一章56节07ppt课件

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1、5 5 条条 件件 概概 率率一一 条条 件件 概概 率率二二 乘乘 法法 定定 理理三三 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1.条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的发生的概率，将此概率记作概率，将此概率记作P(A|B).一般一般 P(A|B)P(A)第一章

2、概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录P(A)=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是B，于是于是P(A|B)=1/3.B中共有中共有3个元素，它们的出现是个元素，它们的出现是等可能的，其中只有等可能的，其中只有1个在集个在集A中，中，容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只时，

3、这个前提条件未变，只是加上是加上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件.这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.下面给出条件概率的定义第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 若事件若事件B已发生已发生,则为使则为使 A也也发生发生,试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点,即即此点必属于此点必属于AB.由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生,故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间,于是于是 有有(1).设设A、B是两个事件

4、，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAPSABAB2.条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.例例 1 两台车床加工同一种零件共两台车床加工同一种零件共100个，结果如下个，结果如下 合格品数合格品数 次品数次品数 总计总计第一台车床加工数第一台车床加工数 30 5 35第二台车床加工数第二台车床加工数 50 15 65总总 计计 80 20 100第一章 概率论的基本概念5条件概率设设A=从从100个零件中任取一个是合格品个零件中任取一个是合格品 B=从从100个零件中任取一个是第一台车床加工的

5、个零件中任取一个是第一台车床加工的 解：解：3530 BAP ,10080 AP ,10080 AP ,10030 ABP .)|(,),(,BAPABPBPAP求：求：,10035 BP退 出前一页后一页目 录3.条件概率的性质：条件概率的性质：0)1(BAPA，有有非非负负性性：对对任任意意事事件件 ；规规范范性性：1)2(BSP则则两两互不相容，两两互不相容，事件事件可列可加性：如果随机可列可加性：如果随机nAAA21)3(第一章 概率论的基本概念5条件概率 11nnnnBAPBAP退 出前一页后一页目 录5条件概率 2)直接法：从加入条件后改变了的情况去算直接法：从加入条件后改变了的情

6、况去算 4.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数5条件概率退 出前一页后一页目 录例例2 两颗均匀骰子两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法1:)()()|(BPABPBAP解法解法2:2163)|(BAP解解:设设A=掷出点数之

7、和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算21366363例例 3 已知某家庭有已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率 而而 AP 86 ABP ABP 所求概率为所求概率为解：解：设设 A=3个小孩至少有一个女孩个小孩至少有一个女孩 B=3个小孩至少有一个男孩个小孩至少有一个男孩 第一章 概率论的基本概念 768786 ABP所以所以 878111 AP APABP 退 出前一页后一页目 录二、乘法公式二、乘法公

8、式由条件概率的定义由条件概率的定义 APABPABP 我们我们得得 ABPAPABP 这就是两个事件的这就是两个事件的乘法公式乘法公式第一章 概率论的基本概念5条件概率1）两个事件的乘法公式：）两个事件的乘法公式：退 出前一页后一页目 录2）多个事件的乘法公式）多个事件的乘法公式个个随随机机事事件件，且且为为，设设nAAAn21 0121 nAAAP 则有则有 nAAAP21这就是这就是n个事件的个事件的乘法公式乘法公式 第一章 概率论的基本概念5条件概率 1AP 12AAP 213AAAP 121 nnAAAAP退 出前一页后一页目 录例例3 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个

9、白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率解：解：次次都都未未取取出出黑黑球球取取了了设设nB niiAi，次取出白球次取出白球第第21 则则nAAAB21 由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11 n第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 例例 4 设某光学

10、仪器厂制造的透镜，第一次落下时设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为次落下打破的概率为 7/107/10,若前两次落下未打破，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透镜落下三次。求透镜落下三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai(i=1,2,3)表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”，有：有：)()(321AAAPBP 第一章 概

11、率论的基本概念)|()|()(213121AAAPAAPAP.2003)1091)(1071)(211(退 出前一页后一页目 录)/()()/()()()()(ABPAPBAPBPABPBPABP三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABAB;,2,1,=njijiAAji .21SAAAn 定义定义 设设 S 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间，为为 E 的一组事件。若满足的一组事件。若满足 (1)(2)则称则称 为样本为样本空间空间 S 的一个有限划分的一个有限划分 nAAA,21nAAA,21第一章 概率论的基本概念

