厦门大学许文彬高级微观经济学全套讲义共744幻灯片可修改

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1、高级微观经济理论Advanced Microeconomic TheoryGeoffrey A.JehlePhilip J.RenySlide 2课案简介n底本编写者：夏纪军nEmail：n网页：http:/ 财大主页公共信息教师主页n修订者：许文彬nEmail：Slide 3课程简介n教材：uG.A.Jehle&P.Reny Advanced Microeconomic Theoryn参考书：uH.R.Varian Microeconomic AnalysisuA.Mas-Colell,M.D.Whinston&J.R.GreenMicroeconomic Theory Ch 0.导论Sli

2、de 5主流经济学的分析框架n四个分析层次u经济环境u个体行为分析最优化原则u个体互动结果均衡分析u福利分析Slide 6微观经济学的演变n古典经济学n边际革命（1870年代，门格尔，瓦尔拉斯，杰文斯）Slide 7微观经济学的演变n古典经济学的核心是初创于李嘉图，综合于穆勒的生产成本价值论。在很大的意义上，马克思的劳动价值论和剩余价值论同样归属于这一体系。n边际革命的意义在于力图把经济理论建立在主观意义之上，纳入主观心理的范畴。n边际主义者认为，经济学应该是研究享乐并使其最大化的科学；消费是实现和追求享乐的直接领域，因此消费才是经济学研究的基础和出发点。而消费又是通过个人的行为得以实现的，个

3、人是消费的主体，于是，个人的消费行为被视为研究的重点。n分析个人消费心理成为经济分析的根本出发点和理论支点。Slide 8微观经济学的演变n边际主义者宣称，效用是人对物品满足自己欲望的一种估价，它纯粹是一种主观现象，决不存在于人的意识之外。n物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供应存在确定上限。n效用和稀缺性结合，就产生了价值现象。所谓价值，就是人对物品主观效用的评价，它显然也是纯粹的主观现象。Slide 9微观经济学的演变n门格尔在经济学的研究方法上，强调以抽象演绎法为主，辅以经验归纳法。这一主张是以承认经济规律的存在和能够被认识为前提的。n杰文斯和瓦尔拉斯主张并实际进行了将数学方法引入经济

4、学的尝试，成为数理经济学的先驱。n二者对此后经济学方法论的发展起到了极其深远的影响。Slide 10微观经济学的演变n边际革命的扩展：n（1）对边际效用价值论的深化和通俗化n（2）从基数效用论转向序数效用论n（3）边际生产力论的完成n（4）对包括边际效用论和边际生产力论在内的整个边际主义的不同形式的综合阐述。n对边际革命不同方向的扩展形成了不同的学派，瑞典洛桑学派、奥地利学派，以及所谓新古典经济学派，都是对边际革命的不同方向的扩展结果。Slide 11微观经济学的演变n边际主义学说与原本它要反对的英国古典学派传统的融合，最终形成了新古典经济学。这使边际主义从异端走向正宗，新古典经济学也成为近现

5、代西方经济学的主流学派。n这一学派的创始者是马歇尔（1890，经济学原理）。n马歇尔的理论将价值论和供求论统一起来，提出“供求均衡价值论”，从而使原本针锋相对的古典经济学和边际主义理论相互融合，并以此为轴线建立起自己的学说体系。n马歇尔的理论体系直到1930年代受到来自于凯恩斯的挑战，二战后，凯恩斯主义部分取代了马歇尔理论中关于宏观的方面，从而使得新古典经济学在当代条件下采取了微观经济学的形式。Slide 12微观经济学的演变n萨缪尔森基本上全盘继承了马歇尔的理论体系，并吸收了凯恩斯关于有效需求的论述，从而建立起现代微观经济学的理论体系。n如果说边际主义革命是现代主流经济学的肇始的话，那么，博

6、弈论的兴起和迅猛发展，就是微观经济学“二次革命”的契机。n博弈论的兴起，“正在改写着微观经济学”。Slide 13微观经济学的演变n一个粗略的学术谱系：门格尔庞巴维克维塞尔杰文斯维斯蒂德瓦尔拉斯帕累托奥地利学派洛桑学派古典经济学马歇尔萨缪尔森新古典经济学边际革命Slide 14数学与经济学n提高经济学争论的效率，加速理论的创新。n形成统一的知识体系，便于交流、传承，以及知识的积累。Slide 15数学基础（一）n集合 u实数集un 维欧氏空间 iff xiyi,i=1,2,nn1nx(,.,),1,2,.ixxxinRRxx R=xy iff,1,.,iixy inn1n(,.,)0,1,2,

7、.ixxxinRyx Slide 16数学基础（一）nConvex sets in Rnu is a convex set if for all we have 如果一个集合包含了该集合中每对点的所有凸组合，它才是凸的。当且仅当我们可把集合内的两点用一条直线连接，该连接线又完全处在集合内的情况下，这一集合才是凸的。nS R1xS12x(1)xttS0,1t Slide 17数学基础（一）n :binary relation between S and TuAny collection of ordered pairsus与t存在特定关系(,),s t some sS tTRRRstR或(,)s

8、 tRSlide 18数学基础（一）nCompleteness（完备性）uA relation on S is complete if,for all elements x,y in S,RxyR or yxRRxyR and yzRxzRnTransitivity（传递性）u A relation on S is transitive if,for any three elements x,y,z in S,implies 。Slide 19数学基础（一）n度量与度量空间)x-x)(x-x()x,x(212121d21x,xnn欧氏空间u欧氏度量：Slide 20数学基础（一）n开邻域0),

