泛函分析在控制工程的应用

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1、泛函分析在控制工程中的应用作者： 景苏银学号： 0211443单位：兰州交通大学日期：2011.12.1泛函分析在控制工程中的应用【摘 要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量 空间上的函数，算子和极限理论， 通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问 题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何 及数学分析。【关键词】泛函分析控制工程 控制 优化泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也 是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空 间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技术等许多专业领域。泛函分析( Functio

2、nal Analysis )是现代数学的一个分支，隶属于分析 学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换(如傅立 叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。 使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。 巴拿赫( Stefan Banach )是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰 拉( Vito Volterra )对泛函分析的广泛应用有重要贡献。Functional analysis in water conservancy of applicationAbstract： This article through the func

3、tional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as

4、infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。Fun cti onal An alysis (Fun cti onal An alysis) is the moder n a bra nch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such

5、as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector (Stefa n Ban ach) is fun cti onal an alysis of

6、 the theory of the primary foun ders, and mathematicia n and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide applicati on of fun cti onal an alysis is an importa nt con tributi on.Fun cti onal an alysis is the 1930 s of the formati on of the mathematics bra nch. From the variati onal problem, in

7、 tegral equati on and theoretical physics research develops. Fun cti onal an alysis in mathematical physics equati on, probability theory, the calculatio n of mathematics bra nch all has the applicati on, is also a degree of freedom with an infin ite physical system mathematical tools. Main content

8、have topological space, etc. It is widely used in physics and mecha nics and engin eer ing skills and Art etc many professi onal fields.正文】1 ：理论依据泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函 空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可 以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构， 泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有：（i）度量（距离）空间。对 任意两抽象元引入距离

9、，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一 特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时 带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们 满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分 析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此 可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间） 绝大部分 是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间 的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。 每个元（常称向量）配有番薯1x11

10、 （是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数 后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量 空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是 否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性 赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、 逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象， 内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、 两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。 使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家

11、和工程师对此尤感兴趣。由于内积 可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相 像的应数下述Hilbert空间；（vi） Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰 富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的 力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii） Sobolev空间Wm，p（Q） （pl, m$0）。它是由L （Q）空间中可以连续求m阶分布导数的函数pu组成的子空间，并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布 导数是普通导数的推广，对于性质极差的 Dirac delta

12、之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于 Sobolev 嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。 p=2 这类 Sobolev 空间特别重要,它是特殊的Hilbert空间,记之为H m(Q),称作Hilbert-Sobolev 空间。泛函分析另一内容是算子理论,可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间 上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子,可引入连续、有界、下有界、 闭、紧致和全连续等性质。对于算子集(线性连续算子集或线性连续泛函集等) 又可引入新的线性结构和范数等,构成高层的算子空间。其中对偶(共轭)空间 尤为重要。据此,可引

13、入自共轭(自伴)算子、投影算子、酉算子、正常算子、 自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或 算子。例如Gatean微分，Frechet微分和次微分等。为了剖析算子的结构和特性， 谱分析是重要的手段,全连续和正常算子的谱分析已成熟。除了上述各类泛函空 间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函 数空间可参阅水工中考虑的极值问题表示为：J求u g V使得1J (u) J (v)W g K其中J (v) =1 a (v, v)-； L为V R的连续线性泛函。若V是完备的Banach2空间，K是V的非空的闭凸子集，a(,)为具有连续对称的双线

14、性型，并且a(,)在 下述意义下V是椭圆的，即存在a = const 0使得a|v|2 a (v, v)，则极值问题存在唯一解。a(,)为具有连续对称的双线性型是指:Vu , u , v g V12Vv , v ,u g V12la(au + bu ,v) = aa(u ,v) + ba(u ,v)a,bgR ,11212la(u,av + bv ) = aa(u,v ) + ba(u,v )1 2 1 2面给出该问题的泛函证明:由于双线性型a(,)是对称的，因此它是V上的一内积，又由于a(,)是连 续且V是椭圆的，因此由内积a(,)诱导出来的范数|同=额而等价于原来的范Va|H| W I H

15、ll - M |vVv e V由于V在范数|v下是完备的，因此V在范数川下也是完备的，从而V在内积a (,)下是Hilbert空间，由Riesz表示定理，存在Riesz映射q： V T V，使得对l e V,则b l eV，且注意到的对称性，可见J(v) =a (v, v)- 2=1 a (v, v)-a Q l, v)2=1 a (v-b l, v-b l)-a Q l, b l)2二 jll lv-b l因此极值即为求V中元素到子集K的最小距离问题，由于K是非空闭的，则 有泛函分析的投影定理可以知道该极值问题的解是存在的，再由K是凸的，可知 该问题有唯一解。下面就具体问题谈泛函在水利工程中

