数值分析第四章实验报告

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1、数学与信息科学学院实验报告课程名称：现代数值计算姓 名：学 号：专业班级：指导教师：2018-2019 学年 1 学期实验(二)数值实验二课后习题实验日期：2018年10月24日 实验类型：验证型 实验成绩： 一、实验目的1. 了解并熟悉拉格朗日插值的定义和计算过程；2. 熟悉如何使用 Matlab 计算以 n+1 个等距节点为条件的插值多项式；3. 熟悉如何使用 Matlab 计算以切比雪夫点为条件的插值多项式；4. 进一步熟悉并掌握Matlab的基本命令以及绘图命令的简单操作；二、实验内容1. 在区间-5,5，使用21个等距节点，找出龙格函数f(x) =(x2 +1)-1的20阶 插值多项

2、式p (x)，并打印出f (x)和p (x)的图形，观察f (x)和p (x)的最大 偏差；2. 在同样的条件下，使用切比雪夫点x. = 5cos(加J20)， 0 i 20，找出函数 f (x) = C + lb的20阶插值多项式q(x)。打印出f (x)和q(x)图形，观察 f (x )和q (x )偏差值;3. 对比两次插值结果，分析得出结论；三、实验结果与分析1. 源程序1 )拉格朗日(Lagrange)函数的Function文件function YValue_Inter = Lagrange( XValue_Real,YValue_Real,XValue_Inter) n = len

3、gth(YValue_Real);YValue_Inter = zeros(size(XValue_Inter);for k = 1:npt = ones(size(XValue_Inter);for j = 1:k-1 k+1:npt = pt .* (XValue_Inter - XValue_Real(j) / (XValue_Real(k) - XValue_Real(j);endYValue_Inter = YValue_Inter + YValue_Real(k) * pt end end 以下是运行程序clc;clear all; clc;Xmin = -5; Xmax = 5;

4、Length_Interval = Xmax - Xmin;N_Value = 20;X_Value = Xmin: Length_Interval / N_Value : Xmax;Y_Value = 1 ./ (1+ X_Value42);X_Inter_Value = Xmin: Length_Interval / (N_Value * 5) : Xmax;Y_Inter_Value = Lagrange(X_Value,Y_Value,X_Inter_Value);X = Xmin: Length_Interval / (N_Value * 5) : Xmax;Y = 1 ./ (1+

5、 X.A2);Different_Value = Y - Y_Inter_Value;Different_Value_ABS = abs(Different_Value)Max_Different_Value = max(Different_Value_ABS);Min_Different_Value = min(Different_Value_ABS);figure(1);plot(X_Inter_Value,Y_Inter_Value,r-,X,Y,bo); legend(Lagrange interpolating polynomial,f(x); figure(2);plot(X,Di

6、fferent_Value_ABS); legend(Different Value);运行结果如图1所示。图1(a)是真实的函数值f(x)，图1(b)是经过拉格朗日 插值之后的多项式p(x)，图1(c)是p(x)和f (x)的差A =abs p(x)- f (x)，图1(d) 是p(x)和f (x)的最大偏差和最小偏差。可以看出在区间的两端该偏差比较大,而且，最大的偏差会达到 58.2781。1G43* Pl日. E/dH Jjiiw tiavri: I+b QnJcop yjnJw口曰 I 离OOPYT口| 611 PI日. pdh ,yi*w tiivrtQnJsop Ujndov Ua

7、lp a u f 迭奇*乳-口口画in(a)(b)(c)(d)图 1 实验一数据图2. 源程序clc;clear all;clc;Xmin = -5;Xmax = 5;Length_Interval = Xmax - Xmin;N_Value = 20;Length_Number = 10;T_Value = 0: 1 * Length_Interval / N_Value : Length_Interval; X_Value_Inter = 5 * cos(pi * T_Value / Length_Interval);Y_Value_Real = 1 ./ (1 + X_Value_Int

8、er42);P_Value = polyfit(X_Value_Inter,Y_Value_Real,N_Value);X1_Value = Xmin: Length_Interval / (N_Value * Length_Number) : Xmax; Y1_Value = polyval(P_Value,X1_Value);X2_Value = Xmin: Length_Interval / (N_Value * Length_Number) : Xmax;Y2_Value = 1 ./ (1 + X2_Value.A2);figure(1);plot(X_Value_Inter,Y_V

