二元函数的泰勒公式

《二元函数的泰勒公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二元函数的泰勒公式（68页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、10.10.4 4 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外计算外,又为建立极值判别准则作好了准又为建立极值判别准则作好了准备备.三、极值问题三、极值问题 一、高阶偏导数一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式一、高阶偏导数一、高阶偏导数 (,)(,),(,)xyzf x yfx yfx y 由于的偏导数一般仍由于的偏导数一般仍,x y然然是是的的函函数数如果它们关于如果它们关于 x 与与 y 的偏导数也的偏导数也 导数有如下

2、四种形式导数有如下四种形式:22(,),xxzzfx yxxx 2(,),x yzzfx yx yyx 存在存在,说明说明f具有具有二阶偏导数二阶偏导数二元函数的二阶偏二元函数的二阶偏2(,),yxzzfx yy xxy 22(,).y yzzfx yyyy 类似地可以定义更高阶的偏导数类似地可以定义更高阶的偏导数,例如例如 (,)zf x y 的三阶偏导数共有八种情形的三阶偏导数共有八种情形:3323(,),xzzfx yxxx 2222(,),x yzzfx yyxxy 23(,),(,),(,),xyxxyyfx yfx yfx y22(,),(,),(,).yxyy xyxfx yfx

3、 yfx y解解 由于由于 22e,2e,xyxyzzxy例例1 322e.xyzzy x 求函数的所有二阶偏导数和求函数的所有二阶偏导数和因此有因此有2222(e)e;xyxyzxx 222(e)2e;xyxyzx yy 222(2e)2e;xyxyzy xx 2222(2e)4e;xyxyzyy 32222(2e)2e.xyxyzzxy xxy x 数为数为 222222 22,()zyxyxxxyxy 例例2 arctan.yzx 求函数的所有二阶偏导数求函数的所有二阶偏导数2222222 2,()zyxyxyyxyxy 2222222 2,()zxxyy xxxyxy 222222 2

4、2.()zxxyyyxyxy 注意注意 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 22,zzxyy x 数为数为混合偏导数混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数成立，例如函数22222222,0,(,)0,0.xyxyxyxyf x yxy 它的一阶偏导数为它的一阶偏导数为 xyyx即即先先对对、后后对对与与先先对对、后后对对的的两两个个二二阶阶偏偏导导数相等数相等(称这种既有关于称这种既有关于 x,又有关于又有关于 y 的高阶偏导的高阶偏导42242222 222(4),0,()(,)0,0;xy xx yyxyxyfx yxy 42242222

5、 222(4),0,()(,)0,0.yx xx yyxyxyfx yxy 的混合偏导数的混合偏导数:00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy 00(,0)(0,0)(0,0)limlim1.yyyxxxfxfxfxx 由此看到由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此为此 式式.由于由于 0(,)(,)(,)lim,xxf xx yf x yfx yx 因此有因此有0000000(,)(,)(,)limxxxyyfxyyfxyfxyy 0

6、0000(,)(,)limxf xx yf xyx 000000(,)(,)1limlimyxf xx yyf xyyyx00001limlim(,)yxf xx yyxy 000000(,)(,)(,);(1)f xyyf xx yf xy 类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等.下述定理给出了使下述定理给出了使(1)与与(2)相等的一个充分条件相等的一个充分条件 连续，则连续，则 0000001(,)limlim(,)yxxyfxyf xx yyxy 000000(,)(,)(,).(2)f xx yf xyyf xy 证证 令令 00000000(,)(,)(,)(,)(

7、,),Fxyf xx yyf xx yf xyyf xy 00()(,)(,).xf x yyf x y 于是有于是有 00(,)()().Fxyxxx (4)0000(,)(,).xyyxfxyfxy(3)01(,),xfxx yy 又又作作为为的的可可导导函函数数 再再使使用用微微分分000102()()(,).x yxxxfxx yyxy 由由(4)则有则有 010212(,)(,)(0,1).xyFxyfxx yyxy (5)如果令如果令0001()()()xxxxxx010010(,)(,).xxfxx yyfxx yx00()(,)(,),xf xx yf xy 则有则有 00(,

