集合与命题

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1、第一章 集合与命题一、集合11 集合及其表示法一、综合导学（一） 集合及其表示法的重点和难点：重点：（1）元素与集合之间的关系。（2）元素的三个性质。（3）几个特殊的集合。（4）集合的分类。（5）集合的表示方法。难点：（1）集合的概念。（2）用描述法表示集合。（二）难点分析：1、集合的概念没有确切的定义。2、元素和集合只有两种关系：属于和不属于。3、元素的确定性是指集合中元素必须是确定的。如：比较大的数不能构成集合，因为 元素不确定。4、空集和0是不同的。5、描述法中：x I y = f（x）表示以x为元素的集合；y I y = f（x）表示以y为元素的 集合；（x,y） I y = f （x

2、）表示以有序数对（x, y）为元素的集合。二、典型例题解析x y xy例1、 设x, y都是非零实数，试用列举法将+可能取得值组成的集合表示IxI I yI IxyI出来。分析：讨论 x, y 的正负。解：当x, y都是正数时，原式等于3；当x, y仅有一个正数时，原式等于-1 ；当x, y都是负数时，原式等于-1。故所求集合为3,-1说明：由集合元素的无序性可知：3,-1 = -1,3例 2、集合 A = x I x = 2k, k e Z, B = x I x = 2k +1,k e Z, C = x I x = 4k +1,k e Z又 a e A,b e B，则有()(A) a + b

3、 e A(B) a + b e B(C) a + b e C(D) a + b不属于A、B、C中任意一个分析：A中元素的性质是：被2整除的数；B中元素的性质是：被2除余1的数；C中元素 的性质是：被4除余1的数。解：因为a e A，所以存在k e Z使得a = 2k，又b e B，所以存在k e Z使得1 1 2b = 2k +1，则 a + b = 2(k + k ) +1，而k + k e Z 所以 a + b e B。2 1 2 1 2说明：怎样判断集合A = x I x = 2k,k e Z中以何为元素？只要看分隔符前的字母即可。例3、已知集合 A = x I ax2 - 3x + 2

4、 = 0, a e R(1) 若A是空集，求a的取值范围；(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3) 若A中最多只有一个元素，求a的取值范围。分析：注意方程ax2 -3x + 2 = 0未必是一元二次方程，应分类讨论。解：集合A是方程ax2 -3x + 2 = 0在实数范围内的解集。9(1) A是空集，即方程ax2 - 3x + 2 = 0无解，得A = (一3)2 8a 。8 29(2) 当a = 0时，方程只有一个解为x =；当a丰0时，A = 0即a = 时，方程有238 49个相等的实根，这时A中只有一个元素为x=。所以当a = 0或a = 时，A中 3824只有

5、一个兀素，分别为3或3。A中最多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情形。由(1)、(2) 9可得a = 0或a 。8例 4、设 a, b 是整数，集合 E = (x, y )I( x - a )2 + 3b 6 y，点(2,1) e E，但点(1,0)电 E, (3,2)电 E，求a,b 的值。分析：集合E是有序数对构成的点集，考虑到a,b是整数可以求得解。解：因为(2,1) eE,所以(2- a)2 + 3b 0(2)3)因为(3,2)电 E，所以(3 一 a)2 + 3b 123由(1), (2)得6 - (2 一 a)2 一(1 一 a)2，展开并整理得a -。131由(1

6、), (3)得 a 一 。所以 一 a 一 。厶厶厶又a,b是整数，所以a = 一1。代入(1), (2)得4 b且b c，则a c。三、理解与巩固(一) 填空题1、方程x2 5x + 6 = 0的解集可表示为。2、 设 M = (x, y) I mx + ny = 4，且(2,1) e M， (-2,5) e M，则 m =n3、 已知 A = x I x =,m e N, n e N 若 a e A,b e A，则 a + bA，a - b A。2m(填e或纟)x4、 已知A = x I x 60, e N，则用列举法表示A =。5、若 A = x e R I x = a J2+ b, a

