多元线性回归拟合分析

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1、楚雄师范学院2012 年数学建模竞赛第一次实战训练（一）第一题论文题 目姓 名2012 年 8 月 20 日多元非线性回归拟合模型摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型，利用最小二乘法和极值 原理，导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。并用矩阵形式对规范方程组 进行表述,在所表述的诸矩阵中，结构矩阵是其基础。用它可方便地转化出其他矩 阵，这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。计算机根据输入数据自变量 的个数和实验所作次数的多少，求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程 质量的数据。关键字：规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对 称矩阵；数据分析；计算机拟

2、合；矩阵形式自变量。1 问题重述行YX1X2X3X4X5X614434979768152052290277031661293676115921300933945369262925824754816742941632026296315434141111974531056047510212861711485841720285951498727112-124210400155999151117411473626281912071215725117994513440456584191319514480927563920232151362726824171341653011152931113256176

3、107810284572661861710687821872761960097987112826620480676562131219621279382644108110224465632991681882345054100501115205243355355608017025459615379651932663060108104178273274838378711182332861774125661642652960589121718828330388643081101017631351344465791433236671345689162334938830871302073464811210

4、5123512343544957697254200363406135551301523729229454713131233868882105812092683940880556111119740461828854147225要求：1.检验强影响点；2. 正态性检验；3. 相关性检验；4. 自变量的多重共线性检验；5. 残差的相关性分析，模型的合理分析。6. 预测 x 0=(470 81 82 50 13.7 225)。2 问题分析先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若 预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或 其他更优模型，反复进行

5、判断和优化，最后得到较理想的预测方程。并用一定的评 价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。3 基本假设与符号说明符号说明xi多元线性回归的输入变量yi多元线性回归的输出变量xi多元非线性回归的输入变量yi多元线性回归的输出变量B回归系数回归系数估计值八 y输出变量估计值Q残差平方和E拟合误差8无偏估计值s 2方差R复相关系数SE标准误差4模型建立3.1问题分析3.2模型建立(1)我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元 线性回归模型。Y二卩+卩+卩 X +8011mm8 N(0q2)为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对

6、其产生影 响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相 关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。设随机变量X、Y、Z之间彼此存在着相关关系，为了研究X和Y之间的关系， 就必须在假定Z不变的条件下，计算和Y的偏相关系数，记为r。xy. z在考察多个变量时，X (i=1, 2., P)之间的p-1阶偏相关关系可由如下i的递推式定义：rrrr0i 12 (i_1)(i+1) ( p_1) 0_jp 12 ( p_1) 0iP 12 (i_1)(i+1) (p_1)Oi.12(i-1)(i+1).p1 _ r 2：1 _ r20 p.12.( p _1/ip.1

7、2.(i_1)(i+1).( p _1)计算得出输出变量的相关性检验。(3)我们建立部分多元非线性回归模型，来判断在Y与X的模型中有交互i作用的X的形式。iy = b + b x + b x + b x 2 + b x 2 + b x 2 + b x x + b x x + b x x +s01 12 311 122 233 312 1213 2 323 2 3其中，& N(0q2)在判断出的形式的形式后，我们建立所有X与Y的多元非线性回归模型。i工P x xjk j k1 j 丰 k F （m, n 一 m 一 1） o1-a（8）回归系数的检验判断每个自变量X对y的影响是否显著。iH.t

8、(n m 1)Qn - m -1其中，H :卩二 0,H :卩丰 0, B N(卩,c b2),i = 1,.,m0 i1 iii ii(9)相关系数检验复相关系数R是衡量y与x ,xx相关程度的指标，R的值越接近于1，它们12 m的相关程度越密切。5 问题求解问题1.首先用 spss13.0 画出箱图，粗略分析出强影响点有 3,12,34。然后再用马氏距离和cook精确的计算强影响点。nh = （x 一 X） T Y -1（ x 一 x） 马氏距离公式：i i心iY（y. - y.）Cook 公式：c =i C 2（p + 1）用spssl3.0录入数据结果如下：序号马氏距离cook距离序号

