[2.2.2反证法]数学课件

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1、2.2.2直接证明与间接证明-反证法 1.反证法是间接证明的一种基本方法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 2反证法的一般步骤(1)反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立 3.应用反证法证明命题时，反设必须恰当，常见的“结论词”与“反

2、设词”归纳如下：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词一个也没有至少有两个至多n1个没有或至少两个存在x0不成立存在x0成立原结论词都是p或qp且q反设词不都是p且qp或q 4常见的主要矛盾 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，常见的主要矛盾有三类：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾(自相矛盾)；(3)与定义、定理、公理、事实矛盾 5一般情况下，什么样的证明题型适宜用反证法 宜用反证法证明的题型一般有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”

3、类命题；(7)涉及“无限”结论的命题等.例例1 1 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x，x x 且且x x x x1212则ax=b，ax=b则ax=b，ax=b1212ax=axax=ax1 12 2 a ax x-a ax x=0 01 12 2 a a（x x-x x）=0 012121212 x x，x-x 0 x x，x-x 0 a=0 a=0 与已知a

4、 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。例例2 2：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a=b，则a=b,若 a=b，则a=b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。例例3 3 求证：求证：是无理数。是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2

5、=，n n m=2n m=2n2222 m=2n m=2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m=2 2k k（k kN N）22222222从而有4k=2n，即n=2k从而有4k=2n，即n=2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。(2009辽宁)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线(2)证明连结EN，如图假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN，又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直线