8、)()().Fxyyyy 用前面相同的方法用前面相同的方法,又可得到又可得到 030434(,)(,)(0,1).yxFxyfxx yyxy (6)010203041234(,)(,)(0,1).(7)xyyxfxx yyfxx yy 在且相等，这就得到所要证明的在且相等，这就得到所要证明的(3)式式 合偏导数都与求导顺序无关合偏导数都与求导顺序无关 注注2 这个定理对这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立元函数的混合偏导数也成立.例例 (,),(,),(,),xyzxzyyzxfx y zfx y zfx y z(,)(,)xyyxfx yfx y与与00(,)xy由定理假设由定理假设 都

9、在点都在点 连连 续续,故当故当 0,0 xy 时时,(7)式两边极限都存式两边极限都存 如三元函数如三元函数 (,)f x y z的如下六个三阶混合偏导数的如下六个三阶混合偏导数 (,),(,),(,)yxzzx yzyxfx y zfx y zfx y z若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外除特别指出外,一般一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数 设设 (,),(,),(,).zf x yxs tys t 数数 (,)

10、,(,),zfs ts ts t 对对于于同样存在二阶连续同样存在二阶连续 偏导数偏导数.具体计算如下具体计算如下:,zzxzysxsys;zzxzytxtyt,zzzzs tstxy显然与仍是的复合函数 其中是显然与仍是的复合函数 其中是,.xxyyx ys tzstst的函数是的函数 继续求的函数是的函数 继续求22zzxzxsxsxssszyzysysyss 2222222222zxzyxzxsxyssxxszxzyyzyyxsssyys 222222222222.zxzxysxyssxzyzxzysxyyss 22222222222222;zzxzxytxytttxzyzxzytxyy

11、tt同理可得同理可得 22222222;zzxxzxyxyststxysttsxzyyzxzystxstysty 22.zztsst 222(,),.xzzzfxyxyx 设求设求例例3 改写成如下形式改写成如下形式:(,),.xzf u vux vy由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 1.zfufvffyxuxvxuv,ffu vx yuv注意 这里仍是以为中间变量,为注意 这里仍是以为中间变量,为自变量的复合函数所以自变量的复合函数所以 221zffxuyvx 2222221fufvfufvxu vxyv uxxuv 22222221,fffyu vuyv 21zffxyyuyv

12、22221fufvfyu vyvuy 2221fufvyv uyyv 2223221.xfxffu vvyyvy 二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉与一元函数的拉 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些也有相同的公式，只是形式上更复杂一些 先介绍凸区域先介绍凸区域 若区域若区域 D 上任意两点的连线都含于上任意两点的连线都含于 D,则称则称 D 为凸区域为凸区域(图图10.3-6).这就是说这就是说,若若 D 为为 一切一切 (01),恒有恒有121121(),().P xxxyyyD 上连续上连续,在在 D 的

13、所有内点都可微的所有内点都可微,则对则对 D 内任意两内任意两 定理定理 8(中值定理中值定理)设设 (,)f x y2RD 在凸区域在凸区域 图图 10.3-6 凸凸 1P2PPD D 非凸非凸 PD1P2PD 的一元连续函数的一元连续函数,且在且在(0,1)内可微内可微.根据一元函数根据一元函数 其中其中 中值定理，中值定理，(01)，使得，使得 ()(,)(,).xyfah bk hfah bk k (10)(9),(10)两式即得所要证明的两式即得所要证明的(8)式式 注注 若若 D 为严格为严格凸区域，即凸区域，即 111222(,),(,)P xyP xy ,(01)D ，都有，都

14、有 121121(),()int,P xxxyyyD 式成立式成立(为什么为什么?)公式公式(8)也称为二元函数也称为二元函数(在凸域上在凸域上)的中值公式的中值公式.它与定理它与定理17.3 的中值公式的中值公式(12)相比较相比较,差别在于这差别在于这 0,xyff 请读者作为练习自行证明此推论请读者作为练习自行证明此推论 23 2122(13)(123).分析分析 将上式改写成将上式改写成 23 212(13)(123),2 21(,)21f x yxxy 例例4 对对 应用微分中值定应用微分中值定 理，证明存在某个理，证明存在某个 (01),使使得得12(1,0)(0,1)PP与与之间