9、马氏距离cook距离13.481340.00124212.859480.0091926.760130.00118225.820880.00797314.184950.00081235.133280.0012543.16810.0093243.475490.0423754.829770.00097251.988530.0192364.193830266.975580.0003277.03770.0028270.478060.00485810.623870.00036287.336760.0039894.669190.03478295.264680.00278109.567810.00002302

10、.543730.00128112.749570.00155312.404540.01858129.866940.09157322.449460.00372135.310180.0088336.655230.01903147.2036503438.01355822.2362159.522520.80856353.053650.00568165.912370.00399364.374170.01539174.492650.04509373.384320.00037184.514720.00635385.25690.0791192.135360.00031392.828140.02569200.98

11、8760.01049402.490160.04144观察出第34点为强影响点。杠杆值求解通过MATLAB6.5 (附件1)解得结果如下: diag(p)ans0.11430.19830.38870.10620.14880.13250.20550.29740.14470.27030.09550.27800.16120.20970.26920.17660.14020.14080.07980.05040.09830.17430.15660.11410.07600.20390.03730.21310.16000.09020.08670.08780.19560.99970.10330.13720.111

12、80.15980.09750.0889问题2.用spssl3.0画出柱状直方图如下:H is to g ra mDependent Va riable: YR e g re s s io n S tandardized R e s id u a l 近似可以观察出服从正态分布。Me a n = -2.64ES td. De v. = 0.92N = 40-16问题3.运用eviews检测相关性如下：Correlation MatrixX1X2囂X4X5X6YXIi.oom0.4654280.452436-0.04525E-0.0254350.6144320.773266X2D.4654231.

13、D3COOO0.3073010.1053730.1D19360.5388770.783455X3D.4524360.3073011.000000-0.009220.0454250.4393320.644318X4-D.0452530.1053730.0092721.0000000.0045300.1701880.190673X5-D.0254850.1019360.0454250.0043001.0000000.0340890.030136X6D.6144320.3038770.4393320/7013E-0.0340391.0000000.744039YD.7732660.7834650.6

14、443180.190673-0.03010607148391.000000（相关系数矩阵）问题4：用spssl3.0对多重共线性分析如下：（多重共线性分析图）经检测x x x具有多重共线性。消除多重共线性后运用eviews建立模型如下所1, 3, 6示：最小二乘拟合结果ASSIGN.ALLFY 二 1.818080154 x X + 2.155389782 x X +1.71890666 x X + 4.40193983 x X1234-1.863859843x X + 0.1792912411x X53问题5：运用eviews对残差自相关性检验如下：(图为残差线图)先做序列e为残差序列，由图

15、可知残差不具有自相关性。 问题6.将已知值与所建立模型值画图，如图所示：-J hLdS. T Actual: YSa nple: 1 4Di ulLLt ubt.trfcL Liis 41Poh VEaii Gquars J Cr cr32.Vtdii Absul Jle IZi ji2C.559Vean Abs. Teicei: iZrio7.2-373Thei nequality Coefficient0.D344EBias Prcificirlion0.DD01EvorinTr?卩ord0.33G57Covariarcc P-cporticr0.3332经过分析，所建模型与实际问题偏差不大，所以对x0= (470 81 82 50 13.7 225) 的预测值Y为1404.9.参考文献1 王璐.SPSS统计分析基础、应用与实践M.北京：化学工业出版社，20102 杜强.SPSS统计分析从入门到精通M.北京：人民邮电出版社，20093 姜启源数学模型M.北京：高等教育出版社，2008附件：1. x,textdata=xlsread(a.xls); x= y=b,bint,r,rint,stats=regress(y,X) b,bint,r,rint,stats=regress(y,x) z=stepwise(z,y,1,2,3,4,5)