6SPS与6PSS并联机构的运动与受力分析

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1、6-SPS与6-PSS并联机构的运动与受力分析与传统的串联机构相比，并联机构的运动与受力分析具有反解容易而正解复 杂的特点。为了解并联机构的这些特点，本文针对6-SPS和6-PSS两种6自由度 并联机构的运动和受力特性进行了简单推导，得出一些关于求解矩阵的有趣结 论。1、6-SPS推导过程6-SPS并联机构又称Stewart平台，由上平台、下平台以及连接上下平台的6 个支撑杆组成，支撑杆与平台通过球铰连接，支撑杆本身又能够通过液压驱动改 变长度，进而驱动上平台的运动，如图1所示。图1 6-SPS并联机构平台11运动分析首先对该并联机构进行自由度计算，下平台固定，活动构件数目n = 13，球 铰

2、个数P = 12，移动副个数P = 6，在每个支撑杆移动副上有一个绕轴转动的RP局部自由度，则局部自由度的总数为F二6。根据空间机构自由度的计算公式可 得：F = 6n - 3P - 5P - FRP=6 x 13 - 3 x 12 - 5 x 6 - 6=6在驱动上平台运动时，6个支撑杆的输入速度分别为v,v .v，上平台的运动1 2 6形式为螺旋运动，既有平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度V和转动角速度血,输入速度和平台速度之间有什么运算关系呢？图2 6-SPS并联机构速度分析如图2所示，取上平台的转动中心为O ,支撑杆1与上平台的铰接处取为A,中心O到铰接点A的向径为R，则上平台位于A点

3、处的速度可表示为：1设支撑杆1的方向向量为l，V向支撑杆1投影可得：1 AV -1 = (v + a x R ) -1A 111=v -1 + (a x R ) -111 1=v -1 + a - (R x l)11 1支撑杆1的输入速度V沿杆长方向，则V向支撑杆1的投影即为v，从而可得: 1A1v = V -1 = V -1 + a - (R x l )1 A 1111同理可求得其余支撑杆的速度表达式分别为：v = v -1 = v -1 + a - (R x l )2 A 222 2v 二 v -1 = V -1 + a - (R x l )3 A 333 3v 二 v -1 = v -1

4、 + a - (R x l )6 A 6666将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得：即:(I , R x I )1 1 1I , R x l2 2 2l , R x l=333l , R x l444l , R x l5 55l , R x l6 66(V )(l , R x l )11 1 1Vl , R x l22 2 2Vl , R x l3=333Vl , R x l4444Vl , R x l55551 J.l , R x l 丿6y 66 6(l , R x l )-1r v)1 1 11l , R x lV2 2 22l , R x lV3333l , R x lV4444

5、l , R x lV5555J , R x l /I 丿666， 6则上式可简写为:=J -11v3V4式即为6-SPS并联机构支撑杆输入速度与上平台输出速度的计算关系式。1.2受力分析设支撑杆1的驱动力为F,对上平台产生的的驱动力矩为:M = R x F图3 6-SPS并联机构速度分析如图3所示，相应地，支撑杆26的驱动力和驱动力矩分别为F ,M ),F ,M )F ,M ),F ,M )F ,M )，设上平台的负载力和负载力矩为 2233445566F, M )，根据力螺旋理论可写出以下平衡式：(F )(F ) F )(f ) F ) F )“F 1+2+3+4+5+6+lM丿l M丿 2

6、Zl M丿l M丿 4ylM 5丿lM 6丿lM丿二 O即:(F)1IR x F 丿 1 16IR6 F6 丿提出各驱动力的数值大小，可得:(l)、221R x l 丿、2 2y(l )、331R x l 丿、3 3Zf 111R x l 丿、1 1丿写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式:(l, l, l, l, l, l=123456,R x l , R x l , R x l , R x l , R 112233445x l , R x l .566y进一步简写为:、式(2)为6-SPS并联机构支撑杆输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。比较式(1)和式(2),可以发现两者具有相同

7、的计算形式，即系数矩阵分别为矩阵J的逆矩阵和转置矩阵，这说明了 6-SPS并联机构平台的速度解算和力与 i力矩解算具有一定的联系，这一结论可以为其他形式的6自由度并联机构解算起到参考作用。2、6-PSS推导过程6-PSS并联机构是对St ewart平台的一种变形，将支撑杆中的移动副放到下 端与下平台的连接处，移动副与杆通过球铰连接，即形成杆长不变的PSS支撑结 构，通过改变移动副的位置来驱动上平台实现不同的姿态，如下图所示。图4 6-PSS并联机构平台2.1运动分析首先进行自由度计算，作为下平台的6个滑块可沿导轨移动，形成移动副。 活动构件数目n二13，球铰个数P = 12，移动副个数P =

