立体几何截图和作图

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1、2021/6/161立体几何专题(1)多面体的截面多面体的截面多面体的截面多面体的截面在课本在课本P59例例3、P63B1处体现。处体现。2021/6/162一、定义及相关要素一、定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个个几何体的截面几何体的截面此平面与几何体表面的交集此平面与几何体表面的交集(交线交线)叫做叫做截线截线此平面与几何体的棱的交集此平面与几何体的棱的交集(交点交点)叫做叫做截点截点二、作多面体截面二、作多面体截面1方法方法(交线法交线法)该作图关键在于确定截点，有了位于多该作图关键在于确定截点，有了位于多

2、面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面面2作截线与截点的主要根据作截线与截点的主要根据有：有：(1)确定平面的条件确定平面的条件(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线

3、就和交线平行这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行交线平行2021/6/163三、作图题型三、作图题型1 截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有两截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有两点在同一个面的棱上点在同一个面的棱上作图题作图题1如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F、G分别分别在在AB、BC、DD1上，求作过上，求作过E、F、G三点的截面三点的截面作法：作法：(1)在底面在底面AC内，过内，过E、F作直线作直线EF分别与分别与DA、D

4、C的的延长线交于延长线交于L、M(2)在侧面在侧面A1D内，连结内，连结LG交交AA1于于K(3)在侧面在侧面D1C内，连结内，连结GM交交CC1于于H(4)连结连结KE、FH则五边形则五边形EFHFK即为所求的截面即为所求的截面2021/6/164作图题作图题2P、Q、R三点分别在直四棱柱三点分别在直四棱柱AC1的棱的棱BB1、CC1和和DD1上，试画出过上，试画出过P、Q、R三点的截面三点的截面作法：作法：(1)连接连接QP、QR并延长，分并延长，分别交别交CB、CD的延长线于的延长线于E、F.(2)连接连接EF交交AB于于，交，交AD于于S(3)连接连接RS、TP。则多边形。则多边形PQ

5、RST即为所求截面。即为所求截面。2021/6/165作图题作图题3已知已知P、Q、R分别是四棱柱分别是四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱的棱CD、DD1和和AA1上的点，且上的点，且QR与与AD不平行，求作过这三点的截面。不平行，求作过这三点的截面。作法：作法：(1)连接连接QP并延长交并延长交DA延长线于点延长线于点I。(2)在平面在平面ABCD内连接内连接PI交交AB于点于点M。(3)连接连接QP、RM。则四边形。则四边形PQRM即为所求。即为所求。2021/6/166作图题作图题4如图，五棱锥如图，五棱锥PABCDE中，三条侧棱上各有一已知中，三条侧棱上各有一已知点点F、G、H，求作过

6、，求作过F、G、H的截面的截面作法：作法：(1)将侧面将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥伸展得到三棱锥PBST(2)在侧面在侧面PBS内，连结并延长内，连结并延长GF，交，交PS于于K(3)在侧面在侧面PBT内，连结并延长内，连结并延长GH交交PT于于L(4)在侧面在侧面PST内，连结内，连结KL分别交分别交PD、PE于于M、N(5)连结连结FN、MH则五边形则五边形FGHMN即为所求的截面即为所求的截面2021/6/1672 截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上，其余点截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上，其余点在棱上在棱上作图题作图题5如图，正方体如图，正方体ABC

7、DA1B1C1D1中，中，E、F在两条棱上，在两条棱上，G在底面在底面A1C1内，求过内，求过E、F、G的截面的截面作法：作法：(1)过过E、F作辅助面。在面作辅助面。在面BC1内，过内，过F作作FF1BB1，交，交B1C1于点于点F1，则面，则面AFF1A1为所作的辅助面为所作的辅助面(2)在面在面AFF1A1内，延长内，延长F1A1交交FE的延长线于的延长线于P(3)在面在面A1B1C1D1内，连接内，连接PG交交A1B1于于M并延长交并延长交B1C1于于M。(4)连结连结ME并延长与并延长与BA延长线交于延长线交于Q，连接，连接QF交交AD于于H(5)连结连结EH，FN则五边形则五边形E