9、x(0B)x,x(Rx)x(00dBn0*0(x)B)x,x(x)x(00*dBnn闭邻域Slide 21数学基础（一）n例1：在R1上的邻域)(0 xB0 x0 x0 x)(0*xB0 x0 x0 xSlide 22数学基础（一）n 上的邻域：x-xx)x(00nRB0 x0(x)B2R0 x*0(x)BSlide 23数学基础（一）n开集u如果 ，都 使 ，那么 是 上的开集。SxSB)x(,0nRS SnRSlide 24数学基础（一）n闭集 Su如果 S 的补集 Sc 是开集，那么 S 是闭集。Slide 25数学基础（一）n定理：u一个集合 是一个闭集，当且仅当，对所有的序列 ，如果

10、对任意的m有 ，那么，就有 。XA XxxmAxmAxSlide 26数学基础（一）nBounded Sets（有界集）uA set S in Rn is called bounded if it is entirely contained within someuThat is,.balln0,x R(x)SBSlide 27数学基础（一）nupper and lower bound of S in Ruupper bound:u最小上界：上确界（l.u.b.）ulower bound:l最大下界：下确界（g.l.b.）,uxxS,lxxS Slide 28数学基础（一）n定理1.5：实数子

11、集的上界与下界u1、有界开集不包含上、下确界；u2、有界闭集包含上、下确界。Slide 29数学基础（一）nCompact set（紧集）u有界闭集Ch1 消费者理论Slide 311.消费者理论n消费集n偏好关系与效用函数n消费者问题n间接效用函数与支出函数n需求函数性质 Slide 321.1 消费集n商品 i 及其数量u种类有限性u数量无限可分n1,2,.,inix0ixnx,.,x21nxxxn 消费组合（束）Slide 331.1 消费集n商品定义u时点:今天的面包 VS 昨天的面包u地点:上海的面包与北京的面包u状态:生产期为1天的面包与生产期为2天的面包Slide 341.1 消

12、费集n例：跨期消费决策u两种商品：第一期消费 第二期消费:1x:2xSlide 351.1 消费集n消费集：u消费者可以想象自己可能消费的各种消费组合的集合。Rx|xnXXn R反映自然的约束以及消费者关于商品的信息 Slide 361.1 消费集X休闲时间24面包自然约束(physical constraint)：总量约束(i)Slide 371.1 消费集132X汽车汽油(ii)自然约束(physical constraint)：单位约束Slide 381.1 消费集n更具一般性的消费集2RXSlide 391.1 消费集n消费集基本假设uNonempty：u is closedu凸性(c

13、onvex)u nXRX0XSlide 401.1 消费集n可行集 Bu在给定环境约束下，所有消费者实际上可以选择的消费束。BX反映制度、技术、个人能力等因素Slide 411.2 偏好与效用n如何描述消费者的偏好？uBetham：效用可度量、可比较uJevons等：边际效用递减法则 需求规律u基数效用论Slide 421.2 偏好与效用n序数效用论uPareto(1896)、Slutsky（1915）uHicks（1939）:Value and CapitaluDebru（1959）:Theory of Value 公理化方法Slide 431.2 偏好与效用n理性假设uthe consum

14、er can choose能够判断自己喜欢什么uand choices are consistent自己的偏好具有一致性Slide 441.2.1 偏好关系n二元关系(binary relation):u如果 ，有 ,那么 至少与 一样好。u读作：偏好于 。12x,xX1x2x1x2x12xxSlide 451.2.1 偏好关系n偏好公理1：完备性u 12x,x,X一定存在12xx21xx或。n 偏好公理2：传递性123x,x,x,X23xx和12xx如果有13xx那么一定有。u Slide 461.2.1 偏好关系n定义1.1：u如果在消费集 上的二元关系 满足公理1和2，那么我们称它为偏好

15、关系。XSlide 471.2.1 偏好关系n定义1.2：strict preference relation12xx12xx21xx而且1x2xu 读作：严格偏好于n 定义1.3：indifference relation12xx而且12xx21xx1x2xu 读作：与 无差异Slide 481.2.1 偏好关系n消费集的分划u弱偏好集：u严格偏好集：u无差异集：00(x)x x,xx X贩00(x)x x,xx X00(x)x x,xx XSlide 491.2.1 偏好关系0(x)0(x)0 x0(x)2x1xn 消费集的分划Slide 501.2.1 偏好关系n公理3：连续性u ,如果

16、 都有 而且有 和 ，那么就有nnn=1(x,y)xy,nn1ny=limynnx=limxnnxy.0(x)0(x)和 是闭 集。连续定理：定理：Slide 511.2.1 偏好关系0(x)0(x)0 x0(x)2x1x0(x)0(x)0(x)0 x0(x)2x1xSlide 521.2.1 偏好关系n例1：字典序偏好u设 ，如果 或 ，并且u如：奥运会金牌榜2X Rxy11xy11x=y22xySlide 531.2.1 偏好关系n证明：字典序偏好不连续(反证法)n1x(,0)ny(0,1)nx(0,0)y(0,1)1nxy,nn有连续性xy假设：该偏好关系具有连续性假设不成立yx（1）与

