849理论力学复习

理论力学复习理论力学复习第一章 牛顿运动方程、运动方程：1),(22trrFrmdtrdm 22222222,zyxazyxvkzjyixrdtrdakzjyixrdtrdv 直角坐标系),(),(),(tzyxzyxFzmmatzyxzyxFymmatzyxzyxFxmmazxyyxx?,.,cos,sin00avktzctaybtax求例、已知2、平面运动极坐标系rerrrredtededted,222rrverervrerrerreaeaarrr )2()(2FrrmFrrmr)2()(2 3、平面运动自然标系esevv22,nnnaaaeaeaa2,vadtdvannnFmaFma例、?,sin4)(avRS，求已知sin4cos42RaRS cos4cos4RddRddS cos4cos4)cos4(222RRRan 2224 Raaan 4、运动定律与定理守恒定律。）角动量定理、角动量（、机械能守恒定律）动能定理、功能原理（律动量定理、动量守恒定32)1(知道守恒定律的条件。例、质点的约束运动例、质点的约束运动 ayx22ax 0一质量为一质量为m的小环，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程为的小环，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程为.试求小环自试求小环自处自由滑至抛物线顶点的速度及小环在此时所受的约束处自由滑至抛物线顶点的速度及小环在此时所受的约束反力。反力。解：本题是质点的约束运动问题，属动力学的逆问题。已知质点运动轨解：本题是质点的约束运动问题，属动力学的逆问题。已知质点运动轨迹，故采用自然坐标法较简便。迹，故采用自然坐标法较简便。如图如图1.21，质点运动微分方程为，质点运动微分方程为 cossin2mgNmmgdtdm XYOmgN N图图.gavgdyvdvmgdymgdsmvdvmgdsdvmvva002sinsincos2mgmN因因 ayy 2320)1(1 mgamgamgN21在顶点在顶点O处：处：x=0，=0，所以，所以 N=mg+mg=2mg 第二章 拉格朗日方程完整系。体系都叫不或受有可解约束的力学与微分约束的力学体系受有几何约束体系叫完整系，凡同时凡只受几何约束的力学束，又叫运动约束。和速度投影的是微分约含有坐标、时间的是几何约束，而同时。凡只含有坐标和时间有速度投影面而定：由约束方程中是否含）几何约束与微分约束（约束。就足以表示的是不可解解约束，用等式用不等式来表示的是可而定。除等式外还需要等式就足以表示束：由约束方程能否用）可解约束与不可解约（的为不稳定约束。的为稳定约束，含而定。不含是否显含时间束：由几何约束方程中）稳定约束与不稳定约（、约束的类别坐标一、约束的类别与广义)4(3211ttt叫广义坐标。这些独立变量的参数则度。用来表示数目叫力学体系的自由减少。这些独立坐标的独立坐标数系由于约束的存在而使对完整系而言，力学体、广义坐标与自由度2想约束。不可伸长的绳等都是理、光滑铰链、刚性杆、光滑面，光滑曲线束（为零时的约束为理想约虚功之和力在任意虚位移上所作）理想约束：诸约束反（位置及加于其上的约束点所在的发生的位移，决定于质）虚位移：想象中可能（而引起的。发生变化由时间动实际发生的位移，是）实位移：质点由于运（、实位移与虚位移二、虚功原理).03).02111iniNirFtt.0 12niiirFWnn等于零，即个外力所作的虚功之和约束来讲，此对理想、不可解个外力作用而平衡，则）力学体系如受（、虚功原理：为广义力。为广义动量，为体系的动能，日方程）非保守体系的拉格朗（自由度。的个数，约束方程，为力学体系的广义坐标）质点的位移（三、拉格朗日方程QqTTsQqTqTdtdskknsqqqnitqqqrrssii),.,2,1(,2,3,.,),.,2,1(),.,(12121 qrFQinii .1主动力的广义力，可以是力、力主动力的广义力，可以是力、力 矩或其矩或其 他力学量（不包含约束反力）他力学量（不包含约束反力）0)(qLqLdtd（3）、保守体系的拉格朗日方程）、保守体系的拉格朗日方程上式为保守体系的拉格朗日方程，常用的一种拉格朗日方程。