三章节多维随机变量及其分布

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1、1第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量关键词：二维随机变量 联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 条件分布条件分布 随机变量的独立性随机变量的独立性 随机变量函数的分布随机变量函数的分布二维随机变量二维随机变量 例例1 1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身究身 高高H H的分布或仅研究体重的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的

2、两个随机变量。一样本空间的两个随机变量。问题的提出问题的提出3例例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。变量。定义：定义：设设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设；设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在是定义在S S上的随机变量，由上的随机变量，由它们构成的向量它们构成的向量(X,Y)(X,Y)叫做叫做二维随机向量二维随机向量或或二维二维

3、随机变量随机变量。Sey ,XeYex1 1 二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义：若二维随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)(X,Y)全部可能取到的全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)(X,Y)是是离散型随机变量。离散型随机变量。（一）联合概率分布（一）联合概率分布6,1,2,iiX Yx yi j 设所有可能取值为,1,2,称ijijP Xx Yypi jy1y2 yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij1x2xix为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率分布律。可以用的联合概率分

4、布律。可以用如右表格表示：如右表格表示：离散型随机变量的离散型随机变量的联合概率分布律联合概率分布律：分布律的性质1 0 ,1,2,ijpi j，112 1ijijP8例例1：设随机变量：设随机变量X X在在1 1、2 2、3 3、4 4四个整数四个整数中等可能地取中等可能地取 一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y Y在在1 1X X中等可能地取一中等可能地取一 整数值，试求整数值，试求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布。的联合概率分布。91 1(,)()(|)41,2,3,4 1；P Xi YjP Xi P Yj Xiiiji 解：解：(X=i,Y=j)(X=i,Y=j)的取值情况

5、为：的取值情况为：i=1,2,3,4i=1,2,3,4；j j取不大于取不大于i i的正整数。的正整数。10116YX12344000116111220116112300116112即即(X,Y)(X,Y)的联合概率分布为：的联合概率分布为：11对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X,Y)(X,Y)，分布律为分布律为(),1,2,ijijP Xx Yyp i j，1()()1,2,记为，=iiijijP XxP XxYpp i1()()1,2,记为，=jjijjiP YyP XYypp jX,Y的边际（边缘）分布律边际（边缘）分布律为：（二）边际分布（二）边际分布 iijjijppjppi记

6、号表示是由关于 求和后得到的；同样是由关于求和后得到的.p11p12p1jp11xp21p22p2jp22xpi1pi2pijpi ixXYy1y2yjiP Xxp1p2p.j1jP Yy注意：注意：0,1 1,02,(1)(,)2XYX Y例3：设一群体80的人不吸烟，15的人少量吸烟，5的人吸烟较多，且已知近期他们患呼吸道疾病 的概率分别为5，25，70。记不吸烟，患病少量吸烟，不患病吸烟较多求：的联合分布和边际分布；（）求患病人中吸烟的概率。14X0210.050.800.15p 解：1 由题意可得：1|00.05,1|10.25,1|20.70P YXP YXP YX 0 1 0120

7、.76 0.040.1125 0.03750.015 0.035 0.800.150.050.8875 0.11251X Y()P Xi()P Yj1|00.05,1|10.25,1|20.70P YXP YXP YX15 2()12|10.03750.0350.64440.1125PP XY患病人中吸烟或 2()12|10.03750.0350.64440.1125PP XY患病人中吸烟或 2()12|10.03750.0350.64440.1125PP XY患病人中吸烟或,()0,(|)A BP AP B A对于两个事件，若可以考虑条件概率，()0,(|)jjijP YypP Xx Yy若

8、考虑条件概率(,)(),1,2,ijijX YP XxYypi j对于二维离散型随机变量，设其分布律为，（三）条件分布（三）条件分布()0,(|)jjijP YypP Xx Yy若考虑条件概率17由条件概率公式可得：(,)(|)()ijijijjjP Xx YyPP Xx YyP YyP当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对对于固定的于固定的 ，()0jPYy若，则称：jYyX为在条件下，随机变量 的；条条件件分分布布律律()(|)1,2()ijijijjjP Xx YyPP Xx YyiPYyP，jy19()