7、 e Z, b e Z,(二) 选择题(A)第二象限内的点；(C)第二象限或第四象限内的点;6、集合(x, y )I xy 0, x e R, y e R是指()(B)第四象限内的点；(D)不在第一象限、第三象限内的所有点。7、下列集合中，无限集的个数是()(1) xI1x5,xeR(2) xIx90,xeQ(3) xIx1000,xeN(4)x I x2 0（A）只有（1）(B) (1)和(3)(C)只有(2)(D) (2)和(4)三） 解答题9、用列举法表示下列各集合：(1) x I 10 x 10, x为偶数(2) y I y = x2,3 x 5,x e Z(3) x | (x 1)

8、2 集合之间的关系一、综合导学（一） 集合之间的关系的重点和难点： 重点：子集、真子集、集合相等的概念 = x 1, xe R10 、用符号e或者笑填空：(1) 1N,0N,1N,0.5N,N；(2) 1Z,0 Z,1Z,0.5Z,Z；(3)1Q,0Q,1Q,0.5Q,Q；(4)1R,0R,1R,0.5R,R。11、设x, y, z都是非零实数，试用列举法将;xy +z-+ xyZ:可能取得值组成的集合表示出来。xz12 、已 知 集 合 M =x,xy,2xy2 ， N=0,IxI,y ， 并 且 M =N ， 求1 1 1 1(x + ) + (x2 +) + (x3 +) + (x200

9、1 +)的值。yy 2y3y 2001难点：判断集合之间的关系。（二） 难点分析：（1）子集、真子集的证明。（2）集合相等的证明。（3）子集、真子集的个数问题。二、典型例题解析例1、 选用适当的记号表示与0, 0与0, 0与之间的关系。分析：由概念出发，区分元素与集合、集合与集合之间的关系所用的不同数学符号。解：为空集，不含任何元素，因此0不是中的元素，即0；0是一个单元素集合，0是它的元素，因此有0 e 0；和0都是集合，空集是任何非空集合的真子集，所以 u 0说明：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。若A匸B，不要忘了考虑A 为空集的情况。例2、若集合A = x I x =24,

10、keZk兀兀,B = x 1 x =才 + q，k e Z,则()(A)A=B (B) A n B(C) A u B(D)A 与 B 无相同的元素分析：考察集合A、B中的元素，可判断集合A、B的关系。解：因为集合A中的任意一个元素（k e Z ）即x e B，所以A匸B。k兀兀2k兀兀(2k -1)兀兀x =+=+=+ 244442兀兀，又e B但电A，所以A u B。说明：若集合A是集合B的子集，在判断集合A是集合B的真子集时，只要在集合B中找出一个元素不属于集合A即可。2x -1例3、设集合A = x 11 x a | 2， B = x 1 1。若A匸B，求实数a的取x+2值范围。分析：将

11、集合A、B化简，利用数轴可将问题简单化。解：A = x I a - 2 x a + 2,2 x 12 x 1x 3由 1 得1 0，即 0，所以一2 x 3x + 2x + 2x + 2a 2 n 2故B = x I 2 x 3，因为A匸B，所以解得0 a 1 a + 2 3所以实数a的取值范围是0 a 1。a 2 2说明：若A二B，则解 3例4、设集合 A = x I 2 x a不是空集，B = y I y = 2 x + 3, x w A,C = z I z = x2,x w A，且C匸B，求实数a的取值范围。分析：集合 B、 C 均表示函数值的取值范围。解：由题设知：B = y I 1

12、y 2a + 3当一2 a 0 a 3 时，C = z I a2 z 42当 0 a 2 时，C = z I 0 z 2时，C = z I 0 z 2a 2 2a + 32 a 0 J0 a 24 2a + 3 或 |4 2a + 311得 a 2 或 2 a 3 即 a 3 2 21所以a的取值范围是-a3说明：由于y = 2x + 3是一次函数，故根据集合A可直接写出y的范围集合B。但z = x2（x wA）写出集合C时必须对a进行分类讨论。四、理解与巩固（一）填空题1.若（a,lLl,2,au ,2,4,a21 则a 的值为2. 集合M= Xx2 + x - 6 = 0与Q = h|ax