式中：上式为保守体系的拉格朗日方程，常用的一种拉格朗日方程。式中：),(tqqLVTL 常数）。守恒，即守力作用下，能量则稳定约束的系统在保中不显含时间如）能量守恒（。守恒，即广义动量叫循环坐标。对应有一中不显含某一坐标如循环坐标（守恒量）：(t,L5常数bqL ,)4(iiEVTqqLii衡问题，即时的拉格朗日方程解平、能用体系动能；数示的体系的拉格朗日函、能写出用广义坐标表要求：0T2L1sqrFQinii,2,1,0.1 例如：教材46页例1、例3、练习2.14，2.15.2.19主动力的广义力，可以是力、力主动力的广义力，可以是力、力 矩或其矩或其 他力学量（不包含约束反力）他力学量（不包含约束反力）2.14iFFj ppydctglxylxxlyTTDDBBcc,0,sin20,sin;0,cos)1csc2(0)(03ldPtgFrrFrPqrFQTDBTciiiABCDMNPd2TFTFxyoMFNF2.15AdmgMooxydctglydlxjmgGcccos21sin21c32arcsin00ldrGqrFQciii2.19klpyllkypjllkflyj pplyfpfp222cos0)2cos2(2)2cos2(,cos22,cos第三章第三章 两体问题两体问题恒。子的角动量、机械能守）在有心力作用下，粒（为保守力、有心力的一般性质：的某一定点叫力心。、力心：作用力恒通过）中粒子的运动二、中心力场（有心力折合质量）。的质量变为用动力学方程时视后者相对其运动时，可在利体看成看成不动，而把另一物）相对运动：把一物体（子问题一、两体问题化为单粒3)2()()1(21(12121rerFFmmmm动的有效势三、中心力场中粒子运222)()(mrLrVrVeff称为称为有效势能有效势能，其中量其中量222/mrL称为称为离心势能。离心势能。表示：表示：径向径向部分部分r的运动，可以看成粒子在有效势场的运动，可以看成粒子在有效势场L为角动量（常量）和其轨道的稳定性：圆周运动的轨道由有效势判断粒子的作)1(圆形轨道稳定判据圆形轨道稳定判据 如果已知粒子在中心势场中沿圆形轨道运动，根据圆形轨道必在如果已知粒子在中心势场中沿圆形轨道运动，根据圆形轨道必在)(rVeff取极值处出现，而极小值为稳定轨道，所以圆形轨道稳定条件为取极值处出现，而极小值为稳定轨道，所以圆形轨道稳定条件为 0022drVddrdVeffeff2、用机械能守恒判断近日点和远日点、用机械能守恒判断近日点和远日点为远日点。为近日点，的两个解：这一方程所对应的时，常数maxmin2)(0)(21rrrErVrrVrmEeffeff刚体第四章 个自由度。有动与定点转动的合成。、一般运动：可视为平只有三个自由度。保持不动，刚体内只有一点始终、定点转动：在运动中自由度。合。有三个为平动及定轴转动的组的平面内运动。可分解某固定平面：各点均始终在平行于、平行于一平面的运动自由度。作圆周运动。只有一个轴线上某点点不动，其它各点都绕、定轴转动：转轴上诸度，与质点相同。运动。平动有三个自由一定是直线度及加速度相同，但不、平动：刚体各点的速动：一、刚体各种可能的运6543218.47.43.42110543)(21、练习页例例：教材点的线速度。求定点转动时刚体上某要求：会用（自转角）、（近动角）、（章动角）、定点转动的欧拉角系：、线速度与角速度的关、角速度。、无限小角位移是矢量不是矢量。对易律。