m的黏性小球放在水平桌面上，上用长为L的细绳挂在一木块 上方的小立柱上，木块和小立柱的总质量为M，木块与桌面的摩擦系数为以。今把小球拉 倒水平位置后由静止释放，与小立柱发生完全非弹性碰撞设小球在下摆过程中木块不移动，问碰撞后系统移动多远才停下来在小球下摆过程中，要使木块不移动，摩擦系数的最小值为多大第六章动能定理、机械能一. 功1、恒力做功:W=Fscosa2、作用力与反作用力做功:对于几个物体组成的系统，当系统内部物体发生相互作用即有内 力作用时,某一对内力做功之和始终等于力乘以其相对位移，而与所选的参照系无关.例:一对静摩擦力，两物体位移值一定相同，总功必为零；一对滑动摩

18、擦力，总功总为负功，即物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：一 E = E 内 = f滑普相，其中S相指相对路程。3、变力做功:大小或方向变化的力所做的功，一般不能用功的公式W=Fscosa去求解.需变 换思维方式，独辟蹊径求解。平均值法.当力的大小均匀变化而方向不变时，可先求力的平均值F=（F+F2）/2,将变力做功等 效于恒力做功.等效法.通过因果关系，如动能定理、功能关系或W=Pt等效代换可求变力做功.图象法.如果能知道变力F随位移s变化的关系，我们可以先作出F-s关系图象，图线下方所围成的 面积，即为变力做的功.微元法.将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体

19、上的力可以视为恒力， 这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。W= 艺nF * -cos 0i=1二. 质点动能、动能定理1、动能 Ek= 1 m 22、动能定理:对单个物体，合外力做的功等于物体动能的增加W=AEk= Ek2-Ek1。在同一 惯性参照系中计算功和动能，动能定理才成立3、质点系动能定理:对几个物体组成的质点系统，因内力做功，系统动能的改变应该由系统 外力做功的代数和与系统内力做的功共同决定。和质点动能定理一样也只适用于惯性参照系. EW 外+EW 内=Ek2-Ek1三.机械能守恒定律功和能1、势能a、保守力与耗散力（非保守力）一势能（定义： Ep=

20、 -W保）b、 力学领域的三种势能及定量表达P重力势能E =mgh、引力势能E = -G、弹性势能E =： KX 2 pPrp 22、机械能:E=Ek+Ep3、机械能守恒定律：当 W外+ W非保内=0时，系统机械能保持不变。AE=EW +EW保守耗散4、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。例1 一打桩机要将木桩打入泥土中，泥土对木桩的阻力与木桩打入的深度成正比,比例系数为 k.设重锤每次打击木桩时，对木桩做的功相同.当重锤打击第一次时，将木桩打入的深度为hi.求：当重锤打击第二次时，将木桩打入的深度为多少？重锤打击第n次时，将木桩打入的深度为多少？例2、使半径为R的薄壁圆

21、筒迅速旋转到角速度为3。，然后把它放到倾角均为45的两斜面 之间，两斜面与的圆筒动摩擦系数为M与滑行速度无关.已知圆筒减速过程中其轴保持静止 不动.求到转动停止时，圆筒转过多少转？ 、 广、/例3、一传送皮带与水平面夹角为30o，以v=2m/s的恒定速度顺时针运动。现将一质量为 m=10kg的工件轻放于底端，经一段时间送到高h=2m平台上，工件与皮带间的动摩擦因数p 京/2，求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。例4、上如图所示，直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长。质量分别为mm2 的A、B两个有孔小球，串在杆上，且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小，初态时，认 为它们的位置在

22、同一高度，且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦，试 求B球运动L/2时的速度V2。第七章振动和波、简谐运动1、简谐运动定义：EF = kx 凡是所受合力和偏离平衡位置的位移满足式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。谐振子的加速度：a = Xm可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下 均看在X方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A。依据： F x = m3 2Acos0 = m3 2X对于一个给定的匀速圆周运动，m、3是恒定不变的，可以令：m3 2 = k这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐

23、运动的相关规律。从图不难得出2、简谐运动的方程与图像位移方程：X = Acos（31 + ?）速度方程：v = 3 Asin（31 +q ）加速度方程：a = 3 2A cos（31 +?）相关名词：（3 t +里）称相位，？称初相。3、简谐运动的周期由式得：3 = ?，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以mT = 2nk弹簧振子周期公式T = 2n单摆在小角度振动时周期公式T = 2兀4、简谐运动的能量一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即E E = mv2 + kx2 = kA2 222注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的概念，

24、 而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不 能再做重复计量。5、阻尼振动、受迫振动和共振例1、一个质点作简谐运动的振动图像如图所示.从 图中可以看出，该质点的振幅 A= m，频率 f=Hz，从t=0开始在 t=1.8s内质点的位移=，路程=.例2、有一弹簧振子在水平方向上的B, C之间做简谐运动，已知B, C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了 10次全振动.若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时0=0)，经过4周期振子有正向最大加速度.(1) 求振子的振幅和周期.(2) 在图中作出该振子的位移一时间图象.(3) 写出振子的振动方程.例3、如图所示，

25、将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量 的水银，汞柱总长为L。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。 忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。例4、如图所示，两根相同的弹性系数分别为k1和k2的轻 质弹簧，连接一个质量为m的滑块，可以在光滑的水平面 上滑动。试求这个系统的振动周期T。二、机械波1、波的产生和传播a机械振动在介质中传播，就形成了机械波，所以机械波产生的条件是有振源和介质b质点振动方向跟波传播方向垂直，这样的波叫做横波c质点振动方向跟波传播方向平行，这样的波叫做纵波d两个相邻的、在振动过程中位移总是相等的质点间的距离的做波长；波长、波速和频率的关系是