12、5条件概率退 出前一页后一页目 录1 1）全）全 概概 率率 公公 式：式：设随机事件设随机事件的的是是样样本本空空间间 SAAAn,21 两两两两互互不不相相容容；nAAA,121 ;21SAnkk ;,2,103nkAPk .1 nkkkABPAPBP则有则有第一章 概率论的基本概念5条件概率一一个个有有限限划划分分，即即退 出前一页后一页目 录全概率公式的证明：全概率公式的证明：由条件：由条件：得得 nkkBAB1 而且由而且由两两互不相容，两两互不相容，nAAA,21也也两两两两互互不不相相容容；得得BABABAn,21A1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABABS第一章

13、 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录全概率公式的证明（续）全概率公式的证明（续）所以由概率的可加性，得所以由概率的可加性，得 nkkBAPBP1得得 得得，再由条件再由条件nkAPk,2,10 kkkABPAPBAP nkkknkkABPAPBAPBP11第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录全概率公式的使用：全概率公式的使用：我们把事件我们把事件B 看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因因，看看作作该该过过程程的的若若干干个个原原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知已知即即kAP 已已知知即

14、即kABP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即即求求第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 例例5 某小组有某小组有20名射手，其中一、二、三、名射手，其中一、二、三、四四 级射手分别为级射手分别为2、6、9、3名又若选一、名又若选一、二、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标中目标 的概率分别为的概率分别为0.85、0.64、.45、0.32，今随机今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛选一人参加比赛，试求该小组在比

15、赛中射中目中射中目 标的概率标的概率 解：解：标标该小组在比赛中射中目该小组在比赛中射中目设设 B 4321，级级射射手手参参加加比比赛赛选选 iiiA由全概率公式，有由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念 41iiABPiAPBP32.020345.020964.020685.0202 5275.0 退 出前一页后一页目 录2 2）贝叶斯（）贝叶斯（BayesBayes）公式公式)|(BkAP第一章 概率论的基本概念5条件概率设随机事件设随机事件的的是是样样本本空空间间 SAAAn,21 两两两两互互不不相相容容；nAAA,121 ;21SAnkk ;,2,103nkAPk 一一个个有有限

16、限划划分分，即即则有：则有：)()(BPBkAPnknjjABPjAPkABPkAP,2,1,1)|()()|()(退 出前一页后一页目 录BayesBayes公式的使用公式的使用我们把事件我们把事件B 看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因因，看看作作该该过过程程的的若若干干个个原原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知已知即即kAP 已已知知即即kABP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个个原因引起的概率，则用原因

17、引起的概率，则用Bayes公式公式 BAPi即即求求第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录例例 6 用某种方法普查肝癌，设：用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌，已知已知 90.0,95.0 DAPDAP 0004.0 DP而而且且已已知知：现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率肝癌的概率第一章 概率论的基本概念5条件概率说明：说明：全概率公式，全概率公式，BayesBayes公式中公式中 可以是可以是.n退 出前一页后一页目

18、 录例例 6（续）（续）解：解：由已知，得由已知，得0004.0)(DP 所以，由所以，由Bayes公式，得公式，得 ADP10.09996.095.00004.095.00004.0 0038.0 第一章 概率论的基本概念 90.0,95.0 DAPDAP APDAP DAPDPDAPDPDAPDP 退 出前一页后一页目 录例例 7 袋中有袋中有10个黑球，个黑球，5个白球现掷一枚均匀的个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出出的球全是白球，求掷出3点的概率点的概率解：解：621，点点掷掷出出 iiAi则由则由

19、Bayes公式，得公式，得 BAP3第一章 概率论的基本概念5条件概率设设B=取出的球全是白球取出的球全是白球 06161615115531535 iiiCCCC04835.0 6133iiiABPAPABPAP退 出前一页后一页目 录练习练习1：有甲乙两个袋子，甲袋中有有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，个白球，1个红球，乙袋中有个红球，乙袋中有2个红球，个红球，1个白球这个白球这6个球手感上不可区别今从甲袋中个球手感上不可区别今从甲袋中任取任取1球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取1球，问球，问（1）此球是红球的概率？）此球是红球的概率？（2）若已知取到）若已知取