17、结论(1)矛盾Slide 541.2.1 偏好关系n公理 :局部非饱和性u ,使得 。40n+xR0 0 x(x),B0 xx总存在改进福利的可能性Slide 551.2.1 偏好关系0(x)0 xX12x1x不满足公理40(x)0(x)Slide 560(x)0 x0(x)2x1x0(x)局部非饱和性无差异集合是一条曲线，不存在无差异区域。1.2.1 偏好关系Slide 570(x)0 x0(x)2x1x0(x)X30(x)（好的）商品越多越好！X2Slide 581.2.1 偏好关系n公理4：严格单调性u ，如果有 那么有 ，如果有 ，那么有u严格单调性局部非饱和性01nx,xR01xx0

18、1xx01xx10 xx Slide 592x1xX2X3X10(x)0 x1.2.1 偏好关系0(x)0(x)无差异曲线斜率为负严格单调性Slide 601.2.1 偏好关系n公理 ：凸性u如果 ，那么510 xx0,1t 001)1(xxttxSlide 610 x2x1x0(x)X2X1Xtt12xx+(1-t)xt0,1t1.2.1 偏好关系Slide 621.2.1 偏好关系n公理5 ：严格凸性u如果 和 ，那么(0,1)t 10 xx10 xx001)1(xxttxSlide 631.2.1 偏好关系0(x)0 x2x1x0(x)0(x)X1Xt严格单调、凸性偏好 凸向原点的无差异

19、曲线Slide 64 0(x)0 x2x1x0(x)0(x)X1Xt严格单调、严格凸性偏好严格凸向原点的无差异曲线1.2.1 偏好关系Slide 651.2.1 偏好关系n边际替代率u无差异曲线的斜率2121xMRSx u凸偏好边际替代率非递增u严格凸偏好边际替代率递减Ch 1.2.2 效用函数Slide 67数学基础：函数n连续性n如果定义域的一个“微小运动”并不导致值域的“大跳跃”，那么，函数基本上可以判断是连续的。n严格定义：PP427nR到R的函数的连续性概念可以推广到两个度量空间之间的函数中。u函数:xfDD0在点处连续，如果R z0，都0使得,00(x,x)(x),(x)dd ff

20、Slide 68数学基础：函数n连续性（Cauchy）u 在此定义中，函数的定义域不再在R中取值，而只是在R的一个子集中取值。m:xfDD0函数在点处连续，如果R000(x)(x)f BDBf，都0,使得：Slide 69数学基础：函数n象与原象（inverse image）u n连续性与原象（定理A1-6）n:fD 连续Rn1,()SfSD开集是 的开集.Rn1,(),()AD f AASfSS 是 的象；是 的原象RSlide 70数学基础：函数n定理A1.7：连续函数在紧集上的象（image)是紧集:nfDSDD是连续函数，如果是 内的紧集，R()nnf S 那么，映射是内的紧集。RRS

21、lide 71数学基础：函数n极值存在性定理（Weierstrass）n证明：u根据 定理A1-7，f（x）在 R上是一个紧集，所以f（x）是闭且有界的，令a为其上确界，则a是f（x）的极限点；又因为f（x）是闭的，所以a属于f（x），即在S中存在某点xd，使得f（xd）=a。n:SfS 设 是上的非空紧集，如果连续，RR*xx,S那么，存在，使得：*(x)(x)(x)xfffS Slide 72数学基础：多变量函数的微分12(,.,)nyf x xx(x)H1n(x)(x)(x)(,.,)fffxx梯度(gradient)：一阶微分：二阶微分：1111nmmnffffi(x)iffx2(x)

22、ijijffx x（海赛矩阵）Slide 73数学基础：矩阵n定义：u NN矩阵M，如果 都有u半负定矩阵的特点是其每个特征值都是0或负数；负定矩阵的特点是其每个特征值都是负数。Nz Rz M z0 那么，称M是半负定矩阵；如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。Slide 74数学基础：拟凹函数12:x,x,fDRD是拟凹函数，如果对都有t12(x)min(x),(x)0,1ffft 定义域是凸集的函数，若其任一上等值集（Superior set,定义域中使函数值不小于某值的子集）是凸集，则该函数是拟凹的。Slide 75数学基础：拟凹函数()S y上等值集是凸集证明：充分性:fDR是拟凹函

23、数，当且仅当定理定理()S y是凸集f是拟凹函数，()x(x)S yfy12x,xD，122x,x()S y2()S y 是凸集t2x()S y f(x)是拟凹函数122(x)(x)ffy设12min(x),(x)ff),(min)(212xxfyxftSlide 76数学基础：拟凹函数必要性：()S y 是凸集f是拟凹函数12x,x()S yy，R(x)f是拟凹函数t12(x)min(x),(x)ffft(x)fytx()S yS(y)是凸集12(x),(x)fy fy有Slide 77数学基础：拟凹函数12:x,x,fDRD是严格拟凹函数，如果对都有t12(x)min(x),(x)(0,1

24、)ffft()S y 上等值集是严格凸集xxxSlide 78数学基础：拟凹函数n定理：连续可微函数 f,以下三个命题等价：n1、f是凹的，n2、对于D中所有x，H（x）是负半定的，n3、对于一切x0属于D，)()()(000 xxxfxfxfSlide 791.2.2 效用函数n定义1.5：u实值函数 u:R R是表示偏好关系 的效用函数，如果u存在性u唯一性01x,x,nR01xx01(x)(x)uuSlide 801.2.2.1 效用函数存在性u定义在 的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数 表示.。XRRun:Slide 811.2.2.1 效用函数存在性n定理

