167;23连续型随机变量及密度函数

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1、 在上节我们研究了离散型随机变量，它取值是有限个或可列个，这当然有很大的局限性，在许多随机现象中出现的一些变量，如“测量某地气温”，“某型号显象管的寿命”，“某矿石的含铜量”，等它们取值可以充满某一区间，由于取值不可以一一列举，因此不可以象离散型那样写出分布列。因而我们研究随机变量在任意区间的概率。因为)()()(1221xXPxXPxXxP 所以只须知道)()(12xXPxXP 和x1Xx2X1、分布函数的定义、分布函数的定义 定义定义 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F(x)=P(Xx)称为X的分布函数。对于任意x1,x2,(x1x2)有 P(x1X x2)=P(X x2)P(X

2、x1)=F(x2)F(x1)由于分布函数的引入,便可以运用数学分析的方法来研究 随机变量.x2、分布函数的性质 （2）.(有界性)0 F(x)1，且 1)(,0)(FF（1）单调不减性 x1x2,则 F(x1)F(x2)（2）F(x)=P(Xx)，由概率性质 0 P(Xx)1 所以 0 F(x)1（1）x1x2，F(x2)F(x1)=P(x1X x2)0 则 F(x1)F(x2)()(XPF1P )()()0(:)3(xFxF 右连续性右连续性 例例1 1.已知随机变量X X的概率分布为 试求其分布函数 X 1 2 3 P 0.2 0.3 0.5 解=0,x 10.2,1 x20.5,2x31

3、 ,x3XF(x)03120.20.51X 1 2 3当x1时，F(x)=P(X x)解.题目：题目：已知随机变量X X的概率分布为试求其分布函数 X 1 2 3 P 0.2 0.3 0.5 所以，F(x)当1 1x2 时，F(x)=P(X x)当2x3 时，F(x)=P(X x)当x 3 时，F(x)=P(X x)=P()=0=P(X=1)=0.2=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5=P()=1解例例2.设随机变量X的分布函数为F(x)=0 ,x 10.4,1 x10.8,1 x31 ,x 3则X的概率分布为x-1 1 1 1 3 3 P 0,4 0.4 0.2 题目：题目：

4、设随机变量X的分布函数为F(x)=0 ,x 10.4,1 x10.8,1 x31 ,x 3则X的概率分布为解 课内练习 袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5 从中任取3球,求3个球中最大号码X的的概率分布和分布函数.解12345X=3，4，5样本空间基本事件总数个10C35“X=3”=（）占有基本事件占有基本事件123个1C33“X=4”=（)()()占有基本事件占有基本事件124134234个3C23 同理“X=5”占有基本事件个6C24 球 5x 15x4 404x3 103x 0 xF 106103101543 X106CC5XP 103CC4XP 101CC3XP 352435233

5、533,.,.,)(/:,)(,)(,)(分布函数的概率分布为二、例1 1 一个半径为2 2米的圆靶，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击均能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。解2解 若x0,则则Xx是不可能事件，于是是不可能事件，于是F(x)=P(X x)=0 若若0 x 2,由题意由题意P(0 Xx)=kx2,k待定待定 取取x=2，P(0 X2)=4k 而事件而事件0 X2是必然事件是必然事件 P(0 X2)=1，所以，所以4k=1，得，得k=1/4 即即P(0 Xx)=x2/4于是于是 F(x)=P(X x)=P(X0)+P(0 Xx)=

6、x2/4 若若X2，由题意，由题意Xx是必然事件是必然事件于是于是 F(x)=P(X x)=1F(x)=0 ,x0X2/4,0 x21 ,x2综合上述，即得综合上述，即得X的分布函数为的分布函数为x10 xF(X)2F(x)=0 ,x0X2/4,0 x21 ,x2它的图形是一条连续曲线，如上右图所示 ,02x0 ,x21xf xfxF 其它则若记)(,)()(xdxxfxF则，这说明F(x)恰好是非负可积函数f(x),在(，x)的积分，在这种情况下我们称X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度。1.1.定义定义 若存在一个非负可积函数f(x),使随机变量X的分布函数 F(x)对任何x可表述为

7、 dt tf)x(Fx其中其中f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度则称X为连续型随机变量。2.2.性质性质:0 xf (1).;)(;)(1dxxf .(2);)()(),).(21xx212121dxxfxXxP xx xx 3有（，对任意).()(,)(xfxF xxf (4).则处连续在若;)()()(1FdxxfdxxfF(x).(2)x因为，;)()()()()()(),).(2112xxxx12212121dxxfdxxfdxxf xFxFxXxP xx xx 3有（，对任意).()()()(,)(xfxF dxxfxF xxf (4).x 定理得则由积分上限函数求导处连续在若

8、Y=f(x)0 x1 x2 X（1）由定义由定义 f(x)0；(1)X为连续型随机变量在任意x0处，概率P(X=x0)=00 xXP0dxxf0 xdxxfxXxxPxXP00 xxxxxx0000000 )()()()()(，由夹逼定理时，P(X=x0)=0,并不意味着事件X=x0是不可能事件。一般概率为零的事件不一定是不可能事件，同样概率为1 的事件也不一定是必然事件。（2）X为连续型随机变量在任意x0处概率为零，故)()()(212121xXxPxXxPxXxP 例2.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=0 ,x0ax2,0 x21,x2求(1)常数a.(2)概率密度f(x).(3)