8、6。每个支撑杆与滑块RP的铰接处，支撑杆相对滑块有一个绕杆轴线转动的局部自由度，故局部自由度总 数为F二6。根据空间机构自由度的计算公式可得：F = 6n - 3P - 5P - FRP=6 x 13 - 3 x 12 - 5 x 6 - 6=6该机构有6个自由度，因此每个滑块都要进行驱动，才能保证机构有确定的 运动。6个滑块的输入速度分别为vV .v，上平台的运动形式为螺旋运动，既有1 2 6平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度V和转动角速度血，输入速度和平台速度 之间的运算关系推导如下。图5 6-PSS并联机构速度分析如图5所示，上平台与支撑杆1铰接处A点的速度可表示为:设支撑杆1的方向向量

9、为l，滑块1运动的方向向量为e。根据支撑杆1长度不 1 1变的特点可知，球铰A处速度v和滑块1的速度v在杆1上的投影相等，即：A1vl = vIA 111将式(3)代入上式，可得：(v + m x R ) -1 = v -11 1 1 1整理可得：v -1 m - (R x l )v =4 +11-1 e -1 e -11 1 1 1同理可求得其余滑块输入速度的表达式如下：v -1m - (R x l )V =4 +232 e -1 e -12 2 2 2v -1m - (R x 1 )V =4 +333 e -1 e -13333v -1 m - (R x 1 )V =6 +666 e -1

10、 e -16 6 6 6将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得：V3V4V5V6丿(1 R x 1 )i,i e -1e -1i i i i1 R x 1222 e -1，e -12 2 221R x 13,33e -1e -13 3331Rx 14 ,44 e-1e-14 4441Rx 15 ,55e-1e-15 5551Rx 16,66.e -1 e -1 丿V 6 6 6 6 7即: 1Rx 11,11e -1e-11 1111Rx 122、-122221 R x 13,33e -1 e -13 3331Rx 14,44e -1e-14 4441Rx 15,55e-1e-15 555

11、1 R x 16,66 e -1 e -16 6 6 6V3V4V5IV62(Ie “1 112e -12 213e -13 314e -14 415e -15 51I e -1 6 6R x 1 )i1e -11 1R x 12 2e -12 2R x 133e -13 3R x 144-e -14 4R x 155e -15 5R x 166-e -1 )6 6 7，则上式可简写为:V6丿式(4)即为6-PSS并联机构驱动滑块输入速度与上平台输出速度的计算关系式。2.2受力分析图6 6-PSS并联机构受力分析设滑块1的驱动力为F，支撑杆1为二力杆，对上平台球铰A处的作用力 1为F 。为推导

12、出F与F 的关系，隔离球铰B进行分析。A11 A1图7球铰B受力分析如图7所示，球较B平衡时，可得到下列关系：FA1 ei = f可解出F的数值大小为:A11 1支撑力F对上平台产生转矩M = R xF，同理可得其余各杆支撑力与A1A11 A1力矩。由力螺旋理论可写出以下平衡式：(f )(f )(f )A1+A2+A3 M、Al 7 M丿、4 O Zm丿(F、+ A4IM丿 A 4,(f )(f )(F A5+A6+m丿、4 Cm丿 M丿+二 O(f)(f)A1+A2R x F 丿R x F 丿、CAC/即:1A12 A2(F)+A3IR x F 丿A(F、+A4IR x F 丿4 A4 丿(

13、F)(F +A6+R x F 丿 6A6y M丿(F)A5IR x F 丿A二 O(l 5A5 (R提出各支撑杆力的数值大小,可得:(l 1Al (R、1(l 6A6 (Rx l丿66y(lf 2A2 (R x lV 2 2 F、 M丿A31 R x lV 33x l丿44y代入式(5)表示的各支撑杆力,可得由滑块驱动力表示的平衡式:(l1-1 . R x l 丿1、1 171e -1 1、 1(l6-1 R x l 丿6 6 6y+ 2 2e -1 R x l2 2、2 2 (F +3e -33(l3-1 R x l 丿3 33写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式:l6 - e l6 6(

14、l l l l l1 , 2 , 3 , 4 , 5e le l e l e le l1122334455X l66e l .6 6 7R x lRx l Rx lRx lR x l R1 ,I e上式可进一步简写为:(6)式(6)为6-PSS并联机构各滑块输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。对比式(4)与式(6)可以发现与式和式(2)相同的计算规律，即上平台输出速 度与滑块输入速度以矩阵J的逆矩阵为计算系数，上平台负载力和力矩与滑输2入力则以矩阵J的转置为计算系数。23小结将以上计算得出的4个解算公式分别罗列出来如下 6-SPS并联机构:C, m)r = J -1 (v , v , v , v , v , v )T1 123456(F,M)t 二Jt1 1234566-PSS并联机构：(v,血二 J -1 (v , v , v , v , v , v )t2 123456(6)(F, M )t 二 Jt2 123456可以看出，6-SPS和6-PSS并联机构在速度解算和受力解算上具有相同的运 算规律，可以设想，其他6自由度并联机构在进行相应解算时一定也会有相同的 规律可循。