20、到1个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？概率是多少？练习：练习：练习练习2：设工厂设工厂A和工厂和工厂B的产品的次品率分别是的产品的次品率分别是2%和和1%，现从由，现从由A和和B的产品分别占的产品分别占60%和和40%的产品中随机抽取一件，问的产品中随机抽取一件，问（1）抽到的这件产品为次品的概率是多少？）抽到的这件产品为次品的概率是多少？（2）如果抽到的产品为次品，则该次品属于）如果抽到的产品为次品，则该次品属于 A厂生产的厂生产的概率为多少？概率为多少？第一章 概率论的基本概念5条件概率说明：说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重乘法公式

21、，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时要，在运用时关键关键是找到样本空间的划分。是找到样本空间的划分。退 出前一页后一页目 录一、独立性的定义一、独立性的定义例例 1 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b 只白球每次从中取出只白球每次从中取出 一球，令：一球，令：A=第一次取出白球第一次取出白球，B=第二次取出白球第二次取出白球，分有放回和不放回情形讨论分有放回和不放回情形讨论 AP ABP第一章 概率论的基本概念6 独独 立立 性性bab 22bab 2baabBAP 同理同理（1）有放回情形：）有放回情形：)|(),(),(ABPBPAP退 出前一页后一页目 录所以，由所以，由BAAB

22、B APABPABP 而，而，babbabbab 22第一章 概率论的基本概念 BAPABPBP 得：得：babbaabbab 222退 出前一页后一页目 录（2 2）不放回情形：）不放回情形：babAP ABP所以，所以，BAPABPBP 第一章 概率论的基本概念 11 bababb 1 babaabBAP同理同理 111 babaabbababbbab 退 出前一页后一页目 录 APABPABP 而，而，babbababb 1111 bab第一章 概率论的基本概念由此例题你会得到什么结论？由此例题你会得到什么结论？退 出前一页后一页目 录说说 明明由例由例 1，可知，两种情形中都有，可知，

23、两种情形中都有这表明，这表明，在有放回情形，在有放回情形，事件事件 A 是否发生对事件是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与与 B 呈现出某种独立性呈现出某种独立性由此，我们引出事件独立性的概念由此，我们引出事件独立性的概念第一章 概率论的基本概念在不放回情形有：在不放回情形有：在有放回情形有：在有放回情形有：)()(BPAP 在不放回情形，在不放回情形，事件事件 A 是否发生对事件是否发生对事件 B 是否发是否发生在概率上是有影响的，即事件生在概率上是有影响的，即事件 A 与与 B 呈现出不呈现出不独立性独立性退 出前一页后一页目

24、 录 ABPBP ABPBP 定义：定义：设设 A、B 是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果 BPAPABP 则称则称 A 与与 B 是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件第一章 概率论的基本概念2)若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则BABABA与与、与与、与与也相互独立也相互独立.证明：证明：为方便起见，只证为方便起见，只证BA 与与相互独立即可相互独立即可这个性质很重要！这个性质很重要！由于由于 BAP，由由概概率率的的可可减减性性，得得注注意意到到BAB ABBP 退 出前一页后一页目 录二、事件独立性的性质：二、事件独立性的性质：1）如果事件）如果事件A

25、 与与 B 相互独立，而且相互独立，而且 0 AP BPABP 则则 ABPBPBAP 的的独独立立性性与与事事件件BABPAPBP 第一章 概率论的基本概念 BPAP 1 BPAP 相互独立相互独立与与所以，事件所以，事件BA注意：注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。公式进行计算。退 出前一页后一页目 录

26、例例 2 2设事件设事件 A 与与 B 满足：满足：0 BPAP若事件若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 AB；（逆否命题逆否命题若若 AB=，则则事件事件 A 与与 B 不相互独立不相互独立证明：证明：相相互互独独立立，故故与与由由于于事事件件BA 0 BPAPABP AB所所以以，第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录三、多个事件的独立性三、多个事件的独立性设设A、B、C是三个随机事件，是三个随机事件，第一章 概率论的基本概念1）三个事件的独立性：）三个事件的独立性：则称则称A、B、C是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件 CPAPACPCPBPBCPBPAPABP

27、事件两两独立事件两两独立这三个这三个CBA,注意：注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立试想：试想：n个个随机事件的独立性的定义及性质。随机事件的独立性的定义及性质。CPBPAPABCP 如果如果退 出前一页后一页目 录例例 3 3 袋中装有袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑别涂有红、

