排列组合问题的解题方法与技巧的总结完整版

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1、学员 数学科目第次个性化教案授课时间教师姓 名备课时间学员年级高二课题名称排列组合问题的解题策略课时总数共课时教育顾问学管邱老师教学目标1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学重点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学过程教师活动一、作业检查与评价（第一次课程）二、复习导入排列组合

2、问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。三、内容讲解1分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有m1 2种不同的方法，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有：n种不同的方法.2分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不1 2同的方法，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有：n种不同的方法.3分类计数原理分步计数原理区别分类计数原

3、理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1认真审题弄清要做什么事2怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。3确定每一步或每一类是排列冋题（有序）还是组合（无序）冋题，兀素总数是多少及取出多少个元素.4解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合问题的解题策略一、相临问题一捆绑法例1. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将

4、甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。评注：一般地:n站成一排,其中某m个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有an_mam种排N - M M法。练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？二、不相临问题一选空插入法例2.7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：A2A5种65插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法即先排好没有 限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可若N个 人站成一排，其中M个人

5、不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要 求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素，在 解决时就要特殊对待所涉及问题是排列问题.解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中 的4个空档，共有种选法根据乘法原理，共有的不同坐法为种.三、复杂问题-总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时,而它的反面往往比较简捷, 可考虑用“排除法”，先求出它的反面，再从整体中排除解决几何问

6、题必须注意几何图 形本身对其构成元素的限制。例3.（1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角 形共有个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 3 = 32个.练习：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内 的抽法有多少种？分析此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况,这样解题的话，容易造成各 种情况遗漏或者重复的情况而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而 且在计算中也是非常的简便这样就可以简化计算过程.解43人中任

7、抽5人的方法有?种，正副班长,团支部书记都不在内的抽法有?种，所以正副 班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有二种.四、特殊元素-优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他 位置的安排。例4. （1995年上海高考题）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在 两端，则共有不同的排法种.解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选 一个位置，有3种，而其余学生的排法有种，所以共有=72种不同的排法.例5.（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参 加比赛，3名主力队员要安排在第一

8、、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、 四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有?=252种.五、多元问题-分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例6.（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）?A. 42?B. 30?C. 20?D. 12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1不相临：共有种；2.相临：共有种。故不同插

9、法的种数为：A2 + A2如=42，故选A。6 2 6例7.（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有？ ? ?解：由题意，选用3种颜色时，C 3种颜色，必须是同色，同色，与进行全4排列，涂色方法有C 3A 3=24种4色全用时涂色方法：是同色或同色，有2种43情况，涂色方法有c 1A 4=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为722 4六、混合问题-先选后排法?对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略.?例8.（2002年北京高考）12名同学分别到三个不

10、同的路口进行车流量的调查，若每 个路口 4人，则不同的分配方案共有（?）种A.二1 二 二? B.3二二 二种?？ C. 二二 三种? ? ? D.解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有_种方法，分配到三个不同 的路口的不同的分配方案共有：种，故选A。例9.（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种， 分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）?A. 24 种? ? ?B. 18 种? ? ?C. 12 种? ? ? D. 6 种?解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C 2种，在不同土质的三块土地上种植的方3法是A 3，

11、3二种法共有C2A3=18，故选B.3 3七相同元素分配-档板分隔法例10把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些 方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证 每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同 “1”（一般可视为“隔板”）共有C 2种插法，即有15种分法。6 -2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得 的书不小于其编号，剩下的4本

12、书有以下四种分配方案：某一阅览室独得4本，有尽 种分法；某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；某两个阅览室各得2本, 有种分法；某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法由加法原理, 共有不同的分法3 +老=15种.八转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、 具体的问题来求解。例11高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配 方案有多少种？分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂但如果我们将其转换为等价的其他问题，就 会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解.解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份，有多少

13、种不同的分法问题，因此须把 这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个,即可将 白球分成8份，显然有?种不同的放法，所以名额分配方案有?种.九剩余法：在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法,他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可 转化为求剩法.例12袋中有5分硬币23个,1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？分析 此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱, 难以理出头绪来但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题.解?把所有的硬币全部取出来,将得到0.05X23+0.10X10=2.15元,所

14、以比2元多0.15元所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有2种取法.十对等法：在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一 在求解中只 要求出全体，就可以得到所求.例13?期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序？分析 对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情 况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到 全体，那么问题就可以解决了并且也避免了问题的复杂性.解不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，

15、所以语文安排在数学之前考的排法共有_ 种.十一平均分组问题：例14. 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2) 分为三份，每份2本；(3) 分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4) 分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。解：1.C2/6xC2/4=90；2. (C2/6xC2/4)/A3/3=15;3. C1/6xC2/5=60；4. C1/6xC2/5xA3/3=360 ；5. 【(C2/6xC2/4)/A3/3+C1/6xC2/5+C1/6xC1/5/A2/2】 xA3/3=540.总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序 组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：（1）以兀素为主体，即先满足特殊兀素的要求，再考虑其他兀素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。四、巩固练习五、课堂总结六、 课后作业容布置（分数混合运算的复习习题）七、课后教学反思（该部分课后手写）不足之处：成功之处：（及时反思，持之以恒，量变引起质变，天积累 小点，学习提升 大点）学科带头人课前审核签 名时 间其它说明课后反馈表