9、(|)1,2()ijijjiiiP Xx YypPYy XxjP Xxp，iXxY为在条件下，随机变量 的。条条件件分分布布律律()0iP Xx若，则称：同样，对于固定的 ，ix求：求：(1)a,b的值；的值；(2)X=2条件下条件下Y的条件分布律；的条件分布律；(3)X+Y=2条件下条件下X的条件分布律。的条件分布律。YX-1 1 0 0.2 a0.2120.1 0.1 b(0|2)0.5PYX已 知：例4：(X,Y)的联合分布律为21(2,0)0.20.5(0|2),(2)0.4P XYaP YXP Xa又解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.40a0.4b1/6,1

10、(2)(2)0.6,(2)1/6,02/3,1jP XP Yj Xjj 22 3 (2)0.3,2/3,1(,2)(|2)(2)1/3,2P XYiP Xi YiP Xi XYP XYi 3 (2)0.3,2/3,1(,2)(|2)(2)1/3,2P XYiP Xi YiP Xi XYP XYi例例5：盒子里装有：盒子里装有3只黑球，只黑球，2只红球，只红球，1只白球，在其中只白球，在其中不放回任取不放回任取2球，以球，以X表示取到黑球的数目，表示取到黑球的数目，Y表示取到表示取到红球的只数。求红球的只数。求:(1)X，Y的联合分布律；的联合分布律；(2)X=1时时Y的条件分布律；的条件分布律

11、；(3)Y=0时时X的条件分布律。若采用放回抽样呢？的条件分布律。若采用放回抽样呢？24解：采用不放回抽样，解：采用不放回抽样，X,YX,Y的联合分布律为的联合分布律为X Y 0 1 2 012 0 2/15 1/153/15 6/15 03/15 0 01/53/51/5 6/15 8/15 1/151()P Xi()P Yj Y 0 1 1/3 2/3(|1)P Yj X X0 1 201/2 1/2(|0)P Xi Y25采用放回抽样，采用放回抽样，X,YX,Y的联合分布律为的联合分布律为X Y 0 1 2 0121/36 4/36 4/366/36 12/36 09/36 0 01/4

12、1/21/4 4/9 4/9 1/91()P Xi()P Yj Y 0 1 1/3 2/3(|1)P Yj X X0 1 21/166/16 9/16(|0)P Xi Y例6：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。(01),pp27解：解：22(,),1,1 nP Xm Ynp qqpnm 1(),1,2,mP Xmpqm22()(1),2,3,nP Ynnp qn28XmY在条件下，的条件分布律为：1(|),1,2,n mP Yn Xmpqnmm4(|3),4,5,nP

13、Yn Xpqn如：(1,2,),()0m mP Xm对每一，(2,3,),()0n nP Yn于是对每一，YnX在条件下，的条件分布律为：22221(|),1,2,1.(1)1nnp qP Xm Ynmnnp qn1(|10),1,2,9.9P Xm Ym如：(,)()()(,)F x yPXxYyP Xx Yy记成0 x,x yy称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数。2 2 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数（一）（一）分布函数分布函数定义：设定义：设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,对于任意实对于任意实数数x,y，二元函数，二元函数分布函

14、数 的性质1212(,)(,)xxF x yF xyx1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)(,)F x y1212(,)(,)yyF x yF x y2 0(,)1(,)1 ,F x yFx y ，对任意(,)(,)(,)0FyF xF 1,F x yx y。关于单调不减，即：0(,)(,)limF xyF x yx2y1x1y20(,)(,)lim F x yF x y12124 ,xxyy若22211211(,)(,)(,)(,)0F xyF xyF x yF x y3,F x yx y。关于右连续，即：121222211211,(,)(,)(,)(,)0P

15、xXxyYyF xyF xyF x yF x y因为二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)作为整体，有分布函数作为整体，有分布函数 其中其中X X和和Y Y都是随机变量，它们的都是随机变量，它们的分布函数分布函数,记为：记为：称为称为边缘分边缘分布函数。布函数。(,),F x y()()XYF x F y，()(,)()(,)XYFxF xFyFy（二）（二）边际（边缘）边际（边缘）分布函数分布函数34()()(,)YFyP YyFy同理得：()()(,)(,)XFxP XxP Xx YF x(,)()XF x yyFx 即在分布函数中令，就能得到事实上，事实上，定义：条件分布函数定义：

