重力加速度的测量

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1、 重力加速度的测量 凌晓良 20051001059 刘华 20051001062前言重力加速度g 是一个反映地球引力强弱的地球物理常数，它与地球上各个地区的经纬度、海拔高度及地下资源的分布有关（两极的g 最大，赤道附近的g 最小，两者相差约1/300）。重力加速度的测定在理论、生产和科学研究中都具有重要意义。选择的研究课题1、测定本地区重力加速度g 值，测量结果至少有4 位有效数字，并要求百分误差小于0.1。2、试比较各种实验测量方法的优缺点。讨论各种实验测量方法中，哪些量可测得精确？哪些量不易测准？并说明如何减小或消除影响精确测量的各种因素等。选择的仪器单摆、三线摆、J-LD23 型复摆实验

2、仪、自由落体测定仪、HPCI-1 物理实验微机辅助教学系统、钢球、重锤、米尺、游标卡尺、光电门、霍尔开关、数字毫秒计、杨氏模量测量仪等。设计方案举例：测量重力加速度的方法很多，有单摆、开特摆、三线摆、气垫导轨法和自由落体仪法等等，它们各有特点。下面例举几种比较典型的方案。复摆法1原理：如图1，在重力作用下能绕固定水平转轴在竖直面内自由摆动的刚体称为复摆（物理摆）。设刚体的质量为m，重心G 到转轴O 的距离为h，绕O 轴的转动惯量为I，当OG 连线与铅垂线的夹角为 时，刚体受到的重力矩： （1）式中的负号表示力矩的方向与角位移的方向相反。当摆角 5时， ，此时： （2）于是由刚体转动定律可得：

3、（3）令,可得复摆的动力学方程： （4）其摆动周期： （5）若令，则复摆的周期公式可改写为： （6）它与单摆的周期公式相同，因而又把L 称为复摆的等值单摆长（即等效摆长）。可见，只要能测出复摆的周期T 及其等效摆长L 就可求出重力加速度g： （7）复摆的周期可以测得非常精确，但直接测量L 相当困难，一是重心G 的位置不易确定，h 难以精确测定；二是复摆不可能做成密度均匀的理想形状，其I 难以精确计算。不过，可以利用复摆的共轭特性来间接测量L 。如图2，复摆的共轭特性是指在重心G 的两旁总可以找到两个共轭点O和O（与重心三点共线），当两点之间的距离等于等效摆长L 时，以O 为悬点的摆动周期和以O

4、为悬点的摆动周期正好相等。证明如下：设复摆对重心G 轴的转动惯量为IG，根据平行轴定理可得复摆对转轴O到重心的距离为h）的转动惯量： （8）复摆以O 为悬点的等效摆长： （9）同理可以求得复摆以O为悬点（到重心的距离为L-h）的等效摆长： （10） 将（9）式变形有，于是由（10）式可得L = L 。可见，以O为悬点的等效摆长与以O 为悬点的等效摆长相同，因而它们的摆动周期也相同，都等于： （11）根据复摆的这一共轭特性，只要能找到T = T 的两个点O 和O，测出其间距OO 就可得到与复摆周期T 相对应的等效摆长L 。2方案实施：（1）仪器：J-LD23 型复摆实验仪（使用见讲义P18），数

5、字毫秒计，光电门。（2）操作：按照h 从小到大或从大到小的顺序，先测出它在某个小孔处的周期T，并从摆杆上直接读出悬点到摆杆中心的距h； 找到第一步时的悬点（小孔）关于摆杆重点的对称点(小孔)，然后测出期摆动周期T 重复、 步，测10 个对称小孔。填表 表1 h(cm)T（s）T （s）12.002.8082.70024.001.9921.95636.001.6631.64348.001.4871.476510.001.3811.375612.001.3161.306714.001.2781.264816.001.2621.255918.001.2471.2461020.001.2491.249

6、1122.001.2511.2551224.001.2611.2611326.001.2741.2721428.001.2911.288（3）处理在坐标纸上绘制周期T 与悬点位置h 之间的关系曲线（如图3）；在坐标图上作一条T=Ti 的直线MN，它与Th 曲线有a、b、c、d 四个交点（其中a 与c 共轭、b 与d 共轭）； 由交点坐标计算与复摆周期Ti 相对应的等效摆长。由（14）算出根据济南地区重力加速的公认值g = 9.785m/ s 2 公认值，求出相对不确定度g = E g = 0.009 9.697 = 0.09(m/ s2 )g = g g = 9.70 0.09(m/ s2 )附：t ,h 图结论：此法测量误差太大，不能符合设计要求，可能的原因有：1 在实验中，复摆的摆动不能很好的控制在同一平面摆动；2 实验前没有很好的调节复摆对称。3复摆摆动可能幅度过大。