13、 +1 = 0丿满足Q u M，则a所取的一切值为集合中有个元素。3. 满足a匸M u a,b,c,d的集合M共有个。4. 集合 M = a, a + d, a + 2d , P = a, aq, aq 2,其中 a 丰 0 且 M = P ,则q=。5.集合A=x II x l a,x e R且A匸B。则实数a的取值范围是。二)选择题6、 下列写法正确的是()(A) 0 u 0 (B) 0 u(C) 0eb(D) 07、集合A = 1,2傑合B = x I x匸A,则A与B的关系是()(A) A e B(B) A 匸 B(C) B 匸 A (D) A 电 B8、 已知集合 A = x | x

14、2 + 3x + 2 0， B = x | x2 - 4ax + 3a2 0，且 A u B，那么a的取值范围是()(B) a -|(D) a 12(A) -1 a -32(C) 3 a 0， B = x I x2 + 4x + p 0若 B 匸 A，求实数 p的所有元素的集合。12、已知A = m I m = x2 - y2,x e Z, y e Z， B = m I m = 2k +1,或m = 4k,k e Z，求证：A=B1. 3 集合的运算一、综合导学(一) 集合运算的重点和难点： 重点：交集的概念、集合的交运算；并集的概念、集合的交运算；补集的概念和运算。 难点：交集、并集、补集的

15、理解。二) 难点分析：1) 交集的本质特征是“且”2) 并集的本质特征是“或”(3) A的补集包含全集U中所有不属于集合A的元素。集合A的补集是相对全集U而 言，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。性质：(1) A n B = B n A, A n B 匸 A, A n B 匸 B(2) 若 A 匸 B，则 A n B = A(3) A u B = B u A，A 匸 A uB，B 匸 A u B(4) 若B 匸 A 则 A u B = A(5) A U C A 二 U，C (A A B)二(C A) U (C B) C (A U B)二(C A) A (C B)UUUU ， UU

16、U二、典型例题解析例1、若集合 A = x I x2 一5x + 4 = 0， B = x I x2 + mx + 4 = 0。问：m 何值时,A U B 二 A ？分析：A U B = A o B匸A解：A = 1,4，A 的子集有1,4,1,4,0将x二1或x二4代入x2 + mx + 4 = 0均可得m = 一5但若B =0，则m2 -16 0，所以4 m 4故本题的解为m = -5或4 m 4。例2、集合 A = x 11 x 3, B = x I x 3。(2) 使A A B =， a必须落在“1”的左方, 若 a 二 1，则 B = x I x 1，此时 A A B = 所以a的取

17、值范围是a 1。说明：数形结合在集合运算中是一个重要的思想方法。例3、满足条件A U 1,2,3 = 1,2,3,4,5,6,7,8的集合a有多少个？分析：集合A必须含集合4,5,6,7,8中的所有元素。解: A = 4,5,6,7,8 U B 且 B 匸1,2,3由于满足条件的集合B有8个，所以满足条件的集合A有8个。说明：集合A二a ,a，,a 的子集有2n个；真子集有2n -1个；非空子集有 12 n2n -1个；非空真子集有2n - 2个。例4、已知集合 A = x I x2 一 3x + 2 = 0， B = x I x2 一 ax + (a 一 1) = 0，C = x I x2

18、一 mx + 2 = 0，且A U B = A , A A C = C ,求实数a和m的取值范围。分析：由于AAC = C，对C为空集要分类讨论。解：由A U B = A可知B匸A，由方程x2 - 3x + 2 = 0得x = 1或x = 2 ,所以 A = 1,2方程x2 ax + (a 1)二0的两个根为1或a 1，所以B中元素a 1可能为1或2；当 a 1 = 1，即 a = 2 时，B = 1；当 a 1 = 2，即 a = 3 时，B = 1,2所以a的值为2或3。又由AAC=C可知C匸A那么C中元素有3种可能性：若方程x2 -mx + 2 = 0有两个不同的根1或2,则m = 3