8、HFNM为所求的截面为所求的截面2021/6/168作图题作图题6已知直四棱柱已知直四棱柱AC1，P在面在面D1DCC1内，内，Q在面在面A1ADD1内，内，R在棱在棱BB1上，画出过上，画出过P、Q、R三点的截面。三点的截面。2021/6/169作法：作法：(1)过过P作作PP CD于点于点P，过，过Q作作Q Q AD于于Q。(2)在底面在底面ABCD内连接内连接AP、BQ，并交于，并交于H。(3)由平行线由平行线QQ、RB作平面作平面QQ BR，连接，连接QR。(4)在平面在平面QQ BR内过内过H作作KH面面ABCD交交QR于于K。(5)由平行线由平行线PP、AA1作平面作平面PP AA

9、1，则，则K必落在面必落在面PP AA1内。内。(6)在面在面PP AA1内，连接内，连接PK，并延长交，并延长交AA1于于M。(7)在面在面A1ADD1内，连接内，连接MQ，并延长交，并延长交DD1于于S。(8)在面在面D1DCC1内，连接内，连接SP，并延长交，并延长交CC1于于T。(9)连接连接RT、RM。则多边形。则多边形SMRT即为所求。即为所求。2021/6/16103 截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三点在多截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三点在多面体内面体内作图题作图题7试画出过正三棱柱试画出过正三棱柱ABCA1B1C1的底边的底边BC及两底中心及两

10、底中心连线连线OO1中点的截面。中点的截面。作法：作法：(1)过过A1A和和OO1作平面作平面AOO1A1，交，交BC于于D，交，交B1C1于于D1，则则D、D1分别为分别为BC、B1C1的中点。的中点。(2)在平面在平面A1AM内，作直线内，作直线DM交上底面交上底面A1B1C1于点于点G。(3)在平面在平面A1B1C1内，过内，过G作作EFB1C1交交A1B1于于E，交，交A1C1于于F。(4)连接连接BE，CF。则多边形。则多边形BCFE为所求。为所求。2021/6/1611作图题作图题8在侧棱和高的夹角为在侧棱和高的夹角为的正四棱锥中，求作一个过底面的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与

11、这点所对侧棱垂直的截面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(45)。作法：作法：(1)在平面在平面SAC中，作中，作AESC于点于点E。(2)在底面在底面ABCD内过内过A作作aBD。(3)延长延长CB、CD分别交分别交a于点于点M、N。(4)连接连接EM、EN，分别交，分别交SB、SD于点于点G、H。(5)连接连接AG、AH。则多边形。则多边形AGEH即为所求。即为所求。2021/6/16124 截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱上截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱上作图题作图题9P、Q、R三点分别在直四棱柱三点分别在直四棱柱AC1的棱的棱CC1、A1D1和和AB上，试画出过上，试画出

12、过P、Q、R三点的截面三点的截面2021/6/1613作法：作法：(1)先过先过R、P两点作辅助平面。过点两点作辅助平面。过点R作作R1RBB1交交A1B1于于R1，则面，则面CRR1C1为所作的辅助平面。为所作的辅助平面。(2)在面在面CRR1C1内延长内延长R1C1，交，交RP的延长线于的延长线于M。(3)在面在面A1B1C1D1内，连接内，连接MQ，交，交C1D1于点于点S，延长，延长MQ交交B1A1的延长线于点的延长线于点T。(4)连接连接TR，交，交AA1于点于点N，延长，延长TR交交B1B于点于点K，再连接，再连接KP交交BC于点于点L。(5)连接连接RL、PS、QN。则多边形则多

13、边形QNRLPS为所求。为所求。2021/6/1614注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。到截面与多面体的一个面的截线。若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。定的点。若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。与截面的交点。若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第

14、三平面相交，那么它们的交线互个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线。相平行的性质，可得截面与平面的交线。若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。2021/6/1615立体几何专题(2)空间图形的作图空间图形的作图空间图形的作图空间图形的作图在课本在课本P51A1、P62A4、P78A1&2处体