9、X落在(-1/2,3/2)内的概率.(4)作出 F(x),f(x)的图形.解题目：题目：设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=0 ,x0ax2,0 x21 ,x2求 (1)常数a.(2)概率密度f(x).(3)X落在(-1/2,3/2)内的概率.(4)作出F(x),f(x)的图形.41a 1a42FxF xF 1 02x 所以的连续性由）（解lim 2x 0 x ,02x0 ,x21)x(f xfxF2 或，16921F23F23X21P 3 ）（4）10 xf(x)20 xF(x)21解 求(1)常数k.(2)分布函数 F(x).(3)X 落在(0.1,)的概率。.例3.设随机变量X的概率

10、密度为 0 x 00 x kexfx3,)(3k 13kdxkedx0 dxxf 1-0 x30 ）（xx0dx0dxxfxF ,0 x (2)(3.00.13e)e(11 F(0.1)F()XP(0.1 (3)解x3x0 x30 xe1dxe3dx0 dxxfxF 0 x )()(,0 x e10 x ,0 xF x3,所以，(1)试确定常数A;(2)求X的分布函数F(x);(3)求概率 P(|X|1/2).课内练习课内练习1 1 已知随机变量X的密度函数 其它，02x0 Axxf)(.21A 1A2Axdx f(x)dx 12 0 -,)(16121F21F21XP (3)|2x 1xdx

11、22x0 4xxdx20 x 0dxxfxF (2)202x0 x ,)()(解 其它 0bxa ab1xf,)(定义 如果随机变量X的概率密度为服从均匀分布，），（记为记为baUX ,ba则称X在 例4.X在区间a,b 服从均匀分布.求 (1)X的分布函数F(x)；(2)作出F(x),f(x)的图形。解X的概率密度为 其它 0bxa ab1xf,)(xdxxfxF)()(bax0 xf)(0 xf)(ab1xf )(bx ,1bxa ,abaxax 0,xF()所以0dx0dxxfxF0 xxx )()(时，当 ,abaxdxab1dx0dxxfXFbxa xaax )()(时，当 1dx0

12、dxab1dx0dxxfxFbx xbbaax )()(时，当(1)f(x)b0aab1 x(2)abXF(x)10 例5 5.(候车问题)公共汽车站每隔1010分有一辆公共汽车通过,乘客到公共汽车站的时间是等可能的,求乘客候车时间不超过3 3分钟的概率(假设公共汽车一来乘客必能上车)。解 解 设刚开走的汽车是在 t0 时刻,于是下一部汽车将在t0+10 达到,又设乘客达到汽车站时间为X,由题意X在t0,t0+10 上是均匀分布的于是其概率密度“候车不超过3分钟”等价“t0+7xt0+10”10t7t000030dx10110tx7tP3P.)(分钟”“等候不超过 其它 010txt 101x

13、f00,)(t0 t0+7 t0+10 ),2 2x NX X0 x e21xf 22 ，（的正态分布，记为，服从参数为为常数，则称，其中，定义定义 若随机变量X的概率密度为（1 1）定义）定义,)(,)(),(x dxe21x X e21x 10 NX 10 x2x2x22其分布函数记为其概率密度记为记为时称为标准正态分布，特别地，当(2)图形图形XN(,2)密度函数密度函数 ，x e21xf 2x22 图形关于x=对称。X单调减，X=时有时有最大值 M=M=21 固定固定,变小,图形陡峭 变大,图形平坦.固定固定,增大图形往右平移，减小图形往左平移xf(x)0增大减小 x dxe21xF

14、x2x22,)()(XN(,2）其分布函数为(3)计算.当X N(0,1),)()()(abbXaP .)()(，可以查表求值xxXP 例如查表可得 ).(101 ).(750 ).(101X750P(x)()(x1x 0.8643226607734017501.).(637702266086430750101.).().(xxx212x xde21 dxe21xF222)()(.一般若X N(,2)()(xdue21xFx2u2)()()()()(121221xxxFxFxXxP)()(xxF所以，-xu令 x dxe21x 10 NX x2x2,)(),(其分布函数为 X N(2,22)，

15、=2，=2)()()(3F1F1X3P )()(xxF 由 223221)()(5051.624706915019332050151.例6 设X N(2,4)，求X落在 3,1 区间上的概率P(3X1)。解 例7.设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(160,2),欲使P(120X200)不小于0.8,允许最大为多少？解)()()(160120160200 200X120P 题目：题目：设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(160,2),欲使P(120X200)不小于0.8,允许最大为多少？解.)()()()()(801402 401404040 9090150291 1 9040.).(,.

16、)(得查附表0131 0131 29140.,.,.最大为所以允许 课内练习课内练习2 2 填空题填空题._)(,.)(),(0XP 304X2P 2NX 2则且若随机变量80250222244X2P30.)(.21200XP)(解0.30.30.220801.0 2 4 Xf(x)(4)(4)正态分布适用范围 正态分布是概率统计中最重要的分布，一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差，炮弹弹落点的分布，电子管或半导体器件中热噪声电流和电压，人的生理特征的尺寸：身高，体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径，长度，宽度，高度；都近似服从正态分布。一般说来，若影响某个数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正态分布，这点可以利用概率论的极限定理加以证明，另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可以利用正态分布来近似，另外一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中，正态分布十分重要。