故有限角位移矢量的加法时的有限转动，不遵守、有限运动：两个不同二、角速度矢量rvrvedtndennn4.30 x0y0zzo12ijkhRtg122112RhhRkRj hi hiRjRkhijkjRkhikrQ21212221221021210,00sinsincos)()sincos()()(0)(另解：ji4.70zozA0kkji0h ihvjhtgkhkkjjhtgkhkkjhtgkhkkvAAcos2sin0sincos0001100100100ihvrkkvrkkvvCAACACAcos200001001为底面的圆心基点法：c4.8ZOADBZADBij jbaakbi aikkvikkkkkbrkbi arkbi arBDBAsincossincossincos,2212212210210023211(1(1(外力矩）外）外力矩）外），、刚体的平衡方程机械能守恒）动能定理（保守系、（量定理）对定点或质心的角动（）质心运动定理（、刚体运动的微分方程程与平衡方程三、刚体运动的微分方ininiiininiicMFMdtJdFam为半径）惯量、实心球对直径的转动惯量的细棒对中垂线的转动、实心长为为半径）转动惯量、实心圆柱体对轴线的为半径）与板面垂直），轴过圆心轴在板面上，轴、圆板的转动惯量（四、转动惯量amaImaIaamaIamaIozoyoxzzzoz(.524.3123(.212(.2112020202一点的速度。（基点法）求刚体上任要求：会利用一点。，薄片上速度为零的那转动瞬心：在任一瞬时）速度及加速度（线的定轴转动。且垂直于固定平面的轴平动加上绕通过的随基点表，且可把运动分解为）刚体可用一截面来代（、运动学五、刚体的平面运动rvvrrdtdaarvvAAA)3(2AA11220.418.417.431181115E21)3()2(,122、练习页例、页例例：教材求平面运动要求：会利用上述定理动（机械能守恒）保守力作用下的平面运相对质心的角动量定理）质心运动定理（、动力学势能VIMIFmaFmazZzycyxxc4.17ABChmgmgghlvlghlglghmghmglmlEmglVmlmllmTc3)0(,3)0(sin33sin31sin31121212)41(212222222224.18RFCr222222222222232cos2)(21)(21)(21cosmrmRRFrFRxrRmrrrRmRRrRmIRxxRIfRFrxmfFcccc f4.20mm0vgmmvtmgftmfvtRmRfrtmftmfvtmfvvmRfrmafamfc)27(52,52002024.15ABN1N2C2的转动的平动与绕随CCcos21sin21lylxcc，cos21sin212cos3),sin(sin3sin2161sin21sin216112121212222222222llxlglglmgmllmgElmgVmlmlvvmTccycx ）（)sin32arcsin(sin2sin30cos21sin2102llxc ），故（离开墙壁时，kzj yi xdtrd 是质点相对于是质点相对于s系的运动速度系的运动速度相对运动速度；相对运动速度；rt 0 是由于是由于s s系的转动而引起的速度系的转动而引起的速度牵连速度；牵连速度；二、加速度变换关系二、加速度变换关系 r 0 是质点相对于是质点相对于s s系的运动速度系的运动速度绝对速度。绝对速度。r0一、绝对速度与相对速度、牵连速度的关系ctaaaa 第五章 非惯性系 其中：其中：dtda 相对加速度；相对加速度；)(000rrat 由于参考系由于参考系s转动而引起的牵连加速转动而引起的牵连加速 度；度；dtda 绝对加速度。绝对加速度。（3）s系相对于系相对于s系既转动又平动系既转动又平动tr 00 20 ca由于由于s系的转动和质点相对于系的转动和质点相对于s的运动而引起的的运动而引起的 科里奥利（科里奥利（Coriolis）加速度；）加速度；ctaaarraaa 2)(00000 ctaaaa rrrat20000)(or0Rrr2000)(r0kdtkdjdtj didti ddtddtd0000,2)1(）、（、三、重要公式学方程四、非惯性系中的动力ctFFFam )(000rramamFtt 牵连惯性力牵连惯性力20 