16、条件分布函数()0,P Yy若YyX则在条件下，的条件分布函数为：|(,)(|)(|)()X YP Xx YyFx yP Xx YyP Yy()0,0,()0P YyP yYy若但对任给（三）（三）条件条件分布函数分布函数YyX则在条件下，的条件分布函数为：36|00(|)(|)(,)()X YFx ylim P Xx yYyP Xx yYylimP yYy(|)仍记为P Xx Yy,X Y连续型称为的二维随机变量,称为二维随机变量(联合)概率密的度f x yX Y,(,)(,)yxX YF x yf x yx yF x yf u v dudv 定义：对于二维随机变量的分布函数 如果存在非负函

17、数，使对于任意，有3 二维连续型随机变量（一）（一）联合概率密度联合概率密度3.,(,)(,)GGxoyX YGPX YGf x y dxdy设 是平面上的区域，点落在 内的概率为：概率密度的性质：1.,0f x y 2.(,)1f x y dxdy 2(,)(,)(,)F x yf x yf x yx y 4.在的连续点(x,y)，有39 (,)1(,)(,)zf x yxoyP X YGzf x y1 在几何上，表示空间一个曲面，介于它和平面的空间区域的体积为 2等于以G为底，以曲面 为顶面的柱体体积。所以 X,Y 落在面积为零的区域的注：概率为零。例例1：设二维随机变量：设二维随机变量(

18、X,Y)(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：(23),00(,)0,xykexyf x y，其他 2(,)F x y 求分布函数；3()P YX求的概率.(1)k求 常 数；41(,)1,f x y dxdy 解：(1)利用得230061xykedxedyk6k(23)6,00(,)0,xyexyf x y，其他 2 (,)(,)yxF x yf u v dudv(23)006,0,0 0,yxuvedudvxy 其他230023,0,0 0,xyuveduedv xy其他23(1)(1),0,0 0,xyeexy其他43(23)03 ()6xyyP YXedxdy 3203(|)yxyee

19、dy3203yyeedy503yedy5033|55ye 例例2：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 2,01,(,)0,(1)(2)(,)(3)(0.5)cyxxyxf x ycX YP X其他求常数；求的联合分布函数；求。2,01,(,)0,(1)(2)(,)(3)(0.5)cyxxyxf x ycX YP X 其他求常数；求的联合分布函数；求。2,01,(,)0,(1)(2)(,)(2)(0.5)cyxxyxf x ycX YP X其他求常数；求的联合分布函数；求。45 (1)1(,)f x y dxdy 解：21015xxcdxcydy1

20、5c21201747(2)(0.5)11516464uuP Xduvdv 5.0对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为(,)f x y()(,)()(,)XYf xf x y dyf yf x y dx（二）（二）边际（边缘）概率密度边际（边缘）概率密度X,Y的边际概率密度为的边际概率密度为：对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为(,)f x y48()XFx(,)F x(,)xf u v dv du()xXfu du()YFy(,)Fy(,)yf u v du dv()yYfv dv事实上，事实上，同理：同理：例例3：(续上例续

21、上例)设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 215,01,(,)0,()()XYyxxyxf x yX Yfx fy其他求的边际概率密度。215,01,(,)0,()()XYyxxyxf x yX Yfx fy其他求的边际概率密度。50 ()(,)Xfxf x y dy解：3221515(),010,yyydxyyy其它215,010,xxydyx其它2415(),0120,xxx其它()(,)Yfyf x y dx 定义：条件概率密度定义：条件概率密度,(,),X Yf x y设二维随机变量的概率密度为,(),YX YYfy关于 的边缘概率密度为,()0,Y