15、应用微分中值定理之间应用微分中值定理计算偏导数计算偏导数:23 223 2,.(21)(21)xyxyxffxxyxxy (0,1)1(0,1)(1)xyff 221xy 时时2210.xxy 证证 首先首先,当当 ,有有 再再 11(1,0)(0,1)2ff23 2(1)12(1)1 f000(,)P xy的某邻域的某邻域定理定理 9 (泰勒定理泰勒定理)若若 在点在点 内任一点内任一点 00(,),(0,1),xh yk 使使得得0()U P0()U P内有直到内有直到 阶的连续偏导数阶的连续偏导数,则对则对 1n23 2(1)2(1)1 23 2(13)(123).1001(,),(1)

16、!nnRhkf xh yknxy 000000(,)(,)(,)f xh ykf xyhkf xyxy 001(,),(11)!nnhkf xyRnxy2001(,)2!hkf xyxy其中其中00(,)mhkf xyxy 证证 类似于定理类似于定理8 的证明，先引入辅助函数的证明，先引入辅助函数 00()(,).tf xth ytk (11)式称为式称为 0fP在在点点的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,并称其中并称其中 00(,)f xy0m 而首项而首项 也可看作也可看作 的情形的情形.000C(,)mmiim imim iif xyh kxy (1,2,),mn 件，于是有件，于是有()0

17、0()(,)mmthkf xth ytkxy由假设，由假设，()0,1t 在在上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则应用复合求导法则,可求得可求得 ()t 的各阶导数如下的各阶导数如下:(0)(0)(1)(0)1!2!(12)()(1)(0)()(01).!(1)!nnnn (0,1,1),mn()00(0)(,)(0,1,),(13)mmhkf xymnxy 1(1)00()(,).(14)nnhkf xh ykxy 公式公式(11)将将(13),(14)两式代入两式代入(12)式式,就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 时的特殊情形时的特殊情形.此时的此时的 n

18、阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 (,),(1,4)1,yf x yxf 则仅需则仅需 0()fU P在在内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可,000001(,)(,)().!pnnpf xh ykhkf xyopxy (15)1(,),(1,4)4,yxxfx yyxf (,)ln,(1,4)0,yyyfx yxxf222(,)(1),(1,4)12,yxxfx yy yxf 11(,)ln,(1,4)1,yyxyxyfx yxyxxf222(,)(ln),(1,4)0.yyyfx yxxf将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式(15)，即有，即有 2214(1)6(1)(1

19、)(4)().yxxxxyo 3.9621.0814 0.086 0.080.08 0.041.3552.与与1、例例7 的结果的结果(1.32)相比较，这是更接近于真相比较，这是更接近于真 微分近似相当于现在的一阶泰勒公式微分近似相当于现在的一阶泰勒公式三、极值问题三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用用,这里仍以二元函数为例进行讨论这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义有定义.若若 0(,)(),P x yU P 满满足足00()()()()f Pf Pf Pf P 或或，极大值点、极小值点统称极大值点、极小值点统称极值点极值点

20、 的的极大极大(或极小或极小)值点值点.极大值、极小值统称极大值、极小值统称极值极值;极极 注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点点,是是 g 的极大值点的极大值点,但不是但不是 h 的极值点这是因的极值点这是因 同极值同极值;00(,)f xyyy 必定在必定在也取相同极值也取相同极值.于是于是 得到二元函数取极值的必要条件如下得到二元函数取极值的必要条件如下:定理定理 10 (极值的必要条件极值的必要条件)若函数若函数 (,)f x y在点在点 值值(,(0,0,0).zxy 的的图图像像是是一一马马鞍鞍面面为为其其鞍鞍点点f00(,)xy注注

21、由定义可见由定义可见,若若 在点在点取极值取极值,则当固则当固 000(,)P xy0P存在偏导数存在偏导数,且在且在取得极值取得极值,则必有则必有 的的稳定点稳定点.上述定理指出上述定理指出:偏导数存在时偏导数存在时,极值点必是稳定点极值点必是稳定点.但要注意但要注意:稳定点并不都是极值点稳定点并不都是极值点在例在例 6 中中之所之所 以只讨论原点以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数的惟一就是因为原点是那三个函数的惟一 稳定点；而对于函数稳定点；而对于函数 h,原点虽为其稳定点原点虽为其稳定点,但却不但却不 是它的极值点是它的极值点.与一元函数的情形相同与一元函数的情形相同,多元函数在偏导