19、；若方程x2 -mx + 2 = 0有两个相同的根，则A = m2 -8 = 0，m = 2J2，此时方程的根为，则C匸A，故m丰2.：2 ；若方程 x2 -mx + 2 = 0 无实根，即 A = m2 -8 0， 一 2f2 m 22 时， C =0，满足 A A C = C。所以 m = 3 或一 22 m 0in m 2x + x = -m 012集合 A=m|m2.使命题乙成立的条件是：A =16(m2)2160,lVmV3.2 集合 B=m|1m3.若命题甲、乙有且只有一个成立,则有：(l)mWAn C B ,(2)mG B P C A .RR若为(1)，则有：An C B 二m|

20、m2nm|mW 1 或 m三3 = m|m三3；R若为(2)，则有：B P C A二m|1m3nm|mW2 = m|1mW2,R综合(1)、(2)可知所求m的取值范围是m|1mW2,或m23.说明：(1)本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；(2) 用集合语言来表示m的范围既准确又简明；(3) 今后注意结合问题具体情况,运用交集思想、并集思想、补集思想.三、理解与巩固(1)(一) 填空题1、 设集合 M= x 10 x 2，集合N= x I x-1 0, P= y I y = !x -1，则 MHP=。3、 已知 X = x II x - 1I 1, Y = y I y = 2t2 +1,

21、t g R，则 X o Y =。4、 设集合 A=x| 10WxW 1, xWZ ，B = xllxlW5, xZ ，则 AUB 中的元 素个数是。5、 已知集合 M= (x,y)I y 二 x2 +1 ,N= (x,y) I y = x +1则 m n n =。(二) 选择题6、如果 P = x I (x -1)(2x - 5) 0， Q = x I 0 x 10，那么()(A) PnQ(B) P u Q (C) P 二 Q (D) PoQ = R7、已知 M= (x,y) I x+y = 2，N= (x,y) I xy = 4，则 MHN=()(A) x=3，y= 1(B) (3，1)(C

22、)3，1(D) (3，1) 8、已知集合A = x I x = 2n +1,n g Z，集合B = x I x = 4n 土 1,n g Z，下列正确的关系是()(A) A n B (B) A u B(C) A = B (D) AnB =0三) 解答题9、已知 A = x I x2 - 3x + 2 = 0, B = x I ax - 2 = 0且 AUB=A，求实数 a 组成的集合C.10、集合 A = x I x2 + 5x一 6 0，求 AUB 和 APB.11、设 A=x|2x1， B = x I x2 + ax + b 2, APB=xI1vxW3，试求 a、b 的值.12、若A =

23、 24a3 -2d2 -a + 7,B = 1，a +1，a2 -2a + 2 -卜2 -3a -8), a3 + a2 + 3a + 7,且 APB=2，5，试求实数 a 的值.理解与巩固（2） (一) 填空题(1) 设全集u = 四边形，集合a = 梯形 , B = 平行四边形 , D = 矩形, E = 菱形, F = 正方形,则：E u F =； E n D = ；A n B = ； A n CuB= ；(B u D) n (E u F) = ；(BnC F)nE = 。u(2) 若 U=Z, A=xlx=2k, kZ B = xl x = 2k+l, k GZ,贝V CU A=。Cn

24、B=。(3) 非空集合A匸1,2,3,4,5,6且A满足条件：若aGA,则7-aGA，符合要求的集合的个数为。(4) 已知集合 A = x l x2 - 3x + 2 = 0, B = x l x2 - ax + a -1 = 0，且 AUB=A，贝V a的值为(5) 已知集合A = x l x2 + (m + 2)x +1 = 0,x g R，若 AnR + =0，则实数 m 的取值范围是(二)选择题(6) 已知全集为U,集合M与N间有关系M nN = M，那么下列必定成立的式子是()( A) M n C N = 0( B) N n C M = 0uu(C) C M nC N =0(D) C

