高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

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1、高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案 y2?2px (p?0)抛 物 线 l y y2-2px (p?0)y x2?2py (p?0)y F O x l x2-2py (p?0)y O F l O x l x O F x F 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的间隔 相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 MMF =点M到直线l的间隔 x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的间隔 焦点到准线的间隔 焦半径 x?0,y?R 关于x轴对称 (p,0) 2关于y轴对称 pp,0) (0,) 22

2、焦点在对称轴上 O(0,0) (?(0,?p) 2e=1 x-p 2x?p 2p 2y-p 2y?p 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的间隔 相等。 p A(x1,y1) AF?x1?p 2AF-x1?p 2AF?y1?p 2AF-y1?p 2焦 点弦 长 ?(x1?x2)?p (y1?y2)?p ?(y1?y2)?p AB (x1?x2)?p 焦点弦 y o A?x1,y1?x B?x2,y2?F AB的几条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必与准线l相切 假设AB的倾斜角为?，那么AB?2p2pAB? 假设的倾斜角为，那么 ?AB22sin?cos?p2x1x2? y1

3、y2-p2 411AF?BFAB2- AFBFAF?BFAF?BFp切线 y0y-p(x?x0) y0y?p(x?x0) 方程 一 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线， x0x?p(y?y0) x0x-p(y?y0) ，消y得： 1当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 2当k0时， 0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线l与抛物线相切，一个切点； 0，直线l与抛物线相离，无公共点。 3假设直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线必相切吗?不一定 二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用途理方法 直线l：y?kx?b 抛物线 联立方程法： ，(p?0) ?y?k

4、x?b?k2x2?2(kb?p)x?b2?0 ?2?y?2px设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，那么有-0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出y1?y2?kx1?b?kx2?b?k(x1?x2)?2by1y2?(kx1?b)(kx2?b)?k2x1x2?kb(x1?x2)?b2 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 1. 相交弦AB的弦长 AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?k2，? a或 AB?1?11?22 y?y?1?(y?y)?4yy?1?k121212k2k2ax1?x2y?y2， y0?1 22b. 中点M(x0,

5、y0), x0? 点差法： 设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得 y1?2px1 y2?2px2 将两式相减，可得 22(y1?y2)(y1?y2)?2p(x1?x2) y1?y22p?x1?x2y1?y2 2p y1?y2a. 在涉及斜率问题时，kAB?b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1?y22p2pp， -?x1?x2y1?y22y0y0 即kAB?p， y0同理，对于抛物线x2?2py(p?0)，假设直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，那么有kAB?x1?x22x0x0- 2p2pp注意能用这个

6、公式的条件：1直线与抛物线有两个不同的交点，2直线的斜率存在，且不等于零 抛物线练习及答案 1、点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q2，1的间隔 与点P到抛物线焦点间隔 之和获得最小值时，点P的坐标为 。 2、点P是抛物线y2?2x上的一个动点，那么点P到点0，2的间隔 与P到该抛物线准线的间隔 之和的最小值为 。 3、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，那么梯形APQB的面积为 。 -4、设O是坐标原点，F是抛物线y?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正2-向的夹角为60，那么OA为 。 ?5、抛物线

7、y2?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的局部相交于点A，AKl，垂足为K，那么AKF的面积是 。 6、抛物线C:y?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK?那么?AFK的面积为 。 22AF，x2y2-1，那么以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程7、双曲线45为 。 8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点A(2,1),假设线段OA的垂直平分线过抛物线y2?2px(p?0)焦点，那么该抛物线的方程是 。 9、在平面直角坐标系xoy中，抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，那么该抛物线的方程是 10、抛物线y-x上的

8、点到直线4x?3y?8?0间隔 的最小值是 。 11、抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，那么y12+y22的最小值是 。 12、假设曲线y|x|1与直线ykxb没有公共点，那么k、b分别应满足的条件是 。 13、抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，那么|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 14、抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线1(x13(x3上，且2x2?x1?x3， 那么有 222FP1?FP2?FP3 FP1?FP2FP2222?FP

9、32 2FP2?FP1?FP3?FPFP3 115、点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y2?2px(p?0)上的两个动点,O是坐标原点,-向量OA,OB满足OA?OB?OA?OB.设圆C的方程为x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0。 (1) 证明线段AB是圆C的直径; 25时，求p的值。 5-2-2解： (1)证明1: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)， (2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的间隔 的最小值为-2-2-2-2 OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，整理得: OA?OB?0，?x1?x2?y1?y2?

10、0，-设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,那么MA?MB?0， 即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0，整理得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0， 故线段AB是圆C的直径。 -2-2证明2: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)， -2-2-2-2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，整理得: OA?OB?0， ?x1?x2?y1?y2?0.(1) 设(x,y)是以线段AB为直径的圆上那么即y?y2y?y1-?1(x?x1,x?x2)， x?x2x?x1去分母得: (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0， 点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满足上方程,展开并将(1)代入得: x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0， 故线段AB是圆C的直径。 -2-2证明3: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)， -2-2-2-2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB， -整理得: OA?OB?0，?x1?x2?y1?y2?0(1) 以线段AB为直径的圆的方程为 (x?x1?x22y?y221)?(y?1)?(x1?x2)2?(y1?y2)2， 224第 7 页 共 7 页