28、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令：三种颜色现从袋中任意取出一球，令：A=取出的球涂有红色取出的球涂有红色 B=取出的球涂有白色取出的球涂有白色 C=取出的球涂有黑色取出的球涂有黑色 则：则：CPBPAP ACPBCPABP 第一章 概率论的基本概念21 41 ABCP41 退 出前一页后一页目 录由此可见由此可见 ,BPAPABP ,CPBPBCP .CPAPACP CPBPAPABCP 8141但是但是这表明，这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的不是相互独立的第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录2）n

29、个事件的相互独立性：个事件的相互独立性：等等式式成成立立：个个随随机机事事件件，如如果果下下列列为为，设设nAAAn21 nnmiiiiiikjikjijijiAPAPAPAAAPniiiAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnm2121211)(112121个个随随机机事事件件相相互互独独立立这这，则则称称nnAAA21第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录,21个个随随机机事事件件相相互互独独立立这这，如如果果nnAAA,)2(11事事件件也也相相互互独独立立个个随随机机这这，nAAAAnmmiiii 是是，其中其中niii21第一章 概率论的基本概

30、念3 3）独立随机事件的性质：）独立随机事件的性质：则：（则：（1）其中任意其中任意 个随机事件也相互个随机事件也相互 独立；独立；)2(nmm 的一个排列的一个排列，n21退 出前一页后一页目 录 nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211,有有个事件个事件对任意对任意若若 是相互独立的事件，则是相互独立的事件，则nAAA,21)(21nAAAP4 4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：第一章 概率论的基本概念在本章第在本章第2节介绍了下面这个公式节介绍了下面这个公式在独立的条件下有：在独立

31、的条件下有：)(121nAAAP )()()(121nAPAPAP )(121nAAAP 退 出前一页后一页目 录 niiAP1第一章 概率论的基本概念注注 意意退 出前一页后一页目 录特别地，如果特别地，如果 pnAPAPAP 21则有则有,时时当当 n npniiAP 1111 np 11 niiAP1至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为试验中试验中次次则前则前出现出现次试验中次试验中表示第表示第事件事件是某一随机是某一随机次某一试验次某一试验假设独立重复地做假设独立重复地做AnAiApAPAEni,)(,1第一章 概率论的基本概念此例说明：此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是小

32、概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。不发生的，但是迟早要发生。不论不论 p 多么小多么小 np 11退 出前一页后一页目 录3）2）1）n例例4 如果构成系统的每个元件的可靠性均为如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：下列系统的可靠性：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录 1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为元件都正常工作，故可靠性为 ncrR ,1nr.)1(2nr 2)1(1ns

33、rR )2()1(12rrrR .)2()2()(ncnnnsrRrrRR ,2)2(,2nnrrn 时时第一章 概率论的基本概念2）一条通路发生故障的概率为）一条通路发生故障的概率为两条通路同时发生故障的概率为两条通路同时发生故障的概率为故系统的可靠性为故系统的可靠性为即附加通路可使系统可靠性增加。即附加通路可使系统可靠性增加。3）每对并联元件的可靠性为）每对并联元件的可靠性为系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为由数学归纳法可证明当由数学归纳法可证明当)2(nnrr )2(ccRR .,1cscRRR.csRR 显显然然.ssRR 即即解：解：退

34、出前一页后一页目 录例例 5 设有电路如图，其中设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为电器接点闭合的概率均为 p。求求 L至至 R 为通路的为通路的概率。概率。LR2134 解解：设事件设事件 Ai(i=1,2,3,4)为为“第第 i 个继电器接个继电器接点闭合点闭合”,L 至至 R 为通路这一事件可表示为：为通路这一事件可表示为：.4321AAAAA 由和事件的概率公式及由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独的相互独立性，得到立性，得到)()()(

35、43214321AAAAPAAPAAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP .242422ppppp 第一章 概率论的基本概念)()(4321AAAAPAP 退 出前一页后一页目 录 例例 6 要验收一批要验收一批(100 件件)乐器。验收方案如下：乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取自该批乐器中随机地抽取 3 件测试件测试(设设 3 件乐件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。不纯 纯 纯q纯、纯、纯 接受ppH1：纯 纯 纯