26、v= 4fe波速由介质决定；机械波的频率由振源决定注意：机械波是机械振动这种运动形式的传播，它也可以传递能量和信息但介质质点本身不会沿着波的传播方向移动2、机械波的描述a、波动图象。和振动图象的联系b、波动方程如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为y = Acos(31 + p)，波的传播速度为v， 那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是y = Acos31 + p - 2n ) = Acos3 (t - x ) + p)v这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t，都有一个y (x)的正弦函数，在x-y坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称y = Acos3 （t - U ）

27、+饥 为波动方程。例1、一列横波沿直线向右传播，某时刻在介质中一V形成的波动图像如图所示.zfx尸、（1）指出此时质点a、b、d、f的运动方向；J ； V/ I（2）画出当质点a第一次回到负向最大位移时在介质工lA./I中形成的波动图像./ A : r.m/s,传播方向是播速度大小为例2、振动图线是某时刻一列简谐波形上质点A 从该时刻开始的振动图象.由图可知这列波的传2 /46 x/m例3、如图为一列横波某时刻的波形图，已知该波沿k方向连续 传播，传播速度为2 m/s.求波上质点P的振动周期并画出从该时 刻计时开始的振动图象.例4、以j = 0.040 cos 2如 m的形式作简谐振动的波源，

28、在某种介质中激发了平面简谐波， 并以100 m-s-1的速率传播。（1）写出此平面简谐波的波函数；（2）求在波源起振后1.0 s、距 波源20 m处质点的位移、速度和加速度。3、波的干涉a、波的叠加。几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区 域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态: 振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图所示，我们用S和S2表示两个波源，P表示空间任意一点。当振源的振动方向相同时，令振源s1的振动方程

29、为七y1 = A 1cos31，振源 S1 的振动方程为 y2 = A2cos3g .-t，则在空间P点（距S1为r】，距S2为r2），两振 s”源引起的分振动分别是“y= A1cos3 （t -史）Siy2 = A2cos3 （t - J ）P点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题9 1= 号， 2= 号），且初相差 ? = （r2- r1）0根据前面已经做过的讨论，有 r2- r1 = kA时（k = 0，1，2，），P点振动加强，振幅为A1 + A2 ；r2- r1 =（2k-1） 2时朱=0，1，2，），P 点振动削弱,振幅加 A1&L4、波的衍射（1）现象：波绕过障碍物继续传播

30、的现象，叫做波的衍射（2）发生明显衍射的条件是：障碍物或孔的大小比波长小，或者与波长相差不多。（3）衍射是波特有的现象。例1、如图所示，一个波源在绳的左端发生波甲，另一波源在绳的右端发生波乙，波速都等于1m/s.在t=0时绳 上波形如图中a所示，则根据波的叠加原理人A、t=2s时，波形如图b，t=4s时波形如图cB、 t=2s时，波形如图b，t=4s时波形如图d。C、 t=2s时，波形如图c，t=4s时波形如图cdD、 t=2s时，波形如图c，t=4s时波形如图d例2、图中S1、S2是两个相干波源，由它们发出的波相互b、c三点叠加，实线表示波峰，虚线表示波谷.则对a、 振动情况的下列判断中，正

31、确的是A、b处振动永远互相减弱.B、a处永远是波峰与波峰相遇.C、b处在这时刻是波谷与波谷相遇.D、c处的振动永远互相减弱.例3、如图所示，两列简谐横波均沿x轴传播， 传播速度的大小相等，其中一列沿正x方向传 播（图中实线所示），一列沿负x方向传播（图中 虚线所示）.这两列波的频率相等，振动方向 沿均y轴，则图中x=1，2，3，4，5，6，7， 8各点中振幅最大的是x=的点，振 幅最小的是x=的点.5、多普勒效应当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时，接收者会发现 波的频率发生变化。多普勒效应的定量讨论可以分为以下三种 情况（在讨论中注意：波源的发波频率f和波相对介质的传播速 度v是恒定不变

32、的）a、只有接收者相对介质运动（如图所示）设接收者以速度v1正对静止的波源运动。如果接收者静止在A点，他单位时间接收的波的个数为f；当他迎着波源运动时，设其在单位 时间到达B点，则Ii=V，在从A运动到B的过程中，接收者事实上“提前”多接收到了n 个波 n = AB= Vi入 v/fv f1V显然，在单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为：f + n= 乌f，这就是接收者发V现的频率f1。即f1= V + Vi f显然，如果V1背离波源运动，只要将上式中的V1代入负值即可。如果V1的方向不是正对S，只要将v1出正对的分量即可。b、只有波源相对介质运动（如图所示）设波源以速度V2正对静止的接收

33、者运动。如果波源S不动，在单位时间内，接收者在A点应接收个波，故 s到A的距离：SA = f入 在单位时间内，s运动至S，即SS = V2。 由于波源的运动，事实造成了S到A的f个波被压缩在了$到A 的空间里，波长将变短，新的波长、,SA SA-SSA =f人一 V _ V-Vf ff f而每个波在介质中的传播速度仍为V，故“被压缩”的波（A接收到的波）的频率变为2当V2背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似a情形。c、当接收者和波源均相对传播介质运动当接收者正对波源以速度v1 （相对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度v2 （相对介质 速度）运动，我们的讨论可以在b情形的过程上延续f2= 1 fV V2关于速度方向改变的问题，讨论类似a情形。例、火车路铺设在两个相距很远的山崖之间，山崖的壁是竖直的，互相平行的，路轨和崖壁 是垂直的。在某段路上，正好有一个火车头在行进。匀速运动的火车头不断鸣笛，火车的速 度为V，鸣笛的频率为f，声音在大气中速度为V。回声返回火车头处的频率是多少？