25、 M uC N =uuuuu(7) 已知全集口=2 集合 A=xlx=2n, nGN, B = xlx=4n, nGN，贝9()(A) U=AUB(B) U= C AU B (C)U = AU C B (D)U = C AU C B.uuu u(8)设全集为R, A = x l x2 -5x- 6 0 , B = x ll x一5 l a(a 是常数)，且 11GB, 则()(A) C A u B = R(B) Au C B = R (C) C A u C B = R(D) A o B = RRRRR(三) 解答题(9) 已知 M=1, N=1, 2，设 A= (x,y) lxG M, yG

26、N, B = (x,y) lxG N, ygM ，求 AHB 和 AUB。(10) 已知 U= 1, 2, 3, 6为全集，集合 A 匸 U , A = x l x2 -5x + m = 0,若C A - 2,3,求m的值。U(11 )已知集合 A = x I x2 -5x + 4 0, B=x I 0 x 2；全集为 R,求 AUB , a n b , a n C b , C a n C bR R R(12)已知集合 A = x I x2 - 2x-8 0，集合B = x I x2 0(1) 若AB，求实数a的范围；(2) 若AnC B =Q，求实数a的范围。R二、四种命题的形式14 命题的

27、形式及等价关系一、综合导学(一) 重点和难点：重点：命题的证明，推出关系，命题的四种形式、等价命题。 难点：真假命题的判断与证明，写出一个命题的另外三种命题形式。(二) 难点分析：(1) 要证明一个命题是假命题，通常只要举一个反例(满足命题条件，而不满足命题 的结论)即可。(2)用直接法证明命题正确，即从已知条件出发，依据所学过的公理、定理、公式进 行逐步推理，从而得出结论。( 3 )用推出关系表述用直接法证明命题正确：先设法找出一连串与所要证明命题有关 的正确的命题ana , a na , , a =卩；再由推出关系的传递性就可1 1 2 n得a n卩。(4) 如果从命题甲可以推出命题乙，从

28、命题乙也可以推出命题甲，则称这样的两个命题 为等价命题。(5) 原命题和它的逆否命题同真同假；如果两个命题互为逆否命题，那么这两个命题是 等价命题。二、典型例题解析例1、 判断下列命题的真假，并说明理由。(1) 如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a丰0)满足ac 0，那么这个方程有实数根；（2）如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a丰0）有实数根，那么ac 0 ；（ 3）一个有理数与一个无理数的和是无理数；（4）设a,b,c e N，如果ab是c的倍数，那么a,b中至少有一个c的倍数。解：（1）对于方程ax2 + bx + c = 0 （a丰0），因为ac 0

29、。又因 为b2 0，所以A = b2 4ac 0。所以方程有实数根，因此（1）是真命题。（2）是假命题。举反例：方程2x2 + 9x +1 = 0中，A二81 8 = 73 0，所以方程有实根，而ac = 2 x 1 = 2 0。（3）是真命题。用反证法证明：设U二R，a e Q，b e C Q，a + b二c，Unq假设c e Q，由有理数定义知，c = 一，a = （ m,n,p,q e Z，且m丰0,p丰0），mp因为a + b二cnq所以 b = c a = 一 一一 =mpnp mqmp由于np - mq e乙mp e乙mp丰0,所以b e Q，这与已知b e CuQ矛盾，所 以假设

30、ceQ是错误的，所以ceQ。（4）是假命题。举反例：取c = 6,a = 2,b = 3，ab = 6是c = 6的倍数，但a,b都不是c的倍数。例 2、写出命题：“若两个实数的积不是无理数，则这两个实数都不是无理数”的 逆命题，否命题，逆否命题。解：逆命题：若两个实数都不是无理数则两个实数的积不是无理数； 否命题：若两个实数的积是无理数，则这两个实数至少有一个是无理数； 逆否命题：若这两个实数至少有一个是无理数，则两个实数的积是无理数。说明：写原命题的其它形式时，应注意关键语句“若”、“都是”、“不都是”等用法。例3、判断命题“如果x2 3x + 2丰0，那么x 1 ”的真假，并说明理由。解