36、纯、纯、纯 接受pppH0：设一件设一件音色不纯音色不纯的乐器被的乐器被测试出来测试出来的概率为的概率为 0.95，而一件而一件音色纯音色纯的乐器被的乐器被误测为不纯误测为不纯的概率为的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有如果这件乐器中恰有 4 件是件是音色不纯音色不纯的，问这批的，问这批乐器乐器被接受被接受的概率是多少？的概率是多少？p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05退 出前一页后一页目 录p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05解：解：以以 Hi (i=0,1,2,3)表示事件表示事件“随机取出的随机取出的 3 件乐器中恰有件乐器中恰有 i 件音色不纯件音

37、色不纯”，以，以 A 表示事件表示事件“这批乐器被接受这批乐器被接受”，即，即 3 件都被测试为音色件都被测试为音色纯的乐器。纯的乐器。H2：不纯 纯 不纯q纯、纯、纯 接受pq不纯、不纯、不纯q纯、纯、纯 接受qqH3：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05)|(0HAP ,05.099.0)|(22 HAP纯、纯、纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受不纯 纯、纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受不纯纯不纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受不纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受H0 H1 H2 H3 p ppqqqq qqp pp第一章 概率论

38、的基本概念 ,99.03 ,05.099.0)|(21 HAP不纯不纯 .05.0)|(33 HAP)(AP 30)|()(iiiHAPHP由全概率公式有由全概率公式有由测试的相互独立性得由测试的相互独立性得：退 出前一页后一页目 录)(0HP,/)(3100196242CCCHP )(AP另外，按照超几何分布的概率计算公式得：另外，按照超几何分布的概率计算公式得：第一章 概率论的基本概念,/)(3100296141CCCHP,/3100396CC./)(3100343CCHP 代入公式有代入公式有 30.8629.0)|()(iiiHAPHP退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念本

39、节要点：本节要点：1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；3）在独立性条件下，求在独立性条件下，求n个事件至少发生一个的个事件至少发生一个的 概率公式：概率公式：)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP 注意：注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系；独立事件与互不相容事件的区别与关系；两两独立与相互独立的区别。两两独立与相互独立的区别。退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念思考题：思考题：一架长机和两架僚机一同飞往某地进行一架长机和两架僚

40、机一同飞往某地进行轰炸，但要到达目的地，非要有无线电导航不可，轰炸，但要到达目的地，非要有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各机将独立地进行轰炸且炸毁目标的概率为机将独立地进行轰炸且炸毁目标的概率为0.3。在到达目的地之前，必须经过敌军的高射炮阵地在到达目的地之前，必须经过敌军的高射炮阵地上空，此时任一飞机被击落的概率为上空，此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目，求目标被炸毁的概率？标被炸毁的概率？(0.4765)退 出前一页后一页目 录第一章：小结 随机事件：样本空间，样本空间的划分，事件的关系，事件的运算，事件的互不相容，事

41、件的独立性。事件的概率：概率的定义及性质，古典概率，几何概率（略），条件概率 加法公式，乘法公式，全概率公式，bayes公式 习题P34，20：某种产品的商标是某种产品的商标是“MAXAMMAXAM”其中有两个字母脱落，有人拣起随意放回，其中有两个字母脱落，有人拣起随意放回，求放回后仍为求放回后仍为“MAXAMMAXAM”的的 概率？概率？解：解：535421511 )|()()|()()(21)|(,1)|(54)(1)(,512)(:25ABPAPABPAPBPABPABPAPAPCAPMAXAMBAA则放回后仍为：脱落的两个字母不同脱落的两个字母相同设 P33,11,将3个球随机的放入4

42、个杯子中去，求杯子中求的最大个数是1，2，3的概率是多少？P杯子中求的最大个数为1=P杯子中求的最大个数为3=P杯子中求的最大个数为2=1664334P1614314C169)42(161166131324CC P33 10,在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率？解：设字母b,I的各两张卡片是可辩的，。基本事件的总数为 记A事件为“排列结果为ability”P(A)=711P0000024.022711P P36,32.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并设击伤两次也会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率？解：设A为“潜艇未被击沉”，等价于“炸弹未击中潜艇或仅一枚炸弹击伤潜艇”，则 12961283)(1129613)61(21)61()(3144APpCAP故击沉的概率为