15、现。处体现。2021/6/1616一、空间几何作图的规则一、空间几何作图的规则：1通过不共线的三点作一平面通过不共线的三点作一平面2求两个可作相交平面的交线求两个可作相交平面的交线3在一个可作平面内，支持用直尺和圆规按照平面几何解决一在一个可作平面内，支持用直尺和圆规按照平面几何解决一切作图题切作图题4任意取一点，在或不在已知直线上，在或不在已知平面上；任意取一点，在或不在已知直线上，在或不在已知平面上；任意取一直线，通过或不通过一已知点，在或不在已知平面内；任意取一直线，通过或不通过一已知点，在或不在已知平面内；任意取一平面，通过或不通过一已知点，通过或不通过一已知任意取一平面，通过或不通过

16、一已知点，通过或不通过一已知直线直线5求已知球心及半径的球面求已知球心及半径的球面二、解作图问题的步骤二、解作图问题的步骤：1分析：假设求作的图形已经作出了研究已知条件和未知条分析：假设求作的图形已经作出了研究已知条件和未知条件间有何可以沟通的关系或中间条件，从而发现如何从已知条件间有何可以沟通的关系或中间条件，从而发现如何从已知条件通过中间条件的媒介达到未知条件件通过中间条件的媒介达到未知条件2作法：从分析的结果，写作法：从分析的结果，写(说说)出每一个作图过程出每一个作图过程3证明：证明所作图形确实满足所设条件证明：证明所作图形确实满足所设条件4讨论：研究在怎样的条件下，解答存在或不存在，

17、以及当解讨论：研究在怎样的条件下，解答存在或不存在，以及当解答存在时解的个数有多少答存在时解的个数有多少2021/6/1617三、简单作图题三、简单作图题作图题作图题1求作一平面使其满足下列条件之一：求作一平面使其满足下列条件之一：1通过一已知直线及其外一已知点；通过一已知直线及其外一已知点；2通过两已知通过两已知相交相交直线；直线；3通过两已知平行直线通过两已知平行直线作图题作图题2求已知直线和已知平面的交点求已知直线和已知平面的交点作图题作图题3求三已知平面的交点求三已知平面的交点作图题作图题4通过已知直线外一已知点，求作一直线使与该直线平行通过已知直线外一已知点，求作一直线使与该直线平行

18、.2021/6/16182021/6/1619作图题作图题5(P624)给定两条异面直线，求作一平面通过其中一线给定两条异面直线，求作一平面通过其中一线而平行于另一线而平行于另一线命题：过两异面直线中一个有且只有一平面与另一直线平行。命题：过两异面直线中一个有且只有一平面与另一直线平行。证明：证明存在性。证明：证明存在性。设直线设直线a、b异面。在异面。在a上任选取一点上任选取一点A，过，过A作作b b。相交直线。相交直线a和和b 确定一平面确定一平面，则，则b。证明唯一性。证明唯一性。设点设点A和直线和直线b确定平面确定平面，则，则b，Ab。假设过。假设过a还存在平还存在平面面b，则必有，则

19、必有与与相交。设相交。设b，则，则b b，Ab。b b 与与Ab 且且Ab 相矛盾。故相矛盾。故是唯一的。是唯一的。作图题作图题5解答唯一存在。解答唯一存在。作法：作法：在直线在直线a 上任取一点上任取一点A，过，过直线直线b与线外一点与线外一点A作平面作平面M，在平，在平面面M内作直线内作直线cb，过相交直线，过相交直线a与与c作平面作平面N则平面则平面N即为所求即为所求2021/6/1620作图题作图题6给定两条异面直线，过其一直线各作一平面使两平面给定两条异面直线，过其一直线各作一平面使两平面互相平行互相平行命题命题(P632)：a、b是异面直线，是异面直线，a，a，b，b存存在唯一一对