mamFcc科里奥利力科里奥利力要求：1、能判断科里奥利力的方向2、能判断牵连惯性力的方向2、能利用非惯性系的动力学方程求解相对运动.510.59.5155、页例题、练习例：教材o0aijrNmg0ma5.9)sin)(sin(221sin)(21sin)(0202200agrvvmvragmmvragm机械能守恒：sin)()sin)(sin(2,sin)(sin)()(02022agmragrvmNrvagmmrNagmNrrmmar 5.10gvmgvmNNvmNRmMGvmRmNvRmMGRmNv000202022022220,0,0,05.130)2(4)41(2,)()cos()sin(22222222xagxaxxaxaxxxyxygyxxxyarctgNmgymxyarctgNxmxm ijayx42omgvxmFt2*vmFc2*N微振动第六章 日函数为：为零。则系统的拉格朗位置的势能只保留头一项。取平衡区域进行泰勒展开，并的表达式在平衡位置及势能前的系数中先将动能度）、振动方程（两个自由平衡是不稳定的。位置处势能有极大值，果在平衡动，平衡是稳定的。如后将作复杂的无阻尼振该处受微绕能有极小值，则系统在、如果在平衡位置处势：平衡位置附近的微振动VaxxijjiT21VTLxaxxaxxaxaxxTxbxxbxxbxbxxV)(21),()(21),(222212212112211121222212212112211121式中式中jijiijbxxVb 02)(，是常数。，是常数。)0,0(),(021axxaij数线性微分方程组由拉格朗日方程得常系2,10)(21ixbxajijjjij 的振动。标则作复杂频率的振动，而原有坐每一简正坐标都作单一正坐标。的项，这样的坐标叫简正则形式，即没有相乘同时变成和，使可以经过一个线性变换因动能是正定的，故总、简正坐标V3T4.61.62117821、练习、例页例例：教材。由度体系的振动圆频率、能求出简单的二个自函数系作微振动的拉格朗日、能写出二个自由度体要求：6.1k21cos,sin222rrmTryrx 2)(21coslrkmgrV势能、动能都是向平衡位置展开lkmg)0,lkmgr平衡位置（021100110)(,)(21,)(21qqVbqqbVVqqaTss222211211)(,0,lkmgmaaama0)()(,)()(21)()(21cos0)(21)(211202222022112220bblkmgmgVbkrVbkmgklkmgmglrkmgrVkmgklkmgmgVkmgrlkmgr令0000)()(21)(21)(2121222222rmkrkrrmrLrLdtdlkmgglkmgmglkmgmLLdtdkrlkmgmglkmgmrmL lkmggtAmktAlkmgrrr22221111,sin;),sin(.故是相对平衡位置的这里的6.41m2m3m1k2k3k0 x)(21)(21)(21)(21)(21)(21),(;212121)(21)(21)(21),(,:),(2333223222132113032021012323322122211133221132123322221123332232221321130320210130201033323221321123221321113211302010gkmkgkmmkgkmmmkgxmgxmgxmlxxklxxklxkgxmgxmgxmxxxVxmxmxmTgkmkgkmmkgkmmmkgxmgxmgxmxxxVgkmlgkmmlgkmmmlgkmmlgkmmmlgkmmmlxxx势能）（平衡位置：VTLbbkbbkbbkxVbkkxVbkkxVbxxxxxxxxx0,311332332221123)(3223332)(2222221)(12211,03,02,01,03,02,01,03,02,01的位置坐标是相对此时),(),(00)(0)()(21)(21)(21;212121302010321233333331223222221211132321223322322121233222211xxxxxxxkxkxmxkxkxkkxmxkxkkxmxxkxxkxkxkkxkkxmxmxmL