数值分析word复习纲要

《数值分析word复习纲要》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析word复习纲要（32页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第 1-3 章 习题课(绪论、插值、逼近) 一、基本内容及基本要求 第一章、绪论1. 了解数值分析的研究对象与特点。2. 了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。3. 了解误差的定性分析及避免误差危害第二章、插值法1. 了解插值的概念。2. 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4. 了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5. 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。6. 知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7. 会三次样条插值,知道其误差和收敛性。第三章、函数逼近与曲线拟合

2、1. 了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。2. 了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质 ,知道 其他常用正交多项式。3. 理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最佳一次一致逼近多项式的求法。4. 理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最 佳平方逼近的方法。5. 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。6. 了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。二、练习1、设A =J3 二 1.7320508075，问近似值 1.73,1.732, 1.7320, 1.7321各有几位有效数字.答：3,4,4

3、,5.2、解二次方程x 2 118 x +1 二 0. 假定系数118和1准确无初始误差.答：X 59/3480 沁 59 + 58.992 二 117.992,有6位有效数字)2 * * * * * + . 丿111 Ch一 =1 +x 117.992 +h 117.992 (117.99211+ 8117.99218 | 1 x10-7.12乔二 0.008475 + P19, 5,9.2, 8J 2210-6.x = = 0.008475 + 8 +8 , 8 +8 | 8 1 + 8 | -210-6.2 X12121221=X =丄沁0.008475，有四位有效数字.2x13、用十进

4、制3位数字解方程组(准确解 x = 1, y = -1)0.780x + 0.563 y = 0.217,0.457x + 0.330y - 0.127.再用6位数字求解，计算结果说明什么？山0.780x + 0.563y = 0.217,解：1) .(0.330 - 0.563 x 0.586) y = 0.127 - 0.217 x 0.586.0.780x + 0.563y = 0.217,0 y = 0.V (R)=3 gV(R)-V(R*)| /|AR IRV(R)V(R)V(R)= 3= C .p要使V的相对误差限V (R) - V (R*)为只需CpR只需ARR 0.33%，或A

5、R R 0.3%.5、假设对f (x)以等距h在节点上造表，且有f ( x)| M,(1)证明:任意相邻两节点上的线性插值误差不超过1 Mh2；8设/ (x)二sin x,问h取多大能使线性插值误差 十X10-6. 2答：5(2), h 2xlO-3.6、试由f (x) = 2x的函数表x：- 1 0 1y：0.5 1 2建立二次插值多项式p (x),用以求20.3的近似值,并估计误差.2丁保证两位有效数字答：p (兀)拉=牛0.252 +0.75x+1; 2o.3 q p (0.3) =1.2475- 222o.3 p (0.3) 8时C(n出现负值,N - C公式不稳定. k若f (x)在

6、a,b上连续，则梯形公式的余项为R f=1 - T=-冒小) “a b.若f (4)(兀)在a,b上连续，则辛普森公式的余项为R f = I - S =f bf (x )d x -畤f (a) + 4 f (畔)+ f (b) Sa62f(4)们),n e a,b.180 Jb 一 a ( b 一Tn =艺 2 f (x-) + f (x-+i) = 2 f (a) + 2 艺 f (x-) + f (b 儿 i=0I-T”=f-1 -12 h 3 f(n ,)=-菩 h3 f(n)=-字 h 2 f(n)-i=0Sn = 6 f + 4艺 f (X- ) + 2艺 f (X) + f 如i+

7、1i =02(h Vii=1180 J 2 丿* f (n.)=-需 h 4 f ),ne(a,b )i=0(1) 初值b-aT1 =f (a) + f (b).(2)h =(i = 0,1,2,),计算2iT2nf (x ).-+1(3)求加速值二 T2n=S2=C2+ ( T2+( S2 n n+( C2 n n-T)/3,n-S )/15,n-C )/63.若一组节点a x x x b,使插值型求积公式0 1 nb p (x) f (x)dx q 工 wf (x ),a i ii=0具有2n +1次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称此 求积公式为高斯求积公式 .定理插值型求积公式的节点

8、a x x x b是01n高斯点o (x) = (x - x )(x- x )(x - x )与任何次数n+101不超过n的多项式P (x)带权p (x)正交，即ib p (x)w (x)P(x)dx = 0. an+1Rn f =観需:吓 P (x)dx，厂(x ) = 1 八 x ) - f (x ) - f G ),0 h 102f(x ) = f (x ) - f (x )+ hf().1 h 1021h 2八x ) =-3f (x ) + 4f (x ) - f (x) + f),02h0123广(x1) = h -f (x0) + f (P-心)，广(x ) = f (x )-4f