9、alue_Real,bo); legend(interpolating data);figure(2);plot(X_Value_Inter,Y_Value_Real,r-,X2_Value,Y2_Value,b*) legend(interpolating data,f(x);figure(3);plot(X1_Value,Y1_Value,r-,X2_Value,Y2_Value,b*); legend(Chebyshev interpolating polynomial,f(x);Chebyshev_Different_Value = abs(Y1_Value - Y2_Value);M

10、ax_Difference = max(Chebyshev_Different_Value)Min_Difference = min(Chebyshev_Different_Value)运行结果如图2所示。图2(a)是在切比雪夫插值点的函数的真实值f (x)， 图2(b)是线性拟合的数据和真实值的对比情况，图2(c)是使用切比雪夫插值点 进行插值拟合的数据和真实的数据的对比，图2(d)是q(x)和f(x)的偏差值。 运行程序可以看到q(x)和f (x)的最大偏差仅为0.0177。从运行结果上看，该 拟合达到了很好的逼近效果。(a)亘叫Tlu问日Jhw tiairi:I-9e4g Qnl3 Uf

11、ndiW Q*lp勺口曰日 I kI离叫野婆Y 4口I 口垦) c(b)Command Window5-4-3- -Z -1 D 1 z aMaz_D iff e rente =0.0177Min_D iff e rence =2, 6645e-L5fx(c) (d)图 2 实验二数据图四、实验总结1. 通过本次实验，进一步熟悉了 MATLAB 中的基本命令、脚本文件的风格结构、函数文件的编写规范。了解到选择结构的使用方法，可以使用绘图命令绘制基本的函数图形，并在对应的函数图像上添加标签 能够在给定的矩阵中，找到最大和最小元素。2.根据拉格朗日基本的插值多项式的表达式，L (x) =yl =y

12、 n x-Xi，ni ii X X冃冃j j 我们可以进行插值函数的编写。其中，语句j = l：k-l k+l:n 的含义是：在区间11,n上，剔除j = k的项，这一点和拉格朗日插值的基函数求解 相符合；3. polyfit 和 polyval 是 MATLAB 中的内部函数，使用这个 polyfit 函数我 们可以得到插值函数的各幂次的系数。同样地，使用 polyval 函数我 们可以得到给定数据点处的数值。4. 由图1(b)和图l(c)的对比可以得到，使用等距节点的拉格朗日插值， 从原点到区间的两端，p (x)和f (x)的偏差会逐渐增大，而在区间中点 附近，p (x)和f (x)基本没

13、有偏差；5. 由图2(b)和图2(c)的对比可以得到，使用切比雪夫插值点得到的插值 多项式q(x)的函数值和f (x)的函数值基本一致。从运行的结果来看， q(x)和f (x)的最大偏差仅为0.0177。6. 在同样的插值节点上，对用一个函数分别使用不同的插值方法，其中， 使用切比雪夫插值点的插值多项式q(x)比使用均匀分布的节点上的 插值多项式p(x)能够更好地接近函数f (x)=丄(-5 x 5)。1 + x 27. 需要说明的是，并不是所有的使用切比雪夫插值点的插值多项式q (x )都能比使用均匀分布的节点上的插值多项式p (x )更好地接近函数f (x)。如图3所示，实验验证了当n二5,n二10,n二15,n二20时，使用切比 雪夫插值点的插值多项式q(x)和f (x)的对比情况。从图3中我们可以 看到，随着n的增大(切比雪夫点的增加)，q(x)才能更好地接近f (x)。曰Jii#w iiartQrUosp yincw tt*b:J hA - n 0|F|! BQ日. EdH Jii#wlock Qnosp minnow Qj J 4i b 七 fd!&甩 ri-n D|F|I BQ Chrtyshw 肝 HiriBl 何 Erfrm)划 IW(a) n = 5(b) n = 10(c) n = 15(d) n = 20图 3 不同节点数的切比雪夫插值点的插值多项式对比