31、：所给命题的逆否命题为：“如果x = 1，那么x2 3x + 2 = 0。”因为x = 1，所以x2 3 x + 2 = 12 3 x 1 + 2 = 0，故逆否命题是真命题。由原 命题和逆否命题是等价命题，得原命题是真命题。说明：本例可直接证明原命题正确：因为X2 - 3x + 2丰0，即(x - 2)(x-1)丰0, 所以x丰2且x 1，故有x 1。例4、设命题p:若m0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根。试写出它的逆命题, 否命题和逆否命题，并分别判断其真假。解：否命题：若mW0,则关于x的方程x2+x-m二0无实数根。逆命题：若关于x的方程x2+x-m=0有实数根，则m0。逆否命

32、题：若关于x的方程x2+x-m=0无实数根，贝9 mW0。1 A=l+4m,m -丁时方程有实数根。41 m0时，m n-丁，方程有实数根，.原命题为真，逆否命题也为真。41但方程有实数根，m -，却推不出m0,逆命题为假，否命题也为假4例5、写出命题：“若x+yW0,贝9xW0或yW0”的否命题。(2) 命题：“在整数范围内，a,b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题。解：(1)否命题是：若x+y0，则x0且y0。(2)逆否命题是：在整数范围内，若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数。说明：(1) “xW0或yW0”的否定是“x0且y0”，注意与集合性质的比较：(C A) n (C B)二 C

33、(A U B)U U U(2) “a,b是偶数”指“a,b都是偶数”，其否定为“a,b不都是偶数”。三、理解与巩固(一)填空题1、设原命题是为“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为它的逆命题为否命题为;2、判断下列命题的真假 3三3； 100或50是10的倍数； 有两个角是锐角的三角形是锐角三角形； 等腰三角形至少有两个内角相等 3、把下列命题改写成“若p则q”的形式 对顶角相等 平行四边形的对角线相交于一点且互相平分 偶数能被2整除 二次方程ax2+bx+c=0 （aM0），若判别式厶。，则方程有两个不等实根.4、x24x3-8； |x-2|3x2-4x-50（用 n, U, O 连接）

34、5、判断下列各题的真假，真填T,假填F 矩形的对角线互相平分（）； 0是最小的自然数（）； 0既不是奇数，也不是偶数（）； 三角形内角和等于180 （）；二）选择题6、命题“若ZA=60。，则AABC是等边三角形”的否命题是（）。（A）假命题（B）与原命题同真或同假（C）与原命题的逆否命题同真或同假（D）与原命题的逆命题同真7、命题“若ab,则a-5b-5的逆否命题是()。(A)若 ab,则 a-5b-5(B)若 a-5b-5,则 ab(C)若 aWb，贝9 a-5Wb-5(D)若 a-5Wb-5，贝V aWb8、下列各组中的两个命题互为等价命题的是( )。(A)AHB=A 与 AUB=B(B

35、)aA 与 aWAUB(C)aA 与 aWAPlB(D)aAHB 与 aWAUB(三) 解答题9、设原命题是“若x=2或x=3，则x2-5x+6=0”，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题。10、把下列命题写成“若p则q”的形式到圆心距离等于半径的点在圆上两个有理数的商仍为有理数11、证明：若 a2+2ab+b2+a+b-2工0,贝a+bM1。12、求证：在同一平面内，和平行线中一条相交的直线，与另外一条也相交已知：直ab，直线c与a相交求证：b与c相交三、充分条件与必要条件1 5 充分条件，必要条件一、综合导学(一) 重点和难点： 重点：充分条件，必要条件和充分必要条件。 难点：充分条件，必要

36、条件和充分必要条件的判断。二) 难点分析：(1) 对于“若p则q”形式的命题，如果已知p q,那么p是q的充分条件，q是p的必 要条件。(2) 如果既有p = q,又有q = p,则记作p O q,就说p是q的充要条件，也可以 说q是p的充要条件，或者说p和q互为充要条件。(3) 若p = q,但q寿p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。(4) 从命题的角度看，原命题和逆命题都成立，命题中的条件是充要条件。(5) 在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论， 再用结论推条件，最后进行判断。(6) 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充