9、 (x ) + 3f (x ) + 第 f (g ).22 h0123f (x ) = 1f (x ) - 2f (x ) + f (x ) - h2 f (4) (g ).1 h 201212基本内容及基本要求1. 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度 求积公式的收敛性和稳定性。2. 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4. 了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。5. 会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。6. 了解几种常用的数值微分方法。二、练习1.判明以下两求积公式的代数

10、精度：1)2)J1 f (x )d x -1J1 f (x )d x -1f (- 1) + 2 f (0) + f (1)；f(-答：(1)一次；(2)三次.dx2.试分别用梯形公式和辛普森公式求I = 11竺的近似值， 0 1 + x并估计误差.准确值 I = J1 出=In 2 = 0.693147. 片1 01o 1 + x解: (1) I 沁 T =(1 + 2)= 0.75；1f (x)=仁 Jx) = (1 + x)3max f( x)| = f(0) = 2,0 x 1(1- 0)312max| f (x)| = 0.16667.0 x11- 01 1(2) I 沁 S =(1

11、 + 4x+_) = 0.6944461.5 2r ( )24 p (1一 0)5r ( )1f (4)(x) =, R max f (4)(x)(1 + x)5S 2880 0爲丿1I - T = -0.056853.= 0.0083333.I S=-0.0012973.试用n = 5的复合辛普森公式 求I = J 1竺的近似值, 0 1 + x并估计误差.准确值 I =出=ln2 = 0.693147.11o 1 + x解：h =(1 0) = 0.2, x = 0 + ih, x _= 0 + (i + 十)h.11 + 0.855ii+220.2 1+ 2 x (1+1+1+6 1+0

12、 1+0.2 1+0.4 1+0.6111111+ 4 x (+) +)1+0.1 1+0.3 1+0.51+0.7 1+0.91+1=0.693150;f(4)(x)二24(1 + x)50.242880max| f (4)( x)0 x1二 1.33333 x10-5.I S =2.81944x10-6.54.若用复合梯形公式计算I二卩竺，问区间多少等分01+x 才能保证计算结果有五位有效数字?11解:h =(1 0) = , x = 0 + ih (i = 0,1, n).n n if (x)=，八 x)=1+x1 0力h 2 max120 x 1因0.5 v J1 _巴v 1 J1 有

13、一位小数,01+x01+ x1 ( 1 A 2 1(1 + x)3 0x 183.6 V n 丿 2思考：试用复合梯形公式计算椭圆苧+ y2 =啲土周长 保证计算结果有五位有效数字.l = J? JxS + ySdG = J? J4sin2 0 + cos2 0 d0 = J? 1 + 3sin2 0 d0 0 I 0000T = 2.3561945, T = 2.41992078丄丨 T - T 1= 0.0212421,1 2 3 2 1T = 2.42210310,11T - T 1= 0.00072744,43 2221T = 2.42211206,1 T - T 1= 0.00000

14、2986 0;ii(2) 设L为非奇异阵，则LALT是对称正定阵;(3) 经顺序Gauss消去法A化为求证A2为对称正定.证明： (1)由正定二次型理论 ,a.=e.Ae.0. (或因所有主子式02)因(LALt)t=LALt,故LALT是对称的；又因对于任意xHO,则有y=LTxHO,从而xTLALTx=(LTx)TA(LTx)=yTAy 0,故LALT是对称正定阵.经顺序Gauss消去法A化为a11A 2 是对称的,因为aT1A2aa(2) = a 一 i1 a = a.ijija1 jji11A2是正定的，这是因为经顺序Gauss消去法A的各阶顺序主子式的值不变,a11 xA2的k阶顺序

15、主子式=人的*+1阶顺序主子式0, 且a110,于是得出A2的各阶顺序主子式0.(或因LA =aaT11 10 A2, LALT =a11正定故由知A正定)23. 用带行交换的杜利脱尔分解计算线性代数方程组11010LPA =001-110, 1 1011-101=A（i）,AX=b，其中L (PLP )(PP)A = U,2 2 1 2 2 1L-iPA = U, PA = LU,1 1 0_2_A 二1 1 1,b 二31 2 141110P =0 i,L = I,L PLPA二01121 022 2 1 10011=A(2) = U,解：P = I, L =1解 Ly = Pb 得 y

16、= (2,2,1)t ,解 Ux = y 得 x = (1,1,1)t .4. 用追赶法求解三对角方程组2200132001320013 x 10x02x03x-242 2 0 021 1 1 3 2 01 21 10 1 3 21 21 10 0 131 21A =LU,Ly =5.给定向量x二(2,2,1)T,确定初等反射阵H,使得 Hx的后两个分量为零答：Q = 3, Hx = (3,0,0)t , u = (5,2,1)t , p = 15,232丄2311152151321514156.求Hilbert矩阵H =2丄213的条件数cond(H )和2 gcond(H ) .2解：H