22、y fy 若对于固定的|(,)()(,)(|)()YX YYYyXf x yfyf x yfx yfy在的条件下，的条件概率密度则称为，记为：（三）（三）条件概率密度条件概率密度52,()0()XXx fxfx同理，若对于固定的，且连续，|(,)(|)()Y XXf x yXxYfy xfx在条件下，的条件概率密度为：|(,)(|)()Y XXf x yXxYfy xfx在条件下，的条件概率密度为：53|(,)(|)(|)(|)()XYXYXYYf x yfx yFx yfx yxf y|(|)XYFx y0(,)()yP Xx yYyylimP yYyy 0(,)()xyyyyyyYydsf

23、 s t dtlimft dt(,)()xYf s y dsfy事实上，1y1y(,)()xYf s ydsfy例例4：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过完成时间不能超过30分钟。设甲先干了分钟。设甲先干了X分分钟，再由乙完成，加起来共用钟，再由乙完成，加起来共用Y分钟。若分钟。若XU(0,30)，在，在X=x条件下，条件下，YU(x,30)。(1)求求(X,Y)的联合概率密度以及条件概率密的联合概率密度以及条件概率密度度 ；(2)当已知两人共花了当已知两人共花了25分钟完成工作时，求分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过甲的工作时间不超过10

24、分钟的概率。分钟的概率。()X Yfx y55113030,030,30()()0,0,xXY Xxxyfxfy x解：已知，其它其它130(30),030,30(,)()()0,xXY Xxxyf x yfx fy x其它113030,030,30()()0,0,xXY Xxxyfxfy x解：已知，其它其它130(30),030,30(,)()()0,xXY Xxxyf x yfx fy x其它56301130(30)30(30)0ln,030()(,)0,yxyYdxyfyf x y dx其它30(30)1,0(,)(30)ln030()()0,yX YYxyf x yxyfx yfy当

25、时，其它301130(30)30(30)0ln,030()(,)0,yxyYdxyfyf x y dx其它30(30)1,0(,)(30)ln030()()0,yX YYxyf x yxyfx yfy当时，其它571010001ln3ln2(1025)(25)0.2263(30)ln6ln6X YP XYfxdxdxx1010001ln3ln2(1025)(25)0.2263(30)ln6ln6X YP XYfxdxdxx二维均匀分布与二维正态分布二维均匀分布与二维正态分布1,(,)(,)0,x yDf x yD的面积其他（1）若二维随机变量）若二维随机变量(X,Y)在二维有界区域在二维有界区

26、域D上取值，且具有概率密度上取值，且具有概率密度则称则称(X,Y)(X,Y)在在D D上服从上服从均匀分布均匀分布。5911111(,)(,)(,)DDDPX YDf x y dxdyDPX YDD若是 的子集，则，即的面积的面积例例5 5：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)在区域在区域 21|32(|)().X Yfx yP XY及(,):1x yyx内均匀分布，求条件概率密度内均匀分布，求条件概率密度611,1(,)0,yxf x y 其他()(,)Yfyf x y dx解：解：根据题意，根据题意，(X,Y)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：Y Y的边缘概率密度为：的边

27、缘概率密度为：11,11 0,ydxyy 其他xyo162|1,11(|)0,X Yyxyfx y其它2132122 312 3()()223X YP XYfxdxdx于是给定于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：的条件概率密度为：xyo1二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布2132122 312 3()()223X YP XYfxdxdx12122122211222221121221 (,)21()()()()1exp22(1),0 01 1,f x yxxyyxYyXX Y 设二维随机变量的概率密度为：其中，都是常数，且，；称维态，为二二正正分分布布1

28、21222(,)(;)1212X YN服从参数为，的，记为二维正态分，布，：。22,(;)1212,(),()(),().XYY XX YX YNX Yfxfyfy xfx y 例6：设二维随机变量，；求(1)的边际概率密度；(2)条件概率密度22,(;)1212,(),()(),().XYY XX YX YNX Yfxfyfy xfx y例6：设二维随机变量，；求(1)的边际概率密度；(2)条件概率密度22,(;)1212,(),()(),().XYY XX YX YNX Yfxfyfy xfx y例6：设二维随机变量，；求(1)的边际概率密度；(2)条件概率密度68()(,)Xfxf x