37、分性(即证原命题成立)， 又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)二、典型例题解析例1.指出下列各题中，p是q的什么条件？(1) p: 0vxv3 q : Ix-1lv2 (2) p: (x-2)(x-3)=0 q: x=2(3) p: c=0 q:抛物线 y=ax2+bx+c 过原点(4) p: 一个四边形是矩形 q:四边形的邻边相等解:(1) p: 0vxv3, q: -1x0,设命题p为：两个实数a, b满足Ia-blv2h,命题q为：两个实数满足la-llvh 且 Ib-llvh，那么()。(A) p是q的充分条件，但不是q的必要条件(B) p是q的必要条件，但不是q的充分条件(

38、C) p是q的充要条件(D) p不是q的充分条件，也不是q的必要条件分析：本题运用数形结合法为好。解:在数轴上，设实数a, b和1对应的点为A、B、C,那么Ia-bl2h即A、B两点间的 距离小于2h； la-llvh且Ib-llvh，即A、C两点以及B、C两点间的距离都小于h。结合图1,可得，本题应选B。h h.ShI I II、roc 2hi*、iiiAB_OC7图1例4.已知a, b, c都是实数，证明acvO是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个 负根的充要条件。证明：(1)充分性:若ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为c*.* ac0, .*.x_ x2=

39、 0, x20,则x】x2= 0,ac0。由(1),(2)知ac 0o 0121 a4x x = 0、1 21 a解得laW2或a三10。故原方程有两个正根的充要条件是laW2或a10。说明本题可等价变更为“关于x的方程(l-a)x2+(a+2)x-4=0有两个正根，求实数a的取值范围。”这表明求题设参数的取值范围是既不允许遗漏又不允许有多余的。三、理解与巩固(一) 填空题(1)“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的条件(2) k4, bv5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的条件。(3) 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分而不必要条件，必要

40、而不充分条件，充 要条件，既不充分也不必要条件)：1) p:(x-1)(y-2)=0q:(x-1)2+(y-2)2=0。 2) P:a2+b22abq:|a+b|a|+|b|。(4) x3是x5的条件。(5) 若p是Q的充分条件，Q既是R的必要条件，又是S的充分条件，R是S的必要条件，则S是P的条件;P是R的条件；是Q的条件。(三) 选择题(6) “ab”是 “a2b2”的()“a=b”是“ac二be” 的(“ab ”是“ ac2bc2 ”的()“ab”是 “a+cb+c”的()|x|l”是 “xl”的()“x=l” 是 “x2-2x+1=0”的()（A）充分条件（B）必要条件 （C）充要条件

41、（D）非充分非必要条件（7）a2-2ab+b2=0 是 a=b 的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件C（8）“在厶ABC中，a2+b2=c2”是“AABC为以C为斜边的直角三角形”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件（四）解答题（9）（1）写出Ixlv2的一个充分不必要条件（2）写出x-l的一个必要不充分条件（3）写出- 2的一个充要条件x（10）已知p: x2-8x-200, q: x2-2x+1-a20,若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取 值范围。（11）证明：实系数方程ax2+bx+c = 0（a#有两个不相等实

42、根的充要条件是b24ac0x（12）若 A 二y I y 二 X2 - 4x + 6, B = x I 1。试证明“ a 5 是“ B u A ”的a一个充分非必要条件，并说明理由。集合与命题单元练习一、选择题1、 下列各组对象不能构成集合的是（)（ A） 好看的书( B)高尔基写的书（C） 学校图书馆的藏书( D)语文书、数学书、英语书2、 下列命题中正确的是（)（A）集合x | X21,xg R中有两个兀素（B） 集合0中没有兀素(C) 5 g x | x 2訂(D)1, 2与2, 1是不同的集合3、已知U为全集，集合M,N匸U，若MHN=N,贝9()(A) C N u C MUU(B)

43、M u C NU(C) C M u C NUU(D) C N u MU4、下列表述正确的是()(A)0=(B)0G(C)(D)0 g 5、 已知集合M=0,1, N=1,2,则 MUN=()(A)0, 1, 2(B)1, 0,1 , 2(C) 1(D)不能确定6、设集合M = x 10 x 2,集合N = x I x-1 0, P=yl y = x-1 ,则 MHP=(9、10、(A)设s、(A)yiyi(C) yIy0T是两个不相等的非空集合，则下式一定成立的是( 鯉(snt)(b) 0 = (snt)(c)0u (snt)F列各组表示的集合A=B的是(D) ylyO)(D) 0匸(S n

