数值分析填空练习

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1、1 绪论(1).要使T20的近似值的相对误差限0.1%,应至少取4位有效数字。x10-(n-i)4,即4位有效数字。1= 0.4. x10, a =4, -1 r 2a1(2) .要使20的近似值的相对误差限0.1%,应至少取_4_位有效数字，此时的绝对1误差限为10-3(3) .设y=f (兀严?)若x,的近似值分别为X*,x2*,令y*=fX*x2*)作为y的近似值，其绝对误差限的估计式为: 1 |f(x1*,x2*)lx1-x*1l+ lfx1*,x2*)lx2-x*2l(4) .计算f=(d-1)6 ,取=1.4 ,利用下列算式，那个得到的结果最好？答：_C.(A)(B)(3-2 &

2、)2,(C)1(3 + 2 込)3(D)99-70 它 2(5).要使近7的近似值的相对误差限0.1%,应至少取位有效数字?117 =0.4. x10, a =4, x10-(n-1)3.097,即4位有效数字。(6).设x=3.214, y=3.213，欲计算u=、:x -y，请给出一个精度较高的算式u=.xyu一(7) .设x=3.214, y=3.213，欲计算u= Jx -、：y ,请给出一个精度较高的算式 u=.=xyu_ :：x + 、： y(8) .设y_f(XX2)若XX2,的近似值分别为x1*,x2*,令y*_f(X*x2*)作为y的近似值，其绝对误差限的估计式为:一 l |

3、fx1*,x2*)lx1-x*1l+ fx1*x2*)lx2-x*2l;-(10).称序列xn是p阶收敛的如果limns-x *|x - X *|pn|x的单根， u(x)=f ( x) x)(11).用牛顿法求f(x)=0的n重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0(12) .用Newton法求方程f(x)=x 方程组(19) .矩阵的LU分解中L是一个 为单位下三角阵，而U是一个上三角阵。/ 214 3、-8 4 13(20) .设线性方程组的系数矩阵为A=13 5 1，全主元消元法的第一次可选的主.748 6丿元素为 -8,或8，第二次可选的主元素为_8+7/8 或-8-

4、7/8 .列主元消 元法的第一次主元素为二8；第二次主元素为(用小数表示)7.5:(21) .在方阵A的LU分解中，方阵A的所有顺序主子不为零,是方阵A能进行LU分解的充分(充分，必要)条件；严格行对角占优阵 能(能,不能)进行LU分解；非奇 异矩阵不一定(一定，不一定)能进行LU分解。+10x-20=0的根,取初值x0= 1.5,则兀产解X=1.5970149(13) .用牛顿法解方程x3 - x2 -1 = 0的迭代格式为x3 - x 2 - 1解 X = X -kk+1k3x 2 - 2Xkk(14) .迭代过程Xk+1 =9 (Xk)收敛的充分条件是”(x)丄1._(15) .用 Ne

5、w ton 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 x二 1.5,则 x= 1.5970149(16) .用牛顿法解方程x3 - x2 -1 = 0的迭代格式为X 3 - X 2 - 1 X = X -k k+ik3x2 - 2xkk(17) .用 Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根,取初值x = 1.5,则x1= X1=1.5970149(18) .迭代公式 xk+1=xk(xk2+3a)/ (3xk2+a)是求 a1/2 的_(12)阶方法(23).设 A =12a0a2为使A可分解为A=LLt，其中L是对角线元素为正的下三角形矩阵，则a的取值范围

6、 ，取a=1,则L=(24).解10032002 正(1).(2).-1，则H AI广答：4， 3.6180340，已知方程组5；20.32x1x2b1b2，II A II =2，II AII =，则解此方程组的Jacobi迭代法是收敛4 迭代填“是”或“不”）。(3).给定方程组B=j.，则 “23=x11x2=1x1311-2记此 方 程组 的 Jacobi 迭代 矩 阵 为,且相应的Jacobi迭代序列是发散.的。(4).1(5). A =.设 f (x) = (x -1)3，则 f (x)关于 C0,1的I f|则 II AII = 4, p(A) = 1(I “ A1=(九一1)2,