20、在唯一一对、使使。证明：证明：a、b异面，异面，a，b，由作图题，由作图题5的命题知，这样的的命题知，这样的面面有且只有一个。要确定它，只需在有且只有一个。要确定它，只需在a上任取一点上任取一点A作直线作直线b b，则，则a和和b 就确定了就确定了。同理，满足条件的同理，满足条件的也有且只有一个。要确定它，只需在也有且只有一个。要确定它，只需在b上任上任取一点取一点B作直线作直线a a，则，则b和和a 就确定了就确定了。综上知综上知、存在且唯一。存在且唯一。又又a a，b b，a、b，b、a，。作图题作图题6解答唯一存在。解答唯一存在。2021/6/1621作图题作图题7过给定平面外一点求作一

21、平面，使平行于该平面过给定平面外一点求作一平面，使平行于该平面命题：过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行。命题：过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行。证明：设证明：设A是面是面外一点。在外一点。在内任取两相交直线内任取两相交直线a、b，过，过A作作a a，b b，两相交直线，两相交直线a、b 确定面确定面。存在性证。存在性证明了。明了。假设过假设过A还存在还存在，则，则a，b。设过。设过A和和a的平面为的平面为，则，则与与必相交。设必相交。设a，则，则aa，a a，这与，这与Aa 且且Aa 矛盾。故矛盾。故 是唯一的。唯一性也证明了。是唯一的。唯一性也证明了。作图题作图题7解答唯一

22、存在。解答唯一存在。2021/6/1622作图题作图题8给定两直线给定两直线a、b及一点及一点A，求作一平面使通过，求作一平面使通过A并平行并平行于于a和和b解：解：1若若a、b异面，且异面，且A不在通过其中过一线而平行于另一线的不在通过其中过一线而平行于另一线的平面内，则问题有唯一解答。平面内，则问题有唯一解答。2若若a、b相交，且相交，且A不在不在a、b所确定的平面内，则问题有唯一解所确定的平面内，则问题有唯一解答。答。3若若a、b平行，且平行，且A既不在既不在a上又不在上又不在b上，则问题不定，即有无上，则问题不定，即有无穷多个解答。穷多个解答。4其它情形下，问题无解。其它情形下，问题无

23、解。作法：在作法：在a和和A确定的平面内过确定的平面内过A作作a a，在，在b和和A确定的平面内确定的平面内过过A作作b b。由。由a 和和b 确定的平面确定的平面即为所求。即为所求。2021/6/1623作图题作图题9求作一直线求作一直线l使与两直线使与两直线a、b相交，并通过此两直线以相交，并通过此两直线以外的一已知点外的一已知点M解：解：若若a、b共面于共面于1当当M时，有无穷多个解答时，有无穷多个解答2当当M 且且a、b相交时，有唯一解答。相交时，有唯一解答。3当当M 且且ab时，没有解答。时，没有解答。若若a、b异面异面1当当M在过在过a而平行于而平行于b的平面的平面内或在过内或在过

24、b而平行于而平行于a的平面的平面内时，内时，没有解答。没有解答。2当当M既不在过既不在过a而平行于而平行于b的平面的平面内又不在过内又不在过b而平行于而平行于a的平的平面面内时，有唯一解答。内时，有唯一解答。2021/6/1624作图题作图题10给定两条异面直线给定两条异面直线a和和b，求作一直线，求作一直线l使与使与a、b相交，相交，并与第三直线并与第三直线c平行平行解：解：若若c、a相交且确定平面相交且确定平面1当当b时，无解。时，无解。2当当与与b相交时，有一解。解为过相交时，有一解。解为过b与与的交点的交点A作作c的平行线。的平行线。若若c、a异面。设过异面。设过a且平行于且平行于c的

25、平面为的平面为。1当当b时，无解。时，无解。2当当与与b相交时，有一解。解为过相交时，有一解。解为过b与与的交点的交点B作作c的平行线。的平行线。综上知，当综上知，当a、b、c平行于同一平面时，无解；其它情况下，只平行于同一平面时，无解；其它情况下，只有一解。有一解。2021/6/1625作图题作图题11给定一平面及一斜线，求作在平面上通过斜足作一直给定一平面及一斜线，求作在平面上通过斜足作一直线，使与斜线成已知锐角线，使与斜线成已知锐角2021/6/1626作图题作图题12通过一定直线求作一平面，使与平面成定角通过一定直线求作一平面，使与平面成定角2021/6/16272021/6/1628