17、-1 二2246612,cond(H ) =| H -12 g II 2cond(H )22= |H J .旧|X( At A) max.2 X( AtA)min当A为非奇异对称矩阵时，cond(A)=字,其中X ,X为A的绝对值最大，小特征值. 2 |x |n1nX 1丄2丄 X 123=九2 4 X + 丄,312cond( A)2 =摞思考：利用数值微分求解f y(x) + y( x) + xy (x)二 0, !y(o)二 1, y (I)二 0.分析：将0,等分为N份，h = 1/N,+ x y = 0,kky - 2 y + y 丄 y - y k+tkk-i + k+tih22h

18、y 二 1, y 二 o.0N化为求解三对角方程组.第6-8章 习题课(线性方程组迭代解法,解非线性方程,矩阵特征值)一、解线性方程组的迭代法基本内容及基本要求了解迭代法及其收敛性的概念。掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR )迭代法。3. 了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。4. 知道分块迭代法。雅可比迭代法计算公式：对k=O,l, i ,x(0) = (x(0),x(0)t,1 nx (k+1) =S )/a , (i = 1,n) ii ij j iij=1j工1借助矩阵分裂得到矩阵表示D x ( k

19、+ 1) = Lx ( k ) + U x ( k ) + bx (k +1) = D -1 (L + U ) x (k) + D -1 b = B x (k)+ fJ高斯一塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1, i ,x (0) = (x (0),x (0)t ,1nx (k+1) =(b - a： .x(k+1) 一 a.x(k)/a ,(i = 1,n)ii . iJ j . . i/ j iij=1j=i+1采用矩阵A的分裂记号，迭代法等价于Dx(k+1) = Lx(k+1) +Ux(k) +b于是，高斯-塞德尔迭代法的矩阵表示形式为x(k+i)二(D 一 L) -i Ux(k)+ (D

20、 一 L) -i b = B x(k)+ f GSOR迭代法的计算公式:对k=0,1, i ,x (0) = ( x (0),x (0)t , 1x (k+1) = x (k) +o (b 一 a x (k+1)-a x 伙)/ a ,1 1 1 . 1 lj j . . lj j iij=1j=i(i = 1,2,n), 松弛因子0.采用矩阵A的分裂记号,化为Dx(k+i)二 Dx(k)(b + Lx(k+i)+ Ux(k) 一Dx(q)SOR迭代法的矩阵表示形式为x(k+1) = (D -L)-i(l-)D+oUx(k) +o(D -L)-ib .定理4一阶定常迭代法x （k+1） = B

21、x （k） + f则对任意初始向量x（0）迭代法（3.5）收敛Op （B） 1.定理7若矩阵A按行（或列）严格对角占优，或按行（或列）弱对角占优不可约；则 Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。定理8若SOR迭代收敛 则松弛因子） 2.定理9对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当02时，S0R迭 代收敛.定理10对于线性代数方程组Ax=b，若A按行（或列）严格对角占优，或按 行（或列）弱对角占优不可约；则当0wWl时，SOR迭代收敛。P210，ex9：证明： x(k+1) = (I 一 wA)x(k) + b, 迭代矩阵为 B = I wA当0 w 时，由0gk（A）

22、 1wa 九(B) = 1w九(A) 1w卩 一 1. 于是，p (B) 1.422高斯赛德尔迭代计算公式为厂X (k+1) = ( x (k) - x (k) +1)/2,1 23 X(k+1) = X(k+1) X(k) + 1,2 13X(k+1) = (X(k+1) + X(k+1) - 1)/2.3 12高斯-赛德尔迭代矩阵为(D - L) -1U_21_011 101 12丄00_012丄10020丄丄221_0丄丄221=0丄丄22000丄12X = 0,i i, p (B) = 1 1.2 2注意迭代矩阵与计算公式的关系.问：能否用对角占优淀理，或|B 1或|B| 1 ?1g二

23、、非线性方程求根基本内容及基本要求1. 了解求根问题和二分法。2. 了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收 敛性； 了解收敛阶的概念和有关结论。3. 了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4. 掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法下山法,了解重根情形。5. 掌握弦截法，了解抛物线法。6. 了解非线性方程组的迭代解法。定理1如果迭代函数g(x) G Ca,b,并且(1) Vx g a,b,都有g(x) g a,b,(2) 30 常数L 1,使得Vx, y g a,b,都有I g(x) g(y)l LI x y I;(2.4)那么g (x )在。,b上存在唯一的不动点x *.(2.

