历年文科高考椭圆题带解析.docx

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1、B.C.D.5 c 3xa2 b 2B.1 1答案:Dx= ,PFPF= ,a c2 a 22 a 2x第六节 椭圆强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A.4 3 2 15 5 5 5答案:B解析:由 2a,2b,2c 成等差数列,所以 2b=a+c. 又 b 2 =a 2 -c 2 ,所以 ( a +c )2=4(a2-c2).所以 a = c .所以 e = = 3 a 5.2 y 22.已知椭圆 + =1(a b 0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF x uuur uuur点 P.若 AP =2PB ,则椭

2、圆的离心率是( )轴,直线 AB 交 y 轴于A.3 22 2C. D.3 2uuur uuur uuur uuur解析:对于椭圆, AP =2PB ,则 OA =2OF ,1.a=2c. e =22 y 23.已知椭圆 + =1(a b a2 b 20)的左、右焦点分别为 F ( -c,0)1、 F ( c,0),2若椭圆上存在一点 P 使a c sinPFF sinPF F1 2 2 1则该椭圆的离心率的取值范围为 .答案:( 2 -1,1)|PF | |PF |解析:因为在 PF F 中,由正弦定理得 2 = 1 ,1 2 sinPFF sinPF F1 2 2 1则由已知,得 即 a|

3、 |=c| |.|PF | |PF | 1 21 2 1 1由椭圆的定义知| PF |+| PF |=2a,1 2则ca|PF2|+|PF2|=2a,即|PF2|= ,c +a由椭圆的几何性质知|PF2|a+c,则 0,所以 e2 +2e -1,解得 e 2 -1.又 e (0,1),故椭圆的离心率 e ( 2 -1,1).4.椭圆2 y 2+ =19 2的左、右焦点分别为 F 、 F ,1 2点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= ;F PF1 2的大小为 . 答案:2 120o1x4 25c 31x 2x2, x =得1= ( -2 - ) +() =由 = ,或,解析: a

4、2 =9,b2 =2, c = a 2 -b2 = 9 -2 = 7.| F F | =2 7 . 1 2又| PF |=4,| PF |+| 1 1| PF |=2.2PF2|=2a=6,又由余弦定理,得 cos2 2 +4 2 -(2 7) 2F PF = =- , 1 2 2 2 4 2 F PF =1201 2o,故应填 2,120o.5.已知椭圆2 y 2+ =1(a b a2 b 20)的离心率 e =32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1) 求椭圆的方程;(2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标为(-a,0).若|AB| = ,求直线

5、l 的倾斜角;uuur uuur若点 Q (0,y ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA QB =4.求 y00的值.解:(1)由 e = = ,得3a a 22=4c2.再由 c2=a2-b2,解得 a=2b.由题意可知 2 a 2b =4,2即 ab=2.a =2b,解方程组 得 a=2,b=1.ab =2,所以椭圆的方程为 +y42=1.(2)由(1)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x ,y ),1 1则直线 l 的方程为 y=k(x+2).直线 l 的斜率为 k.y =k ( x +2),于是 A,B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理,得+y 2

6、=1. 4(1+4 k 2 ) x 2 +16 k 2 x +(16k 2 -4) =0.由 -2x = 116 k 2 -4 2 -8k 1 +4 k 2 1 +4 k22.从而 y = 14 k1 +4 k2.所以|AB|2 -8k 2 2 4 k 2 4 1 +k 1 +4 k 2 1 +4 k 2 1 +4 k 22.4 2 4 1 +k 2 |AB| 得 =5 1 +4 k 24 25.整理得 32 k 4 -9 k 2 -23 =0,即 ( k 2 -1)(32k 2 +23) =0,解得k =1.p 3p所以直线 l 的倾斜角为.4 4设线段 AB 的中点为 M,由得 M 的坐标

7、为 ( -8k 2 2 k 1 +4 k 2 1 +4 k2).以下分两种情况:()当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,00=- ( x + )6 k0uuuruuur2+ (+ )14x11a 2 b2b 2b 2xxxxxuuur uuur于是 QA =( -2,-y),QB =(2,-y) uuur uuur由 QA QB =4,得 y =2 2 .0.()当 k 0时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y -2 k 1 8k 2 1 +4 k 2 k 1 +4 k 2.令 x=0,解得 y =- .1 +4 k 2由 QA =( -2,-y),