26、作图题作图题13给定两条异面直线，求作一直线和它们垂直相交。给定两条异面直线，求作一直线和它们垂直相交。解：过解：过b任意一点任意一点M作作a a，作过，作过b和和a 的平的平面面。过过a作面作面交交于于a0，则则a0与与b必相交必相交(反证法反证法)。设设a0bB。在。在内过内过B作作BAa0交交a于于A。故直线故直线AB即为所求。即为所求。2021/6/1629立体几何专题求求空间空间角的基本方法角的基本方法2021/6/16301异面直线上两点间的距离公式异面直线上两点间的距离公式已知夹角为已知夹角为的两异面直线的两异面直线a、b的公垂线段为的公垂线段为AA(A a，Ab)，E、F分别为

27、分别为a、b上的点，且上的点，且|AA|d，|A E|m，|AF|n，则，则_ 几个常用公式几个常用公式解：设经过解：设经过b与与a平行的平面为平行的平面为，经过经过a和和AA 的平面为的平面为，c，则则ca因而因而b、c所成角等于所成角等于，且且AA c又又AA b，AA 又又AA，在在内作内作EGc于于G，则，则EGAA，EG连接连接FG，则，则EGFG2021/6/1631注：还可用向量法注：还可用向量法2021/6/1632应用示例应用示例2021/6/1633选选A变式：将题中变式：将题中“正方形沿对角线正方形沿对角线BD折成直二面角折成直二面角ABDC”改为改为“正方形沿对角线正方

28、形沿对角线BD折成折成60二面角二面角ABDC”，其它不变，又如何？其它不变，又如何？2021/6/16342三余弦三余弦公式公式已知已知AO是平面是平面的斜线，的斜线，为斜足，为斜足，OB于于B，则，则AB是是AO在在内的射影设内的射影设AC是是内的任一条直线，且内的任一条直线，且BCAC于于C设设AO与与AB所成所成角为角为1，AB与与AC所成所成角为角为2，AO与与AC所成所成角为角为 则则_ coscos1cos22021/6/1635应用示例应用示例2021/6/1636选选C2021/6/16373射影面积射影面积公式公式已知二面角已知二面角 l 的面的面 内的平面图形内的平面图形

29、的面积为的面积为S，在面在面 内的内的射影图形射影图形 的面积为的面积为S，二面角，二面角 l 的大小为的大小为，则，则_。下面以下面以进行说明。进行说明。2021/6/1638一、基本方法一、基本方法1直接法：直接法：先作出平面角，再求其大小先作出平面角，再求其大小2间接法间接法(公式法公式法)：异面直线上两点间的距离公式异面直线上两点间的距离公式已知夹角为已知夹角为的两异面直线的两异面直线a、b的公垂线段为的公垂线段为AA(Aa，A b)，E、F分别为分别为a、b上的点，且上的点，且|AA|d，|AE|m，|A F|n，则，则_ 射影面积法射影面积法已知二面角已知二面角 l 的面的面 内的

30、平面图形内的平面图形的面积为的面积为S，在面在面 内的内的射影图形射影图形 的面积为的面积为S，二面角，二面角 l 的大小为的大小为，则，则_。向量法向量法求二面角的基本方法求二面角的基本方法2021/6/1639示例示例如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，中，AB面面BCD，BDCD。(1)求证：面求证：面ABD面面ACD；(2)若若ABBC2BD，求二面角，求二面角BACD的正切值。的正切值。(1)证明：证明：AB面面BCD，ABCD。又又BDCD，ABBDD，CD面面ABD。又又CD 面面ACD，面面ABD面面ACD。2021/6/16402021/6/1641二面角的平面角作二面角

31、的平面角作法法二二：作作DEBC于于E，DFAC于于F，连接连接EFAB面面BCD，面面ABC面面BCD，DE面面ABCDEACAC面面EFACEF则则DFE是二面角是二面角BACD的平面角。的平面角。说明说明：若在讨论二面角大小时，存在若在讨论二面角大小时，存在与二面角的一个面垂直而与二面角的一个面垂直而与二面角的另一个面相交的与二面角的另一个面相交的平面平面，常先该平面内作出两垂面交常先该平面内作出两垂面交线的垂线，然后构造出二面角的平面角线的垂线，然后构造出二面角的平面角。2021/6/16422021/6/16432021/6/1644射影作射影作法法二二：作作DEBC于于E，连接连接