22、数不存在多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数,但但 (0,0)0.f 显显然然是是它它的的极极小小值值000000()()(),()()xxx yxxx yfyxy yyxy yPfPfPffHPfPfPff(17)定点定点,则有如下结论则有如下结论:000000()(),()(),(18)()().fffHPf PHPf PHPf P 为正定矩阵为极小值为正定矩阵为极小值为负定矩阵为极大值为负定矩阵为极大值为不定矩阵不是极值为不定矩阵不是极值00()0,()0,xyfPfP 于是有于是有 f0P证证 由由 在在的二阶泰勒公式，并注意到条件的二阶泰勒公式，并注意到条件00000

23、0(,)(,)(,)(,)f x yf xyf xx yyf xy T2201(,)()(,)().2fxy HPxyoxy 二次型二次型 T0(,)(,)()(,)0.fQxyxy HPxy 连续函数连续函数(仍为一正定二次型仍为一正定二次型)T022(,)(,)(,)()(,),fQxyQ u vu v HPu vxy 0()fHPf首先证明首先证明:当当 正定时，正定时，在点在点 取得极小取得极小 0P值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何 (,)(0,0),xy 恒使恒使 22(,)2().Qxyqxy 22220022(,)(,)()()()(1)0,f x yf xyqxyo

24、xyxyqo 极大值极大值22(,)1,u vuv 恒恒满满足足(,)Q u v由于由于 因此因此在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值 20q ，于是有，于是有f00(,)xy即即在点在点 取得极小值取得极小值00,xxtxyyty 00(,)(,)()0f x yf xtx ytytt 在在亦取亦取(),xytfxfy 则沿着过则沿着过 0P的任何直线的任何直线 0()fHPf最后证明最后证明:当当 为为不定矩阵时不定矩阵时,在点在点 0P不不 22()2,x xx yy ytfxfxyfy T0(0)(,)()(,),fxy HPxy 极小值极小值,则将导致则将导致 0()f

25、HP必须是正半定的必须是正半定的.也就是也就是 的或负半定的，这与假设相矛盾的或负半定的，这与假设相矛盾0()fHPf这表明这表明 必须是负半定的必须是负半定的.同理同理,倘若倘若 取取 系，定理系，定理11又可写成如下比较实用的形式又可写成如下比较实用的形式 根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 若若f如定理如定理11 所设，则有如下结论所设，则有如下结论:200()0,()()0,i)xxxxy yx yfPfffPf 当当时时在在200()0,(ii)()()0,xxxxy yx yfPfffPf 当当时时在在200()()0,;(iii)

26、xxy yx yfffPfP 当当时时在在不不取取极极值值200()()0(i,v)xxy yx yfffPfP 当当时时 不不能能肯肯定定在在是否取得极值是否取得极值 解解 由方程组由方程组 例例7 22(,)56106.f x yxyxy 求求的的极极值值取得极小值取得极小值;0P取得极大值取得极大值;0P260,10100 xyfxfy 00()20,()0,xxx yfPfP 200()10,()()200,y yxxy yx yfPfffP 0(3,1).fP 解出的稳定点由于解出的稳定点由于例例8 讨论讨论 2(,)f x yxxy 是否存在极值是否存在极值 得极值得极值?2(0,

27、0)()0,xxy yx yfff2(0,0)()10 xxy yx yfff f因因，故原点不是，故原点不是 的的 ff极值点极值点.又因又因 处处可微，所以处处可微，所以 没有极值点没有极值点.解解 容易验证原点是容易验证原点是 f的稳定点的稳定点,且且 故由定理故由定理11 无法判断无法判断 f在原点是否取得极值在原点是否取得极值 但因为在原点的任意小邻域内但因为在原点的任意小邻域内,当当 222xyx 时时 由极值定义知道由极值定义知道,极值只是函数的一个极值只是函数的一个局部性概念局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法方法 与一

28、元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳 定点、无偏导数点处的函数值定点、无偏导数点处的函数值,还有在区域边界上还有在区域边界上 的这类特殊值；然后比较这些值的这类特殊值；然后比较这些值,其中最大其中最大(小小)者者 即为问题所求的最大即为问题所求的最大(小小)值值 以以 f(0,0)=0 不是极值不是极值(参见图参见图10.3-7)例例10 证明证明:圆的所有外切三角形中圆的所有外切三角形中,以正三角形的以正三角形的 面积为最小面积为最小证证 如图如图10.3-8 所示所示,设圆的半径为设圆的半径为 a,任一外切三角任一外切三角 图图10.3-8图