8、QB =( x ,y -y ), uuur uuur 0 1 1 0 QA QB =-2x -y ( y -y )1 0 1 0=-2(2 -8k ) 6 k 4k 6 k 1 +4 k 2 1 +4 k 2 1 +4 k 2 1 +4 k 2=4(16k 4 +15k (1 +4 k 2 )22-1)=4,整理得 7 k 2 =2 .故 k = ,7所以 y =02 145.综上 ,y =2 20或 y =02 145.课后作业巩固提升 见课后作业 A题组一 椭圆的离心率问题1.椭圆2 y 2+ =1(a b a 2 b20)的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P

9、 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,22B.(0, 2C. 2 -1,1)D. ,1)2答案:D解析:|AF| = -c = , c c所以 a +c , c而|PF| a +c,即 2e2 +e -1 0,解得12e 0, m2 n2n0)的右焦点与抛物线 y 2 =8 x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.C.2 y 2+ =112 162 y 2+ =148 64B.D.2 y 2+ =116 122 y 2+ =164 48x1 x2,2a =12,a=6,b=3,则所 + =1求椭圆方程为 .xuuuuuuur uuuuuu

10、urxa bx=1;二者联立解得点 T ( ,+,x2+答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在 x 轴上.由 e =12,可得 m=4, n2=m2-c2=12 .故选 B.题组二 椭圆的定义2 y 24.设 P 是椭圆 + =125 16上的点.若 F ,F 1 2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )A.4 B.5C.8 D.10答案:D解析:因为 a=5,所以|PF1|+|PF2|=2a=10.5.设直线 l:2x+y-2=0 与椭圆 x 2 +y 24=1的交点为 A、B,点 P 是椭圆上的动点,则使PAB 面积为 的点 P3的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.

11、4答案:D解析:联立方程组2x +y -2 =0, y 2x 2 + =1, 4x =0, x =1,消去 y 整理解得: 或 |AB| = 5 ,y =2 y =0,结合图象知 P 的个数为 4. 题组三 椭圆的综合应用6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为32,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 .答案:2 y 2+ =136 9解析: e =3 x 2 y2 36 97.已知 F1、F2是椭圆 C:2 y 2+ =1(a b a2 b20)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 PF PF .若 PF F1 2 1 2的面积为

12、 9,则 b= . 答案:3 |PF |+|PF|=2a, 1 2解析:依题意,有 |PF |PF|=18,1 2|PF |2+|PF |2=4c2 1 2,可得 4c 2 +36 =4 a2 ,即a 2 -c 2 =9,b=3.2 y 28.在平面直角坐标系 xOy 中 ,A,A ,B,B 为椭圆 + =1(a b 1 2 1 2 2 20)的四个顶点,F 为其右焦点,直线A B 与直线 B F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 . 1 2 1答案:2 7 -5解析:直线 A B 1 2的方程为:y+ =1-a b;直线 B F1的方程为

13、:x y 2ac b( a +c ) c -b a -c a -c),则 OT 中点 M (ac b ( a +c ) a -c 2( a -c )2 y 2在椭圆 + =1(a b a 2 b20)上,c 2 ( a +c ) ( a -c ) 2 4( a -c ) 2=1,c2+10 ac -3a2=0,e3+10e-3=0,解得 e =2 7 -5.22 x 2uuur uuurx = ,c =2( x -c ), 2 3c b2 2y =- ,1 aa 2 3c a 2 3c c= , e =x9.已知椭圆 C:x 22+y2x 2=1 的两焦点为 F ,F ,点P ( x ,y )

14、 满足 0 01 2 0 0 2+y201,则|PF |+| PF |的取值范围1 2为,直线x x0 + y y =1 2 0与椭圆 C 的公共点个数为 .答案: 2,2 2)0解析:延长 PF 交椭圆 C 于点 M,故| F F | | PF |+| PF | MF |+| MF |=2a,1 1 2 1 2 1 2即 2 | PF |+| PF | 2 2 ;1 2x x当 y =0 时 ,0x 2 2,直线 0 +y y =1 为 x= ( -,-2)( 2 ,+) 0 0 2 0 x0点;与椭圆 C 无交当 y 00时,直线x x0 +y y =1 为 y = 2 0x x1 - 0