16、的应用。2 升变分解法水泥在浇筑后,伴随着其水化硬结过程 ,其内部会产生水化热 ,使水泥的温 度逐渐上升,然后散发。水泥的水化热发生过程集中在早期,最初几天水泥的温度 急剧升高,当达到最高温度后,温度开始下降。由于水泥内部温度与外界温度相差 悬殊,因此会在水泥表面引起巨大拉应力,并导致开裂。裂缝不仅会影响水泥的外 观,还会影响建筑物的安全性 ,因此,有必要研究水泥的温度应力以防止由温度应 力引起的开裂。求解温度应力以求解温度场为基础。计算温度场的分布方程有许 多方法,下面以混凝土块的一维不稳定温度场导热方程为例 ,从变分原理出发,运 用Ritz法求解该方程。2升导热方程求解水泥的水化热发假定混

17、凝土的浇筑温度和气温相同 ,作为温度计算的基准 值。水泥绝热温升的表达式：0 =0 0（1- e -m t ）式中：e o水泥最终绝热温升,c；0 水泥在龄期时的绝热温升,C;mm水泥发热速率参数,1/ d ；TT 龄期,d。该状况下的一维导热偏微分方程为:边界条件为：T0,x = 0,t = 0（假定为第一类边界条件）力tT 0, x=1,= 0（底边界绝热）dx由于该方程包含有时间变量T，所以可用近似的方法来处理。即先固定时间变量 T在某一时刻，在该时刻下对泛函进行变分计算，在求出温度场t后，再考虑时间 的变化。根据一维导热偏微分方程及其边界条件和初始条件,可得与方程（4）等价 的泛函：J

18、T(X)二2（黑）2一 tme-mt +t dx +QtJ0 ds1求极值：J(x)=0Qc得：t (x, t)=-5t jne-mt (x2 一 2 /x)(1-e-mt)10a (1-e - mt) + 8me - mt用Ritz法求出了该方程的近似解。变分法是有限元法的基础，一般情况 下,通过该方法所得的近似解可以代替工程上难以用解析方法求得的精确解。3 ：无铰圆拱稳定的截面优化设计无铰圆拱的截面优化设计，采用泛函极值分析，直接应用瑞利 里兹法，可 近似计算出相应的临界荷载，为优化设计提出了一个新方法本文的分析可适用 于各种边界约束、各类截面形状和任意荷载分布的圆拱在相同材料的用量下，

19、截面优化圆拱较等截面圆拱的临界荷载大得多，在工程设计中具有较好的经济 性，表明截面优化设计具有较高的理论性和实用性。31 问题的提出优化问题可用数学积分式表示为：11 =j_r2 j I 2 Rbh Rd & il(-叩=il( cij = 、-ftii + il j - 2 qRii1- - (1( ilILIL j,il ( - ni = it (=诚和=仆、在式中，n为圆拱的总势能，为u圆拱的轴向位移,w为圆拱的径向位移，而屮w为圆拱横截面的转角，屮=（u+u）/ W由式（1）可知，此优化问题为带定积分约束条件的泛函极值问题，应用拉格朗日乘子法，可将条件极值问题方便 上式为圆拱截面优化设

20、计的稳定控制方程，再加上相应的边界条件，即成为定解 问题。地化为无条件极值问题因此，构造一个新泛函为：上式中，入为拉格朗日乘子新泛函驻值条件为: 代入式中作求导运算，整理可得4.工程应用中的几种泛函方法直交投影法：该方法把调和方程或泊松方程 Dirichlet 问题的解空间表达成两个直交子 空间之和：调和函数类和边界上为零的函数类。Minhlin在讨论方截面杆的 Saint-Venant 扭转问题时，用本方法详细给出方形域中泊松方程 Dirichlet 问题之解，并证明所算得的最大剪应力之精度胜于 Ritz 法。此外还给出一般 三维域中同一问题的解以及本方法对一般方程Au=0 (其中A是下有界

21、、正线 性椭圆微分算子)的应用。Maurin分析了微分方程A+c (x)u = 0的 Dirichlet问题。他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之间的密切关系。以 后 Rafalski 把之用于瞬态热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性，证实了 Maurin 所发现的两种方法的关系。Bessel不等式 (f,g )2 (f,f)中的等号，对应 ii =1于f等于它在g.生成空间中的直交投影的情形。Klyot-Dashinsky曾把 之应用于平面有势问题，以及更一般的各项异性板的变形方程。 Nowinski 和 Cho 给出由电流加热的长杆热弹问题的解。Cauchy-Schuwarz 和 Be

22、ssel 不等式；超圆方法这两个不等式因几何意义明显易于求解具体问题。 Diaz 及其同事较早地把这 些不等式应用于弹性力学，他们证明 Rayleigh-Ritz 和 Trefftz 方法可由 Cauchy-Schuwarz 不等式给出。 Rayleigh-Ritz 近似解相当于直交三角形之斜 边，精确解为直角边；而 Trefftz 近似解相当于直交三角形的直角边，精确 解为斜边。从而，这两个近似解给出线性编制问题精确解的上下界限。最近， Nowinski 利用 Cauchy-Schuwarz 不等式研究各向异性板弯曲的广义双调和边 值问题解的界限和各向异性杆的扭转刚度。数值结果表明精确度良好