25、1.1证明思路u先构造一个实值函数u然后证明它满足效用函数的条件Slide 82I、效用函数的构造e=(1,1,.,1)entX R2x1x0ex0t:0 xAtte:0 xBtte连续性,A B 是非空闭集(上一讲公理3)0Et e tX:x,0AEt e t et:x,0BEt e t et,ABEE 是非空闭集Slide 83I、效用函数的构造严格单调性那么tt 都有tAtA如果,)tAt那么tt都有tBtB如果,0,tBt完备性0t xxtete或范tAB0,)ABttRttAB（A是有下界闭集）（B是有界闭集）Slide 84I、效用函数的构造*tAB AB*xxt et e而且范*

26、ext而且 是唯一的。因为：*t假设12exextt和12eett12tt（严格单调性）（传递性）+x R存在唯一的 使得*(x)0t*extSlide 85I、效用函数的构造2x1x0ex(x)euP.1（）u(x)exSlide 86n至此我们证明出，对于每个x属于R，正好存在一个函数u（x），使得u(x)ex。n到此为止,我们构造了一个效用函数,它给X中的每一消费束分配一个数字。以下我们将说明这一效用函数代表偏好关系。Slide 87II、是效用函数12x,xnR由P.1（）式得到1(x)u2(x)u和12xx12(x)e(x)euu（传递性）12(x)(x)uu（严格单调性）(x)uu

27、(x)是表示偏好关系 效用函数Slide 88III、是连续函数1(,)ua bn+x(x)aubR效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆映射(原象)n+xe(x)eeaubRn+xexeabR(e)(e)ab （定义）（单调性）（传递性）是开集（因为(e)(e)ab和的补集是闭集）(x)uSlide 89III、是连续函数(x)u定理A1.6：（P429）1(,)ua b连续():nuRR是开集():nmfRRnR，在任意开集的逆映射 在mS R是开集连续1()fS():nmfRRSlide 901.2.2.2 效用函数的唯一性n正单调变化(x)(x)vf u:fRR其中在 的取值范围上是

28、严格递增函数。uSlide 911.2.2.2 效用函数的唯一性n定理1.2：效用函数对正单调变化的不变性u实值函数u(x)能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。Slide 921.2.2.2 效用函数的唯一性n设 表示的是偏好关系 的结构。(x)u01xx01(x)(x)uu(x)(x)8vuu 3(x)(x)vuu 2(x)(x)vuu Slide 93n效用函数与无差异曲线012(,)u x xu无差异集：000(x)x(x)(x)uuuL021(,)xg x u1x2x0 x0(x)L1.2.2.3 效用函数的性质Slide 9

29、4n上等值集(Superior Set)0()L u1x2x0 x2x【严格上等值集】3x0()S u00()x x,(x)S uX uu00()x x,(x)S uX uu1.2.2.3 效用函数的性质Slide 951.2.2.3 效用函数的性质n(x)u严格递增严格单调00 xx,x(x)S u 都有0()L y1x2x0 x2x3x0()S ySlide 961.2.2.3 效用函数的性质n(x)u拟凹具有凸性(x)u严格拟凹具有严格凸性n t12(x)min(x),(x)uuu12xxt2xx0,1t Slide 971.2.2.3 效用函数的性质n 处处具有可导性u无差异曲线光滑（

30、smooth）u无差异关系是XX上的光滑流形。(x)un边际效用(x)iiuMUx0（偏好单调性）0（偏好严格单调性）【几乎处处成立】Slide 981.2.2.3 效用函数的性质是凹函数(x)un 拟凹 边际效用递减Slide 991.2.2.3 效用函数性质n海塞矩阵 满足n本章PPT，P13(x)HTzH(x)z0(x)u凹0)(.zxutsSlide 1001.2.2.4 效用函数实例2x1x2X1X12X0X010 xx10 xx0位似偏好(homothetic preference)Slide 1011.2.2.4 效用函数实例n位似偏好效用函数u如果 是位似偏好，那么就可以用一个

31、一次齐次效用函数来表示。(x)(x)uu位似偏好：12xx12xx1(x)ut1xt e 1()xt e11(x)(x)utu 证明：0Slide 1021.2.2.4 效用函数实例n位似偏好效用函数u如果 是位似偏好，那么就可以用一个一次齐次函数的正单调变换来表示。()g是单调递增函数(x)(x)ug f()f是一次齐次函数Slide 1031.2.2.4 效用函数实例n拟线性偏好(quasilinear preference)u偏好关系 是相对于商品1的拟线性偏好，如果u u 1x01(x)eR1(1,0,.,0)e 0 x11(x)e其中Slide 1041.2.2 效用函数实例n拟线性

32、偏好效用函数1221(,)()u x xv xxSlide 1051.2.2 效用函数实例nCES（constant elasticity of substitution）效用函数1/1212(,)u x xxx1.1if1212(,)u x xxx2.0if1212(,)u x xxx3.if 1212(,)min,u x xxxSlide 106作业2：n1.12、1.13、1.14、1.15Ch 1.3 消费者问题Slide 108Ch 1.3 消费者选择问题n最优解的性质n最优解的充分必要条件Slide 109数学基础n约束最优化求解：拉格朗日方法n 受约束于n可构造拉格朗日函数，用无