29、y dy解：(1)2211222222121212()()()()11exp22(1)21xxyydy 2212122211()122(1)212121xyxeedy 221221222112()1()22(1)21211221xyxeedy 2121()211 2xex 211(,).XN 即692222()221 (),2xYfyey 同理.即二维正态分布的边缘分布是正态分布，并且都不依赖于参数222(,).YN.即二维正态分布的边缘分布是正态分布，并且都不依赖于参数222122212211exp()2(1)21yx (,)()()Y XXf x yfy xfx(2)2222121(),(

30、1)XxYNx 即在条件下，的条件分布是正态分布，为2211212(),(1)YyXNy 同理，在条件下，的条件分布是正态分布，为714 随机变量的独立性(,)()()(,)()()XYP Xx YyP Xx P YyF x yFx Fy即,x y的分布函数及边缘分布函数，若对所有有：,X Y称随机变量相互独立。(,)(),(),XYF x yFx FyX Y定义：设及分别是二维随机变量(,)(),(),XYF x yFx FyX Y定义：设及分别是二维随机变量(,)()()(,)()()XYP Xx YyP Xx P YyF x yFx Fy即,(,)()(),若是随机变量，则相互独立的条件

31、等价于：即对一切都离散成。型立ijijijijX YX YP Xx YyP Xx P Yypp pi j,(,),(),(),(,)()()若是随机变量，分别是的概率密度和边缘概率密度，则相互独连续型立的条件等价于：几乎处处成立；即在平面上除去“面积”为零的集合以外，处处成立。XYXYX Yf x yfxfyX YX Yf x yfx fy 例例1 1：3 3例例1 1中中X X和和Y Y是否相互独立？即是否相互独立？即(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度(23)6,0,0(,)0,xyexyf x y其他7422,0()0,x0 xXexfx(,)()(),XYf x yfxfyX

32、Y故有因而是相互独立的。33,0()0,0yYeyfyy解：计算得，解：计算得，X X和和Y Y的边缘概率密度分别为：的边缘概率密度分别为：75 请问：连续型随机变量请问：连续型随机变量X,YX,Y相互独立，其密相互独立，其密度函数有何特征？度函数有何特征？f x,y=g x h y axb,cyd,a,b,c,d结论：其中可为有限或无穷。（注意范围：例子）12XY01P(X=j)161262162612P(Y=i)1323(1,0)1 6P XY(1)(0)P XP Y(2,0)1 6P XY(2)(0)P XP Y(1,1)2 6P XY(1)(1)P XP Y(2,1)2 6P XY(2

33、)(1)P XP Y,X Y因而是相互独立的。,X Y例2:具有分布律如下，则：77XY01P(X=j)12161262162612P(Y=i)1212,X Y例3:若具有分布律如下，则：(1,0)1 6P XY(1)(0)1 2 1 21 4P XP Y(1,0)(1)(0)P XYP XP Y故XY因而 与 不相互独立。,X Y例4:设X与Y是相互独立的随机变量，已知的联合分布律，求其余未知的概率值。012()10.010.220.03()XYP XiP Yj0.040.250.040.80.60.12 ,0XYX Y例5 证明：对于二维正态随机变量，与 相互独立的充要条件是参 数 ,0X

34、YX Y例5 证明：对于二维正态随机变量，与 相互独立的充要条件是参 数80,X Y证：因为的概率密度为：21222112222212121(,)21()()()()122(1)f x yxxyyexp 2又由例题知，其边缘概率密度的乘积为：2212221212()()11()()22XYxyfx fyexp,(,),(),()XYX Yf x yfxfy反之，若相互独立，由于都是连续函数，0,(,)()()XYx yf x yfx fy如果，则对于所有，有,X Y即相互独立。,(,)()()XYx yf x yfx fy故对于所有的，有1212(,)()(),XYfff 特别的有212121

35、1221 即026.1,0()20,xexf x例设甲，乙两种元件的寿命X,Y相互独立，服从同一分布，其概率密度为：其它求甲元件寿命不大于乙元件寿命2倍的概率。832,)1e 0,0(,)()()40 x yXYX Yxyf x yfx fy解：（的联合密度为其他(2)P XY20214xyxdxedy324400112223xxxeedxedx一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 112212 ;,nnnnESeXXeXXeXXeSnXXXn维随机变量设 是一个随机试验，它的样本空间是设是定义在 上的随机变量，由它们构成的一维个随维向量称为机变量。1212112

