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1、第二章习题解答2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。解：均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为 所以 对于半圆片的质心，即代入，有2.3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去，跳的距离增加了多少？解 建立如图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动
2、，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有 可知道 水平距离 跳的距离增加了 =2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。解 因为质点组队某一固定点的动量矩所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如图2.5.1图所示薄圆盘，任取一微质量元， 所以圆盘绕此轴的动量矩 =2.6 一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为及。当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量，使此炸弹分为
3、及两部分。在开始时，两者仍沿原方向飞行，试求它们落地时相隔的 距离，不计空气阻力。解：炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分，速度分别变为沿水平方向的，并一此速度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求，。炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒： 以质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒： 联立解之，得 所以落地时水平距离之差=2.8 一光滑球与另一静止的光滑球发生斜碰。如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。证 以连线为轴
4、建立如题2.8.1图所示的坐标。设初始速度为与轴正向夹角碰撞后，设、运动如题2.8.2图所示。、速度分别为、，与轴正向夹角分别为、。以、为研究对象，系统不受外力，动量守恒。方向：垂直轴方向有： 可知 整个碰撞过程只有系统内力做功，系统机械能守恒：由得 即： 即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证。2.9 一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成角。求碰撞后第一小球偏过的角度以及在各种值下角的最大值。设恢复系数为已知。解 类似的碰撞问题，我们一般要抓住动量守恒定理和机械能守恒定理得运用，依次来分析条件求出未知量。设相同小球为，初始时小球速度，碰撞后球的
5、速度为，球的速度以碰撞后球速度所在的方向为轴正向建立如题2.9.1图所示的坐标(这样做的好处是可以减少未知量的分解，简化表达式)。以、为系统研究，碰撞过程中无外力做功，系统动量守恒。方向上有： 方向上有： 又因为恢复系数 即 =用- 用代入得 求在各种值下角的最大值，即为求极致的问题。我们有 得 即 =0 所以 即 由因为 = 故=所以 2.10 以为研究对象。当发生正碰撞后，速度分别变为，随即在不可伸长的绳约束下作圆周运动。以的连线为轴建立如题2.10.1图所示。碰撞过程中无外力做功，动量守恒：随即在的约束下方向变为沿轴的正向，速度变为 故 方向上有故恢复系数定义有：= 即 联立得 2.12
6、质量为的球以速度与质量为的静止球正碰。求碰撞后两球相对于质心的速度和又起始时，两球相对于质心的动能是多少？恢复系数为已知。解 对于质心系的问题，我们一般要求求出相对固定参考点的物理量，在找出质心的位置和质心运动情况，由此去计算物体相对或绝对物理量及其间的关系。由题可知，碰前速度为，速度。碰后速度，分别设为。碰撞过程中无外力做功，动量守恒。有恢复系数 联立得 再由质点组质心的定义： 为质心对固定点位矢，分别为 ，对同一固定点的位矢所以 （质点组不受外力，所以质心速度不变。）设两球碰撞后相对质心的速度，。（负号表示与相反）同理，碰撞前两球相对质心的速度（负号表示方向与相反）所以开始时两球相对质心的
7、动能：=2.13长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子边缘时，链条的速度。用机械能守恒方法；在链条下滑过程中，只有保守力重力做功，所以链条的机械能守恒。以桌面所平面为重力零势能面。有2.15机枪质量为M，放在水平地面上，装有质量为的子弹。机枪在单位时间内射出的质量为m.其相对地面的速度则为，如机枪与地面的摩擦系数为，试证当全部射出后，机枪后退的速度为 解 这是一道变质量的问题，对于此类问题，以机枪后退方向作为轴争先，建立如题2.15.1图的坐标。竖直方向上支持力与重力是一对平衡力。水平方向上所受合外力F即为摩擦力单位时间质量的变化 由式所以 2.16 雨滴落下时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解 这是一个质量增加的问题。雨滴是本题。导致雨滴变化的微元的速度。 雨滴的质量变化是一类比较特殊的变质量问题。我们知道处理这类问题常常理想化模型的几何形状。对于雨滴我们常看成球形，设其半径为，则雨滴质量是与半径的三次方成正比（密度看成一致不变的）。有题目可知质量增加率与表面积成正比。即为常数。我们对式两边求导由于=，所以对式两边积分 以雨滴下降方向为正方向，对式分析 当时，所以
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