33、拘束三变量函数替代两变量函数：n ),(max21,21xxfxx0),(21xxg),(),(),(212121xxgxxfxxLSlide 110拉格朗日定理（定理A2-16）n设f（x）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*是f的一个最优值点（最大值或最小值）；f受到 的约束，如果梯度向量 是线性独立的，那么总会存在m个不同的数 使得mjxgj,1),(nRD 0)(xgjmjxgj,1),(,1,mjjnixxgxxfxxLijmjjii,1,0)()(),(10)(*xgjjmjxgj,1,0)(Slide 111定理A2-19n受非负性条件约束的实

34、值函数最优化的必要条件：n设f(x)是连续可微的1.如果在 的约束下,x*最大化了f(x),那么x*满足:0 xnixxfi,1,0*)(nixxfxii,1,0*)(*nixi,1,0*Slide 112定理A2-19,续2.如果在 的约束下,x*最小化了f(x),那么x*满足:0 xnixxfi,1,0*)(nixxfxii,1,0*)(*nixi,1,0*Slide 113Kuhn-Tucker条件（定理A2-20）n受不等式条件约束的实值函数最优化的（Kuhn-Tucker）必要条件n设f（x）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*受到条件 约束的f的

35、最优解（最大值或最小值解）。如果与所有束紧约束相关的梯度向量 是线性独立的，那么必存在唯一的向量 使得（x*，）满足Kuhn-Tucker 条件：mjxgj,1),(nRD mjxgj,1,0)()(xgjnixxgxxfxxLijmjjii,1,0)()(),(10)(*xgjjmjxgj,1,0)(Slide 114Ch 1.3 消费者选择问题n分析框架u偏好关系：u消费集：可行集：u 最优化选择：nX RBX*xB*xx都有xB使得Slide 115Ch 1.3 消费者选择问题n假设1.2u消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性和严格单调性。u消费者的效用可以由一连续、严格递增的拟凹实值

36、函数 表示。形式理性(x)uSlide 116Ch 1.3 消费者选择问题n可行集u预算u行动规则制度、政府规制等交易规则：完全竞争性市场ynp,+xpxyByR可行集：0pSlide 117Ch 1.3 消费者选择问题2c1c例：跨期消费选择11212(,)u c cc cSlide 118Ch 1.3 消费者选择问题12(,)yy y收入：利率：r1212x=(,)0,0Xc ccc21p 11pr 例：跨期消费选择12(1)r yy12(1)r cc预算约束：（未来值形式）Slide 119Ch 1.3 消费者选择问题1c2c借不到钱融资约束1y2y1c2c贷款利率rc存款利率rs 0是

37、MP的唯一解，而且对a可微。为该问题的拉格朗日函数，是满足kuhn-Tucker条件的解。那么有u （等式右边表示拉格朗日函数关于参数aj的偏导数，它在点（x(a)，(a)）处取值 ）(a)(x,a,)x(a).(a)aaML(x(a),(a)(x,a,)LSlide 146包络定理的含义n定理说明了如下情况：n当参数发生变化时（并且假设因此变化而使整个最优化问题被重新赋值），它对目标函数最优化值产生的总效应可用如下方式来推导：给拉格朗日函数求参数的偏导数，并接着可在原问题的一阶库恩-塔克条件的解处给该导数取值。n证明：略Slide 1471.4.1 间接效用函数xmax(x)nuR:stp

38、xy(p,)vy x(p,)y(x)up,xyB()u(p,)vy Slide 1481.4.1 间接效用函数u定义在消费集上的效用函数n直接效用函数 u(x)u定义在(p,y)上的函数n间接效用函数 v(p,y)当价格、收入变化时，消费者福利会发生怎样的变化？:nRRRSlide 1491.4.1 间接效用函数n性质1：在 上连续:nRR最大化定理约束函数是p,y的连续函数n性质2：是(p,y)的0次齐次函数(p,)vy(p,t)v ty0t Slide 1501.4.1 间接效用函数n性质3、4：是y的严格递增函数，p 的递减函数。n证明：构建拉格朗日函数n令 为最大化问题的解，则根据拉格

39、朗日定理得出存在一个 使得下式成立：易得 0)()(),(pxyxuxL),(*ypxx R*0*)(*)*,(iiipxxuxxL*Slide 151性质3、4n根据包络定理,n因此v(p,y)关于y是递增的.n同样根据包络定理有:n因此v(p,y)关于p是递减的.*(p,)(x,)0vyyyL*(p,)(x,)0iiivyxppL0iif x Slide 1521.4.1 间接效用函数n性质5：是(p,y)的拟凸函数11(p,)y22(p,)yt1212(p,)(p(1)p,(1)tytttyt y拟凸t1122(p,)max(p,),(p,)tvyvyvy12xxxtBB orB0,1t

40、 令Slide 1531.4.1 间接效用函数n假设不成立，那么12x,x,xtB butBB即1tpxty2(1-t)p x(1-t)y12tp x+(1-t)p xty12ttp+(1-t)p x=p xty与xtB矛盾11yxp22yxpttyxpSlide 154性质6:Roy恒等式：n消费者对物品i的马歇尔需求只是间接效用函数关于pi的偏导数与其关于y的偏导数的比率的负数。n根据包络定理，n根据性质3，有(p,)/(p,)(p,)/iivypxyvyy*)*,(),(iiixpxLpypv0),(*yypvSlide 1551.4.1 间接效用函数n例1212(,)u x xx x1