36、212,(,)(,),nnnnnnx xxnF x xxP Xx XxXxnXXX分布函数 对于任意 个实数，元函数：称为 维随机变量的分布函数。12121212112212 ,(,)1,2,(,)1,2,1,2,nnniinijiinnijnXXXxxxiP XxXxXxjninXXX离散型随机变量的分布律设所有可能取值为 称为 维离散型随机变量的分布律。111212121212(,),(,)(,)概率连续型随机变量的 若存在非负函数，使得对于任意实数密度 nnnnxxxnnnf x xxx xxF x xxf x xx dx dxdx 1212,(,)nnXXXF x xx的分布函数已知，

37、12,(1)nXXXkkn则的维边缘分布函数就随之确定。12,(1)nXXXkkn则的维边缘分布函数就随之确定。边缘分布边缘分布87 111()(,)XFxF x 12(,)1212(,)(,)XXFx xF x x11223111122,()(,)nniiinnii iiP XxP XxXxXx12123411221122,(,)(,)nniiiinnii iiP XxXxP XxXxXx111223()(,)Xnnfxf x xx dx dxdx12(,)121234(,)(,)XXnnfx xf x xx dx dxdx8812121212,(,)()()()nnnXXXnx xxF x

38、xxFx FxFx若对于所有的有：12,nXXX则称是相互独立的相互独立相互独立12121212,(,)()()()nnnXXXnx xxF xxxFx FxFx若对于所有的有：1212,mnXXXY YY与的独立性12112,(,),mmXXXF x xx设的分布函数为12212,(,),nnY YYF y yy的分布函数为12121212,(,)mnmnX XX Y YYF x xxy yy的分布函数为1212112212(,)(,)(,)mnmnF x xx y yyF x xx F y yy若1212,mnXXXY YY称与相互独立。12121212,(,)mnmnXXXY YYF x

39、 xxy yy的分布函数为 定理1：定理2：1212,mnXXXY YY设与相互独立，1,2,1,2,ijXimYjn则与相互独立。1212,mnh x xxg y yy若和是连续函数，1212,mnh XXXg Y YY则和相互独立。1212,mnXXXY YY设与相互独立，91(,)(,),1,2,.ijijX YP Xx Yypi j设二维离散型随机变量具有概率分布(,),(,),(,)(,)Uu X Y Vv X YU VZg X Y(1)设则的分布律是什么？或(2)的分布律是什么？5 5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布(,),(,),(,)(,)Uu X Y Vv

40、X YU VZg X Y(1)设则的分布律是什么？或(2)的分布律是什么？(,),(,),(,)(,)Uu X Y Vv X YU VZg X Y(1)设则的分布律是什么？或(2)的分布律是什么？1(,)(,),1,2,.(,)(,)ijijU Vu v i jUu VvX YD对于（），先确定的取值再找出，从而计算出分布律；,1,2,.()(,)iiZz iZzX YD对于（2）类似（1），先确定 的取值再找出，从而计算出分布律；例1:设X与Y的联合分布律为：1210.20.120.30.4XY,max(,),)UXY VX YU V令，求(的联合分布律。941220.20300.4400.

41、4UV解：,0()0,01,11,2,0,10,2,)xexf xxXXUVXXU V例2:设X的概率密度为：令求(的联合分布律。962(1,1)(1,2)(2)P UVP XXP Xe解：12(1,0)(1,2)(12)PUVP XXPXee(0,1)(1,2)0P UVP XX1(0,0)(1,2)(1)1P UVP XXP Xe(,)(,),1,2,.ijijX YP Xx Yyp i j设为离散型随机变量，分布律为 的分布ZXY121,.,.()()(,),1,2,.kkkikiiZz zzZXYP ZzP XYzP Xx Yzxk设 的可能取值为，则的分布律为：1()(,),1,2,