15、,代入 +y 2 =1 y 20中有x 2( 0 +y220) x2-2 x x +2 -2 y 020=0 .x 2 D=4 x 2 -4( 0 0 2+y 2 )(2 -2 y 2 ) 0 0=8(x 20 +y220-1) b0)过点 (1, ),离心率为 ,2 2左 、右焦点分别为 F 、F .点 P 为直1 2线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A,B和 C ,1 32+ =1, =x 22 12 11 31 3D,O为坐标原点.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 设直线 PF ,PF 的斜率分别为 k ,k .1 2 1 2()

16、证明: - =2 .k k1 2()问直线 l 上是否存在点 P,使得直线 OA ,OB,OC,OD的斜率 k ,k ,k ,k 满足OA OB OC ODk +k +k =0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;存不存在,说明理由.OB OC ODk +OA解:(1)因为椭圆过点 (1, ),e=222,所以1 1 c 2 a 2 2b 2 a 2.又 a2=b2+c2,所以 a = 2,b=1,c=1.故所求椭圆的标准方程为 +y22=1.(2)()证明:方法一:由于 F ( -1,0),F (1,0),PF ,PF 的斜率分别为 k1 2 1 2 1所以 k k ,k 0,k 0

17、 .1 2 1 2又直线 PF ,PF 的方程分别为 y =k ( x +1),y =k ( x -1),1 2 1 2 k +kx = 1 2 , k -k联立方程解得 2k ky = 1 2 , k -kk +k 2k k所以 P( 1 2 , 1 2 ) .k -k k -k2 1 2 1由于点 P 在直线 x+y=2 上,k +k +2k k所以 1 2 1 2 =2 .k -k2 1因此 2 k k +3k -k =0,1 2 1 2即 - =2,结论成立.k k1 2y y.方法二:设 P ( x ,y ),则k = 0 ,k = 00 0 1 x +1 2 x -10 0因为点

18、P 不在 x 轴上,所以 y 0 .又 x +y =2,0 0x +1 3( x -1) 4 -2 x 2 y所以 - = 0 - 0 = 0 = 0 =2.k k y y y y1 2 0 0 0 0因此结论成立.()设 A( x ,y ),B( x ,y ),C( x ,y ),D( x ,y )A A B B C C D D,k ,2且点 P 不在 x 轴上,xA BA B1 111OAOBOCOD5 35 35 3联立直线 PF1与椭圆的方程得y =k ( x +1), 1 2+y 2 =1, 2化简得 (2 k 2 1+1) x2+4 k 21x +2 k 2 1-2 =0,4k 2

19、 2k 2 -2因此 x +x =- 1 ,x x = 12k 2 +1 2k 2 +1 1 1由于 OA,OB 的斜率存在,所以 x 0,x 0,因此 k 2 0,1.A B 1y y k ( x +1) k ( x +1)因此 k +k = A + B = 1 A + 1 B OA OB x x x xA B A Bx +x 4 k 2=2 k +k A B =k (2 - 1 )x x 2 k 2 -2A B2 k=- 1 .k 2 -11相似地,可以得到 x 0,x 0,k2 0,1,kC D 2 OCk k故 k +k +k +k =-2( 1 + 2 )k 2 -1 k 2 -1

20、1 2+kOD2k=- 2 ,k 2 -12k k 2 -k +k 2 k -k=-2 1 2 1 1 2 2( k 2 -1)(k 2 -1)1 22( k k -1)(k +k )=- 1 2 1 2 .( k 2 -1)(k 2 -1)1 2若 k +k +k +k =0,须有 k +k =0 或 k k =1 .OA OB OC OD 1 2 1 2 当 k +k =0 时,结合()的结论,可得 k =-2,所以解得点 P 的坐标为(0,2); 1 2 2 当 k k =1 时,结合()的结论,解得 k =3 或 k =-1( 此时 k =-1,不满足k k , 1 2 2 2 1 1 2方程为 y=3(x-1),联立方程 x+y=2 得 x = ,y = .4 4舍去),此时直线 CD 的因此 P ( , ).4 4综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为(0,2),( , ) 4 4.