7、九=1)1 1,2(6) . Rn 上的两个范数 11x11,11x11 等价指的是VC.DeR. C llxll MIxIl D llxll : Rn 上的p qq p q两个范数_一定是等价的。(选填“一定”或“不一定”)。(7) . x = (3,0,-4,12)T，贝ijl x II =19 ,ll x II = 13，II x II =12:1 2 8-12x（8）. 已知方程组0.3211x2，则解此方程组的Jacobi迭代法.收敛（填“收II X II = 9,11 X II =肺11 X II = 41 2 8（10）.已知方程组x10.32 1 x2b1b2,则解此方程组的J

8、acobi迭代法.收敛（填“是”或“不”），解（3）因A二0.32的Jacobi迭代矩阵B =0.32故 Jacobi 迭代是收敛的，（ii）.已知方程组：x+；0一826，其雅可比法的迭代矩阵是13x + 20y 二 26斯-塞德尔法的迭代格式是2028x(k+1) = +y(k)+55313= X (k+1) +-2010y( k+i)（12）.已知方程组20.32x1x2b1b22,P(B)二 0.8 ,，高,则解此方程组的Jacobi迭代法.收敛（填“是”或“不”），1 20.32 1的Jacobi迭代矩阵B =20.32 0,p (B) = 0.8，故 Jacobi 迭代是收敛的，5

9、 x + 2 y = 8（13）.已知方程组1，其雅可比法的迭代矩阵是，高斯-塞13x + 20 y = 26德尔法的迭代格式是28x(k+1) = +y(k) +553 1320y(k+1) =x(k+1) +2010(14). A =1012要使lim Ak = 0，a应满足k T8，则II A II =P (A)二解 II X II 二 9,II X II =29,11 X II 二 4 。12gII AII = 4, p(A) = 1(I ” - A I=(九一1)2,九=1)1 1,2cond (A)=16。(16).设若A = 3 1，则矩阵A的1-范数|A|=_A(17).如果线

10、性方程组Ax = b用Jacobi迭代法，其迭代矩阵B满足|网 1。如果用Gauss-Seidel迭代法解此线性方程组Ax = b ,则方法 一定(一定，不一定)收敛-1111-11、1(18).设 Q =，则 Q =2-1-11121 2(23).已知A = 3 4 ,则叫=-1-11J(19). x = (3,0,4,12)t，贝ij II x II =， II x II =， II x II =12g答案：(1)19， 13， 12； (20).方程组Ax = b用超松驰法求解时，迭代矩阵为B = (D wL)-1(1 w)D + wU,要使迭代法收敛，条件0vwv2是 必要条件(充分条

11、件、必要条件、充要条件);如果A是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当w在区间(0,2)时。(21).给定方程组0-a-12x(22).已知方程组0.32 11x2是”或“不”)当a 1 时，Jacobi迭代格式收敛；其Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵为当 a 1 时Gauss-Seideli迭代格式收敛。b/，则解此方程组的Jacobi迭代法 是 收敛(填b2|A|( = _ , A 的谱半径1 P(A)= 2(5v 3)(25). X = (2,3,4)T则 | X | =,| X | =,| X | =12g解 | X | 二 9,| X | 二 J29,| X | 二

12、41 2 85 x + 2 y 二 8(26).已知方程组，其雅可比法的迭代矩阵是，高斯-塞13x 20y 二 26德尔法的迭代格式是28x(k+i)= y(k) +5531320y(k+1) =x(k+1) +2010/ 214 3、8 4 13设线性方程组的系数矩阵为A=13 5 1，列主元消元法的第一次主元素为仃3)；.748 6,第二次主元素为(用小数表示)仃4):记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(a.)4x4,则 a23= (15) ,.(13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4;(27).5 插值(28) .在等式f x ,x , ,x 仝a f (x