42、.kkjjjP ZzP Xzy Yyk或(,)(,),1,2,.ijijX YP Xx Yyp i j设为离散型随机变量，分布律为 121,.,.()()(,),1,2,.kkkikiiZz zzZXYP ZzP XYzP Xx Yzxk设 的可能取值为，则的分布律为：121,.,.()()(,),1,2,.kkkikiiZz zzZXYP ZzP XYzP Xx Yzxk设 的可能取值为，则的分布律为：9811()()(),1,2,.()()(),1,2,.kikiikkjjjXYP ZzP Xx P YzxkP ZzP XzyP Yyk特别地，当 与 相互独立时，或12(),(),XYX

43、YZXYZ 例3设随机变量且相互独立。若，求 的概率分布律。1001212(),0,1,2,.,(),0,1,2,.!ijeeP XiiP Yjjij解：0()()()kiP ZkP Xi PYk i 12120!()!ik ikieeiki1212()120()12!()!(),0,1,2,.!kik iikekki kiekk 12()Z 即1212(),0,1,2,.,(),0,1,2,.!ijeeP XiiP Yjjij解：(,)(,),X Yf x y设连续型随机变量的概率密度为 ZXY则的分布函数为：()()(,)(,)z yZx y zFzP Zzf x y dxdyf x y

44、dx dy(,)zf uy y du dy(,)()zzZf uy y dy dufu du,z yxuy固定令()()(,)(,)z yZx y zFzP Zzf x y dxdyf x y dx dy 102 ()()()()XYXYXYXYZXYfffzy fy dyfx fzx dx卷积公式：将 和 相互独卷积立时，的密度函数公式称为公式即 ()(,)ZZfzf zy y dy故 的概率密度为：,()()(,)ZZX Yfzfzf x zx dx由的对称性，又可写成 ()()()()XYXYXYXYZX Yfffz y f y dyfx f z x dx卷积公式：将 和 相互独卷积立时

45、，的密度函数公式称为公式即 ()()()()XYXYXYXYZXYfffzy fy dyfx fzx dx卷积公式：将 和 相互独卷积立时，的密度函数公式称为公式即 例例4 4：设：设X X和和Y Y是相互独立的标准正态随机变量，是相互独立的标准正态随机变量，求求 的概率密度。的概率密度。ZX Y104()()()ZXYfzfx fzx dx22()2212z xxeedx22()4212zzxeedx222412zt xztee dt 2412ze2412ze 0,2ZN即解：由卷积公式：解：由卷积公式：105221122(,),(,)XNYN 221212 (,)ZXYN 则2222121

46、2(,)aXbY cN abcab一般：设一般：设X,YX,Y相互独立，相互独立，例例5 5：X,YX,Y相互独立，同时服从相互独立，同时服从0,10,1上的均匀上的均匀分布，求分布，求 的概率密度。的概率密度。ZXY107()()()ZXYfzfx fzx dxxx=zz120 x=z-1 1011 01()2 12 0 其他zZzdxzzfzdxzz0101 011xxzxzxz 即 时上述积分的被积函数不等于零解：根据卷积公式：解：根据卷积公式：易知仅当易知仅当参考图得：参考图得：例例6 6：设随机变量（：设随机变量（X,YX,Y）的联合概率密度为）的联合概率密度为3,01(,)0,xy

47、xf x y其它记记Z=X+Y，求，求Z的概率密度。的概率密度。109()(,)Zfzf x zx dx解：2221293,0183()3(1),1224 0,zzzZxdxzzzfzxdxz其他01min(,1),022zzxxxzz 3,01(,)0,xzxxf x zx其它x x=z x=z/20 1 2 z参考图得：参考图得：例例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬：某人一天做两份工作，一份工作的酬金金X为为10元、元、20元、元、30元的概率各为元的概率各为1/3,另一另一份工作的酬金份工作的酬金YN(15,4).设设X,Y相互独立，相互独立，记一天的酬金总数为记一天的酬金总数为Z，