41、1(p,)()yxyp22(p,)()yxyp12(p,)()()yyvypp 12(p,)()yvyp p Slide 1561.4.2 支出函数n在给定价格(p1,p2)下，实现效用水平u，至少需要多少预算（支出）？ux1x2u(x1,x2)=u等支出线12122pexxpp11ep21ep*1epSlide 1571.4.2 支出函数n支出最小化问题(EMP)p xe hx*=x(p,)u(p,)eu h(p,)p x(p,)euu希克斯需求函数n+xminRuxuts)(.Slide 1581.4.2 支出函数n希克斯需求函数 xh(p,u)u在价格p下，实现效用水平u，支出最小的消费

42、束。Slide 1591x1ph00112(,)xp p u2/y p10 x=x(p,)yx1x2xh21x=x(p,)yhh10 x=x(p,)u2x0u1u1x1=x(p,)yy补偿需求曲线0112(,)x p p y01p02ph01112(,)xp p uSlide 160Hicksian demand functionn对于不同的无差异曲线，对于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲线，它们中的每一个的形状与位置将总是由潜在的偏好所决定。n在同一条希克斯需求曲线上的每一点，其给消费者带来的效用都相等。n显然，在给定价格体系p和效用水平U(x)之后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存在

43、，也不见得唯一，要使其具有存在性和唯一性，还须运用相应的假设。Slide 1611.4.2 支出函数n支出最小化问题解的存在性、唯一性n支出函数的性质Slide 162存在性定理n设消费集合X是向下有界的非空闭集，是连续的偏好，则对任何价格向量 及任何 ，都有 （即希克斯需求集合非空）。因此理性消费者的希克斯需求是存在的。0pXx),(*upxSlide 163唯一性定理n设消费集X是凸集,是连续的严格凸偏好,则对于符合条件e(p,x)e*(p)的任何价格体系p和消费向量 ,希克斯需求集合 中最多只有一种消费方案.因此,理性消费者的希克斯需求是唯一的.Xx),(*upxSlide 164存在性

44、定理的证明01,1,2.,and lim,llllleeElee(x)e是连续函数1x with=p x,(x)llllleuu(x)u是连续函数0(x)uu0eEE是闭集000 limxx,p xlle满足n+p x,x (x)Ee efor somewith uuRSlide 165续E有下界p xe p0,x00n+xRE是闭集2.1.存在最小值，即*xnR*p xp xx with(x)uuSlide 166唯一性定理的证明u(x)是严格拟凹函数假设x1,x2都是EMP的最优解u(xt)u pxt=px2=e存在kupkxte如果偏好满足假设1.2，那么EMP最优解唯一证明：12p x

45、p xp x(p,)eux,(x)uu满足，都有12(x)(x)uuuu而且，u(x)是连续函数与假设矛盾Slide 167支出函数e(p,u)的性质n如果u(.)是连续且严格递增的,那么由最小值函数定义的e(p,u)则是:n性质1：当效用水平取最低值时，支出函数值为0。偏好（严格）递增n+(x)xuRU(0)minup 00e n性质2：在 是连续函数(最大化定理)nRUSlide 1681.4.2.2 支出函数性质n性质3:对 ,是u的严格递增函数，而且无上界。n证明:假设非严格递增，令u1p tx122(x)uu tu满足记x1xh(p,u1),x2 xh(p,u2)与x1xh(p,u1

46、)矛盾0pSlide 1691.4.2.2 支出函数性质n性质3：证明（微分方法：包络定理）假设1.而且可微(0)uu u()可微(x)/0iux而且1,2.i u()连续，严格递增性*(x)uu2.I.0p0),(upxh0p uxu)(),(*upxxhSlide 1701.4.2.2 支出函数性质(x,)p x+(x)uuL根据拉格朗日定理，必然存在一个*，使得：由于 u(x)是递增的,所以*0根据包络定理：n性质4：支出函数是价格的递增函数。*(p,)(x,)0euuuL*(p,)(x,)(p,)hiiieuxuppL00*)(*)*,(iiixxupxxL0p0*)(ixxuSlid

47、e 1711.4.2.2 支出函数性质n性质5：价格的一次齐次函数(p,)(p,)e t uteutp xn+xminR(p,)e tup xn+xmintR(p,)teuSlide 1721.4.2.2 支出函数性质n性质6：是价格的凹函数1h1xx(p,)ut12pp(1)ptt2h2xx(p,)uthtxx(p,)u11p x1tp x12(p,)(1)(p,)teut eut(p,)eu证明：0,21pptxpxp222ttxptxtp21)1(Slide 1731.4.2.2 支出函数性质n性质7:Shephard lemman证明见性质4.*(p,)(x,)(p,)hiiieuxu

48、ppLSlide 1741.4.2.2 支出函数性质n例:求与 对应的支出函数 n解:求拉格朗日函数的一阶条件并消去 ,得到 ,于是可得支出函数1212(,)u x xx x1122pxpxn+xminR:st120ux x),(21221121xxuxpxpxxL),(),(21upxupxhh),(),(),(2211upxpupxpupehhSlide 1751.4.3 间接效用与支出函数的关系(p,)p x x(x)euuu满足 定义定义(p,)(x)x p xvyuy满足(p,)p x(p,)euy(p,)vyh(x(p,)uuu（1.17）（1.16）(p,)uvyp x(p,)=