29、图10.3-72yx22yxxyO ABCa式为式为 2tantantan222Sa2tantantan,222a 2221secsec0,222Sa 其中其中 ,(0,).为求得稳定点为求得稳定点,令令 ,2.ABC 其其中中易易知知的的面面积积表表达达形为形为 ABC,三切点处的半径相夹的中心角分别为三切点处的半径相夹的中心角分别为 ,2221secsec0.222Sa 在定义域内在定义域内,上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解:22,2().33r 的二阶偏导数的二阶偏导数:2224 3,2 3,4 3.SaSaSa 240,360,SSSSaS 由由于于因因此此在在此稳定点处取得极

30、小值此稳定点处取得极小值 因为因为 ,面积函数面积函数 S 在定义域中处处存在偏在定义域中处处存在偏正三角形的面积为最小正三角形的面积为最小解解(i)求稳定点：求稳定点：解方程组解方程组 2(,)3420,(,)220,xyfx yxxyfx yxy 导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以 642(,),22fxHx y 02(2 3,2 3)(),22fH 不定不定因此因此 (0,0)0,(2 3,2 3).ff 为为极极小小值值不不是是极极值值得稳定点得稳定点 (0,0)(2 3,2 3).和和(ii)求极值：求极值：由于由于(,)f x

31、y的黑赛矩阵为的黑赛矩阵为 D 2x 时时,(iii)求在求在 上的特殊值上的特殊值:当当 2(2,)4,2,2,fyyyy 2(2,)164,2,2,fyyyy 32(,2)244,2,2,f xxxxx 22d82(,2)34430,3d3f xxxxx由由当当2x 时时，当当2y 时时，2y 当当时时,32(,2)244,2,2,f xxxxx 算出算出 268(,2)(2,2)12.327ff与两端值与两端值(2,2)4,f (2,2)28;f 单调增单调增,算出两端值算出两端值(,)(,)max(,)(2,2)28,min(,)(2,2)4.x yDx yDf x yff x yf

32、图形图形,上面的讨论都能在图中清晰地反映出来上面的讨论都能在图中清晰地反映出来 一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！注注 本例中的本例中的 fD在在上虽然只有惟一极值上虽然只有惟一极值,且为极且为极 小值，但它并不因此成为小值，但它并不因此成为 fD在在上的最小值这上的最小值这 图图 10.3-9-2-1012-2-1012-100102030 x y z 例例12 (最小二乘法问题最小二乘法问题)设通过观察或实验得到一设通过观察或实验得到一 上，即大体上可用直线上，即大体上可用直线 方程来反映变量方程来反映变量 x 与与 y 之间的对应关系之间的对

33、应关系(参见参见 图图10.3-10).现要确定一现要确定一 直线直线,使得与这使得与这 n 个点个点 的偏差平方之和为最小的偏差平方之和为最小(最小二乘方最小二乘方)(,)iix yiiaxbyyaxb xyO图图 10.3-10 解解 设所求直线方程为设所求直线方程为 ,yaxb为此令为此令 112()0,2()0.naiiiinbiiifx axbyfaxby把这组关于把这组关于 a,b 的线性方程加以整理并求解，得的线性方程加以整理并求解，得211111,;nnniiiiiiinniiiiaxbxx yaxbny1112211,nnniiiiiiinniiiinx yxyanxx 21

34、1112211.nnnniiiiiiiiinniiiixyx yxbnxx 2120,naaiiAfx12,nabiiBfx2;bbCfn22211440.nniiiiDACBnxx11,(,)(,),f a ba b从从而而根根据据定定理理在在点点取取得得极极小小值值并由实际意义可知这极小值即为最小值并由实际意义可知这极小值即为最小值.复习思考题 1.试比较本节的中值公式试比较本节的中值公式(8)与与1、里的中值公式里的中值公式 (12)，两者的条件与结论有何区别？，两者的条件与结论有何区别？2.对于函数对于函数 (,),zf x y 下列记号下列记号 2222d,d,(d),d()zzzz各表示什么意义？各表示什么意义？什么不可以推广到多元函数中来？什么不可以推广到多元函数中来？