24、5)并有误差估计定理2在定理2的条件下，对任意初值x0 G a,b,迭代序列 (2.2)均收敛于g (x )的不动点x*,I x x*- I x x I.还有k1 - L10I x 一 x* II x 一 x I.k1 一 Lk+1k推论 如果迭代函数g (x) e Cia, b,并且(1) Vx e a,b,都有g(x) e a,b,(2) 30 L 1,使得Vx e a,b,都有 I g(x) l L 1;那么1) 方程f(x) = 0在a,b上有唯一的根x*,2) Vx e a,b,迭代x= g(x ) (k = 0,1,2,)收敛于x*,0k+1kLk3) I x - x* II x

25、- x I,k1 - L 104) I x - x* II x - x I.k 1-Lk+1k定理3 若x *为迭代函数g (x)的不动点,g (x)在x *的某邻域 内有连续导数，且I g(x*) I 1,则迭代法(2.2)是局部收敛的.牛顿迭代法:xk+1f (x )kf(x )k两点弦截法:x = xk+1kf (x)f (xk) - f (xk-1)- x ).k-1回顾作业: p290,2,4,7,12，15，16.讲4，12，15.练习2已矢口x =申(兀)在a,b内只有一根，而当a x k1,试将x =申(x)化为适当的收敛的迭代形式.练习3考察求解x = 4-2x的迭代法,直接

26、迭代或适当变形1练习4对于给定正数c,应用牛顿法解方程1 -c二0,x并证明：当初值x满足0 02x 2时收敛.0 c解：牛顿迭代公式xk+11 c二 x a二 x (2 cx ).k ikk因为r = xk1=xck-xk1=xc(2 cx ) = c( x )2 = cr2 , k1k 1ck1k 1cr = (cr )2 = (cr )4 = (cr)2k.kk 1k 2021 1 1所以当0 xo 时，- xo , 1 c?o 1，0 cc c0 c0得出收敛性 r = 1(cro)2k T 0.kc0三、矩阵特征值问题计算基本内容及基本要求1. 了解特征值和特征向量的概念和性质,了解

27、圆盘定理、Schur定理和Rayleigh商。2. 掌握乘幂法，了解其加速收敛技术,会反幂法。3. 了解豪斯霍尔德方法。4. 了解QR方法。定理8(Gerschgorin圆盘定理)(1)设A = (a ),则A的每j nxn一个特征值必属于下列某个圆盘之中nI 九一 a1 . 九n对任何非零初始向量v (a丰0),计算01u = v ,0 0(2.9)v = Au , kk-i(k = 1,2, )p = max(v ),kku = v / p .k k klimuk Tax1max(x )1lim pkTa定理15设A e Rnxn为非奇异矩阵且有n个线性无关的特征向量, 其特征值满足n-1

28、对任何非零初始向量u = v （a丰0），计算00 nv = A-iu ,kk-1vu = kk max(v )k(k = 1,2,.).limukTanmax(x )nlim max(v ) =kTa定理16设A e Rnxn有n个线性无关的特征向量,A的特征 值和特征向量记为九和x (i = 1,2,n),而p是九的近似，且i ij0 九一 p X - p, (j 丰 i).ji对任何非零初始向量u (a丰0),计算0jv = (A pI) -i u ,kk-1v(k = 1,2,.).(2.12)u =k,kmax(v )kxj, max(v ) Tmax(x )kj11,p + X -

29、 pmax(v )jkTX.j反幂法计算公式:1. LU分解：P(A - pI) = LU，保存 P, L, U.2. 反幂法迭代(1)解Uv = (1,1,1)t 得v,卩=max( v ), u = v / 卩;Ly = Pu kk -1Uv = y ,kk1 1 1 1 1 1 1卩=max( v ), u = v / R , k = 2,3,.kk k k k-4 14 0练习5用幕法求A = -5 13 0的按模最大特征值及其-10 2特征向量(要求迭代三步即可).解：设u = v = (1,1,1)t，贝 I00v = Au =(10,8,1)t ,10卩=max(v ) = 10

30、,11u = v / 卩=(1.0,0.8,0.1)t .1 1 1练习6 P334,4.=(10, 8,1)mul=10ui=(1.0000, 0.8000, 0.1000)t v2=(7.2000,5.4000, -0.8000)t mu =7.20002u2=(1.0000, 0.7500, -0.1111)t v3=(6.5000, 4.7500, -1.2222)t mu =6.50003u3= (1.0000, 0.7308, -0.1880)t(2) 0.780x + 0.563y = 0.217,(2)|(0.330 - 0.563x 0.585897) y = 0.127 - 0.217 x 0.585897.(0.330 - 0.329860) y = 0.127 - 0.127140,0.00014 y = -0.00014.y = -1.00000, x = 1.000004 *、设反双曲正弦f (x) = ln(x + 丫花+1)，试用六位函数表 计算f (30)和f (-30).