49、yy1、y(p,)yeuhp x(p,)=uy2、(p,(p,)veuu(p,(p,)evyySlide 1761.4.3 间接效用与支出函数的关系n支出最小化要达到效用u，最小的支出是e(p,u)n效用最大化支出为y时效用最大取值为u 支出为y时总能实现效用u y 最小支出e(p,u)n效用最大化在支出为y的条件下能达到的最大效用是un支出最小化实现效用u的最小开支取值为e(p,u)当开支取值为e时总能实现u 开支取值为e(p,u)时带来的效用v(p,y)uSlide 1771.4.3 间接效用与支出函数的关系n定理1.8：假设 连续且严格递增，如果 和 分别是消费者的间接效用函数和支出函数

50、，那么，对 有：u u(x)u(p,)vy(p,)eu0y uU(p,(p,)veuu(p,(p,)evyy0pSlide 1781.4.3 间接效用与支出函数的关系n(p,(p,)evyy(p,)euy假设(p,)uvyu设 0 e()连续性uu满足，使得(p,)euy:y(p,)vyu (1.17)这是不可能的(p,)(p,)vyvyuu证明：(1.16):(p,(p,)evyyv()是y的严格递增函数uypvypvu),(),(Slide 1791.4.3 间接效用与支出函数的关系n(p,(p,)veuu0(p,)vyu(p,)pxeu (x)uu(x(p,)uyu即（1.17）:(p,

51、(p,)veuu假设(p,)0yeu(p,)vyu证明：(0)uuv()连续0y满足，使得这是不可能的yypxpupey),(),(Slide 1801.4.3 间接效用与支出函数的关系n定理1.9：马歇尔需求与希克斯需求的对偶性u在假设1.2下，对于所有u有:u hx(p,)x(p,(p,)ueuhx(p,)x(p,(p,)yvy0p0y uUSlide 1811.4.3 间接效用与支出函数的关系n hx(p,)x(p,(p,)yvy000 xx(p,)y000(p,)vyu00(x)uu000pxy0000(p,(p,)evyy000(p,)euy00(x)uu000pxy0h0 xx(p

52、,)u证明：定理1.8Slide 182对偶性的内涵n 从表面上看,效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化的问题,支出最小化的希克斯需求没有考虑效用最大化的问题,但事实并非如此.n马歇尔需求与希克斯需求是互相一致的,或者说,效用最大化蕴涵着支出最小化,支出最小化也蕴涵着效用最大化.n因此,消费最优选择不仅可以看做一个选择与预算线相切的最高无差异曲线的问题,也可以看做是一个选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线的问题.1.5 需求函数性质Slide 184Relative prices and real income.nrelative price prices the good by som

53、e other good,not money.nreal income is the maximum number of units the consumer can consume if he spends all his money income.jipp/jpy/Slide 1851.5 需求函数的性质n定理1.10:0次齐次和预算平衡u在假设1.2下 x(p,y)是(p,y)的0次齐次函数nx(tp,ty)x(p,y)for all t0满足预算平衡：p x(p,y)=ySlide 1861.5 需求函数的性质n相对价格形式令ux(p,y)=x(tp,ty)1ntp相对价格：实际收入：

54、对n种商品中每一种商品的需求只依存于n-1个相对价格与消费者的实际收入。/ijpp/jy p),1,(11nnnnpyppppxSlide 1871.5.2 收入效应与替代效应n希克斯分解u替代效应(SE)：在保持消费者最大化效用不变前提下，相对价格变化所引起的需求量的变化。u收入效应(IE)：总效应(TE)与替代效应的差。TE=SE+IESlide 1881x1ph00112(,)xp p u2/y p10 x=x(p,)yx1x2xh21x=x(p,)yhh10 x=x(p,)u2x0u1u1x0112(,)x p p y01p11pTEIESE1.5.2 收入效应与替代效应Slide 1

55、891.5.2 收入效应与替代效应*(p,)(p,)hiijjxyxuppn Slutsky 方程(p,)(p,)iixyxyy收入效应替代效应Slide 190Slutsky 方程h*i(p,)(p,(p,)ixuxeu*(p,)hijxup*(p,)=(p,(p,)euevyy*(x(p,)(p,)uuyvy*(p,(p,)(p,)ijxeueuyp*(p,(p,)ijxeup对偶性记：h*hjj(p,)(p,(,)(p,)jxuxv p yxy对偶性Shepard 引理*(p,)(p,)hjjeuxupSlide 191Slutsky 方程*(p,)(p,)(p,)(p,)hiiijjj

56、xuxyxyxyppy*(p,)(p,)hiijjxyxupp(p,)(p,)ijxyxyySlide 1921.5.2 收入效应与替代效应(p,)(p,)hiieuxup*2*2(p,)(p,)hiiixueupp(p,)eu 是 p 的凹函数(支出函数性质6)0n定理1-12：负的自替代效应*(p,)0hiixupShepard 引理Slide 1931.5.2 收入效应与替代效应*(p,)(p,)hiijjxyxupp(p,)(p,)iixyxyynNormal goodsninferior goodsnGiffen Goods00000|0|Slide 1941.5.2 收入效应与替代

57、效应(p,)(p,)iixyxyynNormal goodsninferior goodsnGiffen Goods000000ihiiipupxpypx*),(),(Slide 195需求规律n定理1-13:正常商品自身价格的下降将导致需求的增加。如果自身价格下降导致需求减少，那么该商品必定是劣质商品。Slide 196Income and Substitution effects:Normal GoodFood(units per month)OClothing(units permonth)RF1SC1AU1The income effect,EF2,(from D to B)keeps