13、) 中,系数a与函数fx)关。邙限填“有”01nk kkk =0或“无”)(29) .设lk(x)是关于互异节点x0,兀,，xn,的Lagrange插值基函数，则 (x x)ml (x)也 m=1,2,.,n kkk=0(30).用n + 1个不同节点作不超过n次的多项式插值，分别采用Lagrange插值方法与New ton插值方法所得多项 (相等，不相等)。0, 1 x 0(31).函数 f (x) = x3,0 x 1x3 + (x 一 1)2,1 x 2与函数 g(x)=J x3 + 2x +1, 1 x v 02 x3 + 2 x +1,0 x 1中，是三次样条函数的函数是_f，另一函

14、数不是三次样条函数的理由是二阶导不连续。a)设Pk(xk.yk) , k=l,2,.,5为函数y=x2-3x+l上的5个互异的点，过P,.P5且次数不超过4次的插值多项式是x2- 3x+1。函数f (x) = x3,0 x 1与x3 + (x 一 1)2,1 x 2函数g(x)=r3+2x+1, -1x0中，是三次样条函数的函数是g(x)，另I 2x3 + 2x +1,0 x 2)。(34) .牛顿插商与导数之间的关系式为：f x ,x ,x = 半0 1 nn!(35) .设x0,x1,x2是区间a,上的互异节点，fx)在a,上具有各阶导数，过该组节点的 2次插值多项式的余项为：R2(x)=

15、 f 単存(x -xk)23! k =0k(36) .在等式f x ,x ,x = a f (x )中，系数a与函数f(x)_无关.01 nk kkk=0(37) .高次插值容易产生 现象(38) .(39) .设Pk(xkyk) , k=1,2,.,5为函数y=x2- 3x+1上的5个互异的点，过耳上且次数不超过4次的插值多项式是x2- 3x+1。(40) .令 f(x)=x7+ X4+3X+1,则 f20, 21,.,28 =0(41) .确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要4n个(42) .若f (x)充分光滑，若2 n+1次多项式 也冲满足也曲仪尸f (x.),H(x )

16、 = f(x ),(.=人2，,n),则称 H2 1(x)是f (x)的Hermite 插值多项式，且余项R (x)2 n +1.2n+1=f(x)_HMM_ R( x)=Tin+Sr(x 一 x0)2( x 一 x1)2 (x 一 xn)2(43) .设Pk(xk,yk) ,k=1,2,.,5为函数y=x2- 3x+1上的5个互异的点，过P,.P5且次数不超过4次的插值多项式是。解 (4。 y=x2- 3x+1(44) .用n + 1个作不超过n次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与New ton插值方法所得多项式相等(相等，不相等)6 拟合(1) .采用正交多项式拟合可避免最小

17、二乘或最佳平方逼近中常见的法方程组病态问题。(2) .试确定0,1区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x),该多项式唯一否？ 答： p(x)=(3/2)x,; 唯一。(3) .设fx)wCab, f(x)的最佳一致逼近多项式是一定存在的。(4) .在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的仃0)范数,在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的仃1)范数.无穷范数；llfll ； 2-范数co(5) .若%(x),督(x),亿(x)是a,b上的正交族。T(x)王akk(x)为f(x)的最佳平方k=0逼近。系数ak= a = k k = 0,1,nk k

18、(p)kk(6) .在函数的最佳一致逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的_无穷 范数.在函数的最佳平方逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的丄范数.(无穷范数； 2-范数, 1-范数)(7) .设fx)=2x4在-1,1上的不超过3次最佳一致逼近多项式P(x)= 2x2- 1/4。(8) .采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的(9)问题.(9) .在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的(10)范数.(10) .函数的最佳平方逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的 仃1)范数.一 1(11) 函数f(x)=|x|在-1,1的，次数不超过一次的最

19、佳平方逼近多项式是7 积分(45) .Gauss型求积公式不是插值型求积公式。邙限填“是”或“不是”)(46) .n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1次(47) .设C(n)称为柯特斯系数 则为C(n)=1kkk=0(48) .为辛卜生(Simpson)公式具有3次代数精度。(49) .2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。(50) .设公式I =Af (x,)为插值型求积公式，则At =f bl (x)dx (k = 0,1,n),nk kk kk=0且迓A =b-akk =0(51) .n个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n 1次。(52)