23、。Stu mpf 利用直和分解H = HH 对各类弹性量尤其薄板理论中的弹性量建立点状 界限。这两个不等式又能导出与实用问题有关的许多其它重要不等式和方法。值得一体的是 Prager 和 Synge 的超圆方法。在状态空间 H 中选定就范直交系 g7 g,任何状态可作Fourier展开：f =工（f, g ） g。用两个近似向量逼 k k kk近并界限精确解f。把满足平衡方程和应力边界的所有状态视为约束子集C。把满足协调方程和位移边界条件的所有状态视为最小子集M。精确解是这两 子集之交。通常难于找到C和M中全部向量。于是，只能分别在部分C和M 中找最接近f的两个向量f 和f沁，称为极点。f，f

24、 和f沁三向量的断 电位于同一个“超圆”上。圆心位于（f + f沁）/2，半径为|f -f切/2, 极点位于同一直径的两端，该方法的基本不等式为（f ，f ）（ f，f） （f，f）。当超圆退化为一点时，得到精确解。Synge在他的专著和 一系列论文中已把超圆方法应用于二维调和方程的Dirichlet问题；Neumann 型扭转问题；任意截面弯扭杆的 Dirichlet 问题；非确定度量的弹性和电磁 振动问题。他还考虑 n 维黎曼空间的情形。 Greenberg 和 Prager 在弹性板问 题中推广了此方法，获得可接受的精度。Nordgren确定板近似解的误差限。 Nowinski和Cho讨

25、论重力场中弹性柱的情形，其数值解与Galerkin法相比 是一致的。可以把超圆方法推广于任何具有正测度（例如能和功率）的线性 系统。包括广义弹性连续体、电磁组合、交换场和电子网络等。还可推广于 点状边界条件。这里应从更一般意义下理解“点状”不仅指点力状态， 还包括偶极和多极状态，以及相应的自应力状态。实验技术中的泛函方法 为了预测船舶的机动特征，在近代船模实验中用“缓慢运动导数”描述偏离定常参考运动的水动作用力和力矩。但在非定常试验中发现这里有疑问的。尽管 引入补充项或另行定义“非线性导数”等，但对一船模的不同实验得到的数据 作比较，仍有很大差异。 Bishop 等认为原因在于没有考虑记忆效应

26、，建议用 Volterra 型线性泛函表示扰动的水动力，并提出相应的试验处理技术。在倾 斜曳引试验和PMM振动试验中，证明上述泛函方法与实验一致。在圆形水渠试 验中，本方法尽管测点显著减少，仍保证相当好的可靠性，而且弗时少。显示 出泛函方法对船舶稳定性讨论是很有效的工具。也启示我们若对泛函的限制作 进一步削弱的话，也许对急剧机动分析会奏效。另外，若与随机过程理论结合， 可望讨论船舶在波中的阻抗变化、方向稳定性与控制等问题。 在确定热应力下材料性能的试验中，通常让材料样本在给定温度下记录应变。 如何以最佳方式控制样本的温度剖面，这是分布参数化控制问题。为把有限维 优化的共轭梯度法推广到无限维空间

27、，用线性方程作为试验过程的数学模型， 用最小二乘法计算系统的 Green 函数，然后确定最佳作用函数，给出所需的温 度剖面。在Hilbert空间中，利用接续的无约束最小过程逼近该约束优化。把 计算结果与实验比较，证实在一般情况下本方法是合理的。但在高温时，约束 条件须修改。泛函方法还可用于求解以最小时间使热样本达到预定温度的问 题。此外，代替积分方程，可改用偏微分方程表示系统。5 结论：泛函分析渗透到数学内部的各个分支中去，它也强有力地推动着其他分 析学科的发展， 它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中， 为 工程设计提供了理论基础，在工程技术方面获得了有效的应用。泛函处理的是一 般

28、的数学模型，对于工程的特性，针对工程结构系统，给出了在工程结构的构造 方法和学习算法，提供了非常好的数学基础。6 参考文献：【1】周永权，基于水利网络的多元多项式近似因式分解及学习算法，水利研究及发展。 1998.36【2】Castillo E，cobo A，Gutieerrez JM,et al.Functioonal networks with applications M London kluwer academic publishers，1999【 3 】 J.Hale ， TheoryoffunCtionaldifferentialequations ， NewYork:Spring

29、 一 Verleg，1977.【4】李文荣，一类迭代泛函微分方程的解析解，数学学报 4(1998) 【5】周鸿兴，王连文，线性算子半群理论及应用，山东科学技术出版社，1994.【6】王野平.电监会将加强小火电关停落实降耗目标.电力设备网E周刊2007 年第11期总第 101期行业动态【7】虞锦江 梁年生主编.水电站经济运行M (15143. 5380).北京：水利电 力出版社，1984【 8】龚怀云 胡清徽 杨泽高 张可村研究生高等数学入学考试指南 M(73430027)西安：西安交通大学出版社，1985： 194195【 9】朱文杰我国水轮机几个问题的探讨中国水利水电市场 J( ISSN1684-4696)北京：水利水电出版社，2005-06： 6264