58、 relativeprices constant but increases purchasing power.Income EffectC2F2TU2BWhen the price of food falls,consumption increases by F1F2 as the consumer moves from A to B.ETotal EffectSubstitutionEffectDThe substitution effect,F1E,(from point A to D),changes the relative prices but keeps real income(

59、satisfaction)constant.Slide 197Food(units per month)ORClothing(units permonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotal EffectSince food is an inferior good,theincome effect is negative.However,the substitution effectis larger than the income effect.BIncome EffectU2Income and Substitution effects:Inferior

60、GoodSlide 1981.5.2 收入效应与替代效应n定理1-14:对称性替代项*2*2*(p,)(p,)(p,)(p,)hhjijijjiixuxueueupp pppp e(p,u)二次连续可微(p,)(p,)hiieuxupShepard 引理Slide 1991.5.2 收入效应与替代效应n定理1.15：负半定替代矩阵(p,)u1111(,)(,)(,)(,)hhnhhnnnxp uxp uppxp uxp uppSlide 2001.5.2 收入效应与替代效应1111(,)(,)(,)(,)hhnhhnnnxp uxp uppxp uxp upp222112221(,)(,)(,

61、)(,)nnnep uep upppep uep uppp(p,)eu是 p 的凹函数 负半定Slide 2011.5.2 收入效应与替代效应n定理1.16：负半定对称斯勒茨基矩阵11111111(p,)(p,)(,)(p,)(p,)(p,)(,)(p,)(,)(p,)(p,)(p,)nnnnnnnnxyxyxp yxyxyxypypyxp yxyxp yxyxyxypypys(p,)y Slide 202Applicationn定理1-10和1-16可用于对理论或实证模型进行检验.n消费者需求满足齐次性和预算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩阵必须是对称的和负半定的要求,为实际估算马歇尔需求方程组

62、中参数的设定规定了一系列严格的限制(当然,在这种情况下,消费者必须是理性的价格接受者).Slide 2031.5.3 弹性分析n收入弹性n价格弹性n收入份额(p,)(p,)iiixyyyxy(p,)(p,)jiijjipxypxyyypxpsiii),(.ts1,01niiissSlide 204消费者需求的加总n定理1-17:设x(p,y)是消费者的马歇尔需求,则如下关系必须在收入份额,需求的价格弹性与收入弹性间成立:n1.Engel aggregation:它表明收入份额加权的收入弹性之和为1.n2.Cournot aggregation:它表明加权的自身需求价格弹性与交叉需求价格弹性总可

63、以某种特殊方式加总.11niiis1njiijissSlide 2051(p,)niiip xyy1(p,)1niiixypy1(p,)(p,)1(p,)niiiiixyxyypyxyy11niiis恩格尔加总11niiisSlide 206古诺加总1niijjiss 1(p,)niiip xyy(p,)0nijiijjxyxpp(p,)nijiijjxyxppnnjjjiiiiijijijjjip xppxp xxpyypypx1njiijissSlide 207To sum upn定理1.10-1.17共同给出了一个有关效用最大化行为的逻辑含义的说明:齐次性告诉我们需求必将对等比例的价格与

64、收入的同时变动做出反应,预算平衡性则要求需求耗尽消费者的收入.斯勒茨基方程告诉我们,针对一般性的价格变化,需求的变化数量和方向将怎样(它还考察了那些不可观测到的需求变化是如何具体影响需求总量,从而使需求量表现为我们最终观测到的实际变化).最后,加总关系提供了有关需求量如何在整个需求函数方程组中被“放到一起”的技巧.Slide 208作业n29、38、45、46、50、54、60、62、63Ch 2 消费者理论专题Slide 210数学基础n超平面（hyperplane）a hyperplane is any codimension-1 vector subspace of a vector s

65、pace.Equivalently,a hyperplane V in a vector space W is any subspace such that W/V is one-dimensional.Slide 211欧拉定理n当且仅当如下式子成立时，f(x)是k次齐次性的:xxxxfxkfinii1)()(Slide 212Ch 2n对偶性n可积性n显示偏好n不确定性Slide 2132.1 对偶性深入分析偏好EMP(p,)euUMP(p,)vyx(p,(p,)euhx(p,(p,)vySlide 2142.1.1 支出与偏好n u它可能是、也可能不是一个支出函数。u满足什么条件时是支出

66、函数？u从消费者的支出行为能否还原其偏好关系？u在前面一章，我们的支出函数构造思路是：效用函数EMP支出函数u而在本章我们的思路正相反：支出函数效用函数(p,):Eu+nRRRSlide 215定理1.7：支出函数的性质1.在 连续2.对 ,是u 的严格递增函数，而且无上界。3.是价格的递增函数。4.是价格的凹函数5.是价格的一次齐次函数nUR0pSlide 216命题1：（本节所要说明的问题）n如果E(p,u)满足定理1.7：1-5性质，那么它就是某一偏好的支出函数。换言之，与此支出函数相对应的效用函数必然存在。u等价提法：能够构造一个效用函数u()，使得E(p,u)正好是该效用函数下的支出函数。u思路：构造一个函数证明它是效用函数 Slide 2172.1.1 支出与偏好偏好EMP(p,)euUMP(p,)vy根据支出行为，能够恢复其偏好关系Slide 218 RXE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)表示的是这样的消费组合集合，它在任何价格水平下都能满足pxE(p,u0)(0uASlide 219RXE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*Slide