32、AEAB面面BCD，面面ABC面面BCD，DE面面ABCADC在在面面ABC内的射影为内的射影为AEC二、作二、作(找找)二面角的平面角的基本方法二面角的平面角的基本方法1定义法定义法2三垂线法三垂线法3垂面法垂面法4转化法转化法2021/6/16451定义法定义法示例示例1 在在60的二面角的二面角a的两个面内，分别有的两个面内，分别有A和和B两两点已知点已知A和和B到棱的距离分别为到棱的距离分别为2和和4，且线段，且线段AB10，试求：，试求：(1)直线直线AB与棱与棱a所构成的角的正弦值；所构成的角的正弦值；(2)直线直线AB与平面与平面所构成的角的正弦值所构成的角的正弦值解析：在平面解

33、析：在平面内作内作ADa；在平面在平面内作内作BEa，CD EB，连结连结BC、AC则则BC DE，CDa，ABC是是AB与与a所成角，则由二面角所成角，则由二面角的平面角的定义，可知的平面角的定义，可知ADC为二面角为二面角a的平面角，即的平面角，即ADC602021/6/16462021/6/16472021/6/1648示例示例2如图，四棱锥如图，四棱锥ABCED中，中，DB和和EC与面与面ABC垂直，垂直，ABC为正三角形为正三角形(1)若若BCECBD时，求面时，求面ADE与面与面ABC的夹角；的夹角；(2)若若BCEC2BD时，求面时，求面ADE 与面与面ABC的夹角的夹角分析：如

34、图，面分析：如图，面ADE与面与面ABC的交线蜕化的交线蜕化成一点，但面成一点，但面ADE与面与面ABC与面与面DC相相交如果三个平面两两相交，它们可能有交如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：三种情况：(1)交线为一点；交线为一点；(2)一条交线；一条交线；(3)三条交线互相平行在图三条交线互相平行在图1中，两条交线中，两条交线BC与与DE互相平行，所以肯定有过互相平行，所以肯定有过A且平行且平行于于DE的一条交线如图的一条交线如图2，DE与与BC不平行不平行且相交根据三个平面两两相交可能出现且相交根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点的三种情况，这三个面的交线为一

35、点2021/6/1649解：解：CE面面ABC，BD面面ABC，CEBD。(1)CEBD，BC DE。过。过A作作AMDE，平面平面ADE与平面与平面ABC的交线即为的交线即为AM过过A作作ANDE于于N，过，过A作作AFBC于于FANAM，AFAM，则则NAF为面为面ADE与面与面ABC的夹角的平面角的夹角的平面角2021/6/1650(2)EC2BD，延长，延长ED、CB相交于相交于G点，连结点，连结AGAG即为平面即为平面ADE与平面与平面ABC的交线，的交线，点点B为为GC的中点。的中点。在在AGC中，中，ABACBCBG，ACAG。又又CE面面ABC，CEAC，CEAG，即证即证CA

36、E为平面为平面ADE与平面与平面ABC的的夹角的平面角夹角的平面角在在RtANF中，中，ACCE，CAE45。2021/6/1651示例示例3如图，空间四边形如图，空间四边形ABCD中，中，ABAD3，BCCD4，BD2，AC5试求试求ABDC二面角的余弦值二面角的余弦值说明：利用正说明：利用正和等腰和等腰中的三线合一中的三线合一找垂直关系找垂直关系。2021/6/1652示例示例4.如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD，ABBC6，ADCD4，BD8，AC5试求试求ABDC的余弦值的余弦值说明：利用说明：利用全等全等找垂直关系找垂直关系。2021/6/16532三垂线法作三垂线法