44、T)(A) A =0 , B = 0(B) A = 1,2, B = (1,2)(C) A = y l y = x2,x g R, B = (x, y) l y = x2,x g R(D) A = 1,2,3,n -1,n , B = n,n -1,n - 2,- - -,3,2,1二、填空题11、用描述法表示集合1, 2, 3, 4。12、 集合A=0, 1, 3的子集为。13、设集合 M = x l0 x 8,集合 N = x l x - 3 0，集合 MAN=14、 已知A= x l x 3 , B= x l x a，若B匸A，则a的取值范围是。15、从自然数120这20个数中，任取两个

45、数相加，得到的和作为集合M的元素，则M的非空真子集的个数是16、 M=x I xWj2, N=1,2,3,4,则 C (MHN)=。N17、 非空集合A匸1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10且A满足条件：若aA,则有 10-aGA,符合要求的集合的个数为。18、A： 1x1=4, B： x=4,贝9 A 是 B 的条件。19、 “实数的平方为正实数”的逆否命题为。逆否命题的真假性为。20、设集合 M=x|x2, P=x|x3，那么 “xWM 或 xP ”是 “xPAM” 的 条件。三、解答题21、设 A = -4,2a 1,a2, B = 9,a 5,1 a,已知 A B

46、 = 9，求a 的值.22、已知 U= 1, 2, 3, 6为全集，集合A 匸 U , A = x | x2 5x + m = 0,若CA = 2, 3，求m的值。23、已知A=x| x2, B = x| 4x+pv0，且AB,求实数p的取值范围。 拓展内容容斥原理研究集合中元素的个数问题时，把有限集A的元素个数记作card(A).观察下列情况:A= 4,5,6,8, B= 3,5,7,8 , AUB= 3,4,5,6,7,8 . card(A)=4, card(B)=4, card(AUB)=6.显然，card(AUB)工card(A)+card(B).这是因为集合中的元素是没有重复出现的,

47、在两个集合的并集中,两个元素的公共元素只能 出现一次，即 card(AAB).card(AAB)=2.一般地，对于两个有限集A, B,有：card(AUB)= card(A)+card(B)- card(AAB).例: 据统计我校高中一年级的100名学生中,爱好体育的学生有75人,爱好文艺的学生有56人,试问文艺、体育都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？提示：利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。解答：设A=爱好体育的学生，B=爱好文艺的学生，则AHB=文艺、体育都爱好的学生,AUB=爱好文艺或爱好体育的学生。我们把有限集合M的元素个数记作 card(M), card(A)=75,

48、card(B)=56,card(APlB)二y, card(AUB)二x。于是由集合图(图7)得 x=75 + 56 y (75WxW100)说明：Ji 一关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越性。一般地，对于任意两个有限集合 A , B 有 card(AUB)二card(A)+card(B)card(AQB).其道理可由图8看出来。对于任意的三个有限集合A, B，C,有 card(AUBUC)二card(A)+card(B)+card(C) card(AHB) card(BHC) card(CHA) + card(AHBnC)其道理可由图9看出来。解答1.1理解与巩

49、固解答：441、2,32、m = 3 , n = -3、e, e 4、12,24,36,48,605、W 6、D 7、B 8、D 9、(1)8,6,4,2,0,2,4,6,8 (2)0,1,4,9,16,25(3)1,210、(1) e, e,纟,纟,纟(2) e, e, e,纟,纟(3) e, e, e, e,纟(4) e,e , e , e , e 11、4, 0, -412、x = 1, y = 1 值为2。1.2理解与巩固解答：1 小1、0 或 4 2、33、74、5、a W2 6、C 7、A 8、A29、(1)子集： ,a,b,c,a,b,a,c,b, c,a,b,c真子集：,a,b,c,a, b,a, c,b, c非空真子集：a,b,c,