48、Z=X+Y。求。求(1)Z的概率密度；的概率密度；(2)求一天酬金多于求一天酬金多于30元的概率。元的概率。111()()ZF tP ZtP XYt解解:(:(1)1)先求先求Z Z的分布函数，利用全概率公式的分布函数，利用全概率公式(10)10(20)20(30)30P XP XYt XP XP XYt XP XP XYt X1 1010202030303P YtXP YtXP YtX 1 1010202030303P YtXP YtXP YtX 1121 10203031(10)(20)(30)3YYYP YtP YtP YtF tF tF t 222(25)(35)(45)8881()(

49、)6 2tttZZftFteee(2)(30)1(30)155151()()()322223ZP ZF ,()(),()()设是两个的随机变量，它们的分布函数分别为和现在来求的分布。相互独函数和立XYmaxminX YFxFyM NFzFz()()(,)()()maxMFzP MzP Xz YzP Xz P Yz 的分布函数为：()()()maxXYFzFz Fz即,的分布Mmax X YNmin X Y()()(,)()()maxMFzP MzP Xz YzP Xz PYz 的分布函数为：114()(,)P NzP Xz Yz因为()()1()1(,)1()()minFzP NzP NzP

50、Xz YzP Xz P Yz ()1(1()(1()minXYFzFzFz 即N所以的分布函数为：()()1()1(,)1()()minFzP NzP NzP Xz YzP Xz P Yz 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：()1,2,iXiF xin 11iimaxmini ni nMmax XNmin XFzFz 及 的分布函数和为:1212()()()()()1 1()1()1()nnmaxXXXminXXXFzFz FzFzFzFzFzFz 推广到推广到n个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况116()()()1 1()nmaxnmin

51、FzF zFzF z 12,()nX XXF x特别，当相互独立且具有相同分布函数时，(0,1),max(,),min(,)XYUMX YNX Y例8设 与 独立，均服从分别求的概率密度。1180,0Y(),011,1xXF xxxx解：、的分布函数220,0()(),01,1,1MxFxF xxxx2,01()0,Mxxfx其它119220,0()1 1()1(1),01,1,1NxFxF xxxx 2(1),01()0,Nxxfx其它例例9 9：设系统：设系统L L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L L1 1,L,L2 2联结而成，联结而成，联结的方式分别为：联结的方式分别为：

52、(1)(1)串联；串联；(2)(2)并联；并联；(3)(3)备用备用(当当系统系统L L1 1损坏时，系统损坏时，系统L L2 2开始工作开始工作)。如图，设。如图，设L L1 1,L,L2 2的的寿命分别为寿命分别为X,YX,Y，已知它们的概率密度分别为：，已知它们的概率密度分别为：,0,0,()()0,0,.0,0.0,0.xyXYexeyfxfyxy,0,0,()()0,0,.0,0.0,0.xyXYexeyfxfyxy121试分别就以上三种联结方式写出试分别就以上三种联结方式写出L的寿命的寿命Z的的概率密度。概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1(1)串联的情况串联的情况 由于

53、当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：1 0()0 0 xXexFxx 1 0()0 0yYeyF yy L1L2123故故Z Z的分布函数为：的分布函数为：()min1 0()1(1()(1()0 0zXYezFzFzFzz 即即Z Z仍服从指数分布仍服从指数分布()min()0()0 0zezfzzZ的概率密度为：的概率密度为：(2)(2)并联的情况并联的情况 由于当且仅当由于当且仅当L L1 1,L,L2 2都损坏时，系统都损坏时，系统L L才停才停止工作，所以这时止工作，所以这时L L的寿命为的寿命为Z=max(X,

54、Y)Z=max(X,Y)，Z Z的分布函数为：的分布函数为：max()()()XYFzFz F zL1L2()max()0()0 0zzzeeezfzz(1)(1)0 0 0zzeezzZ的概率密度为：的概率密度为：(3)(3)备用的情况备用的情况由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L20()0ZZfz当时，126 0 ()0 0zzZeezfzz即0()()()ZXYZfzfzy fy dy当时，()0zz yyeedy()0zzyeedy zzee0()()()ZXYZfzfzy fy dy当时，127,:(1),(1,),;(2),(2)1,(0,1),XYZZZAXA Y AbpA X YF FFP XYUFZ例相互独立 已知(1)求若p=0.5求问此时 是什么类型的?2022-12-2课件待续!