20、 .Gauss点与积分区间无关但与被积函数有关。(53).当常数 A=109，B=10时，数值积分公式6 2 f (x)dx ? Af (-2次代数精度，用于计算(55).形如Jbf (x)dx 沁a工Akf(xk)的插值型求积公式,k=0其代数精度至少可达到16a)+ f (0)+ Bf (a)是 Gauss 型积分公式 (54). Simpsons 数 值 求 积 公 式 具 有f1( x4 + (In 2) x2 + 2 x + 0.45)dx 所产生的误差值为.0n阶，至多可达到_2n+1阶；(56) .勒让德(Legendre)多项式是区间-1,1，带权1正交的正交多项(3)用梯形公

21、式计算积分f3e-x2dx沁9.219524E-003:此值比实际值 小(大，小)2(57) .用复化梯形公式计算积分f 1 f (x)dx ,要把区间0,1 般要等分41 份才能0保证满足误差小于0.00005的要求(这里|f(x)L 0，则 用复化梯形公式计算积分f 1 f (x)dx此实际值 大(大，小)。0(58) .若用复化梯形求积公式计算积分I = f 1 exdx区间0,1应分2129 等分，即要01计算个2130点的函数值才能使截断误差不超过x10-7 ；若改用复化Simpson次代数精度， 用 于计算公式，要达到同样精度区间0,1应分戛 等分，即要计算个 五 点的函数值。(5

22、9) . Simpsons 数 值 求 积 公 式 具 有 _3f1( x4 + (ln2) x2 + 2 x + 0.45)dx 所产生的误差值为.0(60) .形如fbf (x)dx 工A f (x )的插值型求积公式，其代数精度至少可达到ak k阶；k=0n阶，至多可达到_2n+1_(61) .若用复化梯形求积公式计算积分I = f 1 exdx区间0,1应分2129等分，即要01计算个2130点的函数值才能使截断误差不超过2xIO-7 ；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间0,1应分戛等分，即要计算个五点的函数值(62) .在以(g(x),f (x)= 6 1 xf (x)

23、g(x)dx,f (x),g(x) C0,1为内积的空间 C0,102中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是x- 3(63) .Simpsons数值求积公式具有 次代数精度，用于计算J1 (x 4 + (In 2) x 2 + 2 x + 0.45)dx 所产生的误差值为；0(64) .形如Jbf (x)dx 工A f (x )的插值型求积公式，其代数精度至少可达到a k kk=0阶，至多可达到阶；8 微分方程I y 0= f (x, y)(25) .欧拉预报-校正公式求解初值问题I的迭代格式(步长为h)i y(a)= hy 1 =，此方法是阶方法。k +1y = y + hf (x

24、 , y )+ f (x + h, y + hf (x , y ),此方法是 2阶方法。k +1k 2k kkkk k(26) .称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为O(hP+1)o(27) .求解微分方程数值解的Euler法的绝对稳定区间是(-2,0)。 y + y x = 0(28) .欧拉预报-校正公式求解初值问题，如取步长h=0.1,计算y(0.1)y (0) = 0的近似值为0.005000，此方法是阶方法1 , 1 、 、(29) . ( 1)当a =2， b = 2时，下述形式的RK公式为二阶公式II Iy= y + hKII n+ 1n 21 K1= f (

25、x , y )I 1n nI K = f (x + ah, y + hbK )2nn1II y0= f(x, y)(30) .欧拉预报-校正公式求解初值问题1的迭代格式(步长为h)II y(a)= hy 1 = y + hf (x ,y)+ f (x + h,y + hf(x ,y),此方法是2 阶方k +1k 2k kkkk k(31).用 Euler 方法解初值问题| y 0- y = 0i的近似解的最终表达式y = (1+ h)nt y (0) = 1nx(取步长h =)；当nn 时， lim y = e x 。 nnD2 方程根(9).设迭代函数申(x)在x*邻近有r (1)阶连续导数，且x* _申(x*),并且有申的(x*)_0仇_1,.,r-1)，但申(r) (x*)0,则x 1_(x )产生的序列 x 的收敛阶数为rn +1n n