37、作(找找)出二面角的平面角出二面角的平面角示例示例1如图，在平面如图，在平面内有一条直线内有一条直线AC与平面与平面成成30，AC与棱与棱BD成成45，求平面求平面与平面与平面的二面角的大小的二面角的大小解：过解：过A作作AFBD于于F，AE平面平面于于E，连结连结CE、EF，则，则ACE是是AC与与所成角，所成角，AEBD，BD面面AEF，BDEF，则则AFE为二面角的平面角为二面角的平面角2021/6/1654说明：说明：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足应用垂直的垂线，可

38、过这一点向棱作垂线，连结两个垂足应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角到二面角的平面角(2)在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作作”、“连连”、“证证”2021/6/1655示例示例2如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M为棱为棱AD的中点，求平面的中点，求平面B1C1CB和平面和平面BC1M所构成的锐二面角的正切所构成的锐二面角的正切解析：平面解析：平面AC与二面角与二面角MBC1C的的一个面一个面B1C垂直，与另一个平面垂直，与另一个

39、平面 MBC1相交，相交，过过M点作点作MPBC于于P，面面AC面面B1C，MP面面B1C，MPBC1，过过P作作PNBC1于于N，连结，连结MN，BC1面面MNP，MNBC1，则则MNP为二面角为二面角MBC1C 的平面角的平面角2021/6/1656说明：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个说明：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线根据三垂线交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角定理即可证明，并找出二面角的

40、平面角2021/6/16573垂面法作垂面法作(找找)出二面角的平面角：作二面角棱的垂面，垂面与出二面角的平面角：作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。示例如图，已知示例如图，已知P为为CD内的一点，内的一点，PA于于A点，点，PB于于B点，如果点，如果APBn，试求二面角，试求二面角CD的平面角大小的平面角大小解：设过解：设过PA、PB的平面的平面与与CD交于点交于点E，连接连接EA、EB，又，又PAPACD，PBPACD，CD平面平面PAB，CDEA，CDEB，AEB为为 CD的平面角，的平面

41、角，在四边形在四边形PAEB中，中，AEB180n二面角二面角CD的平面角大小的平面角大小180n2021/6/16584平移平面转化法：根据平面平移不改变它与另一个平面构成平移平面转化法：根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角示例如图，正方体示例如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为AA1的中点，的中点，H为为CC1上的点，上的点，且且CHC1H12设正方体的棱长为设正方体

42、的棱长为a，求平面，求平面D1EH与底面与底面A1B1C1D1 构成的构成的锐二面角的正切锐二面角的正切2021/6/1659解析：取解析：取D1D中点中点M，连接，连接EM，则，则EMA1D1，在面，在面D1C中，过中，过M点作点作MNDD1交交 D1H于于N，则，则MNC1D1连接连接EN，可证平面，可证平面EMN平面平面A1B1C1D1这样，求平面这样，求平面D1EH与平面与平面 A1B1C1D1的的二面角的平面角就转化为求平面二面角的平面角就转化为求平面D1EH与平面与平面EMN的二面角的平面角的二面角的平面角过点过点M作作MFEN于于F，连结，连结D1F。D1M面面EMN，D1MEN

43、，EN面面D1MF，D1FEN则则D1FM为寻找的二面角的平面角为寻找的二面角的平面角2021/6/1660法二：法二：EA1面面A1C1，HC1面面A1C1，D1EH在面在面A1C1内的射影为内的射影为D1A1C1。2021/6/16612021/6/1662解：过棱解：过棱AC上一点上一点A作棱作棱AC的垂面，的垂面，交交CP的延长线于的延长线于H，交，交CB的延长线于的延长线于K，则则HAK就是二面角的平面角就是二面角的平面角或描述成：在平面或描述成：在平面ACP上作上作AHAC交交CP的延长线于的延长线于H，在平面，在平面BCP上上作作HKCH交交CB的延长线于的延长线于K，连结连结AK，则，则HAK就是二面角的平面角就是二面角的平面角由由AC面面AHK知，知，ACAK，ACHK在面在面ACH上作上作ADCH，由面，由面ACP面面BCP知，知，AD面面CHK，ADHK故故HK面面ACH，HKCH，HKAH2021/6/1663 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！