高考数学圆锥曲线及解题技巧

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1、0 高考数学圆锥曲线及解题技巧1. 点 P 处的切线 PT 平分F 在点 P 处的外角.1 22. PT 平分F 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的1 2圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.15. 若P ( x , y ) 0 0 0在椭圆x 2 y 2+ =1 上，则过 P 的椭圆的切线方程是 a2 b2x x y y 0 + 0 =1 a2 b2.6. 若P ( x , y ) 0 0 0在椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2外 ，则过 Po 作椭圆

2、的两条切线切点为 P 、P ，则切点弦1 2P P 的直线方程是 1 2x x y y 0 + 0 =1 a2 b2.7. 椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2(a b 0) 的左右焦点分别为 F ， F ，点 P 为椭圆上任意一点1 2F PF =g1 2，则椭圆的焦点角形的面积为SDF PF1 2=b2tang2.8. 椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（ab0）的焦半径公式：| MF |=a +ex 1 0,| MF |=a -ex 2 0(F ( -c,0) 1,F (c ,0) M ( x , y ) 2 0 0).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆

3、长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.。 、121210. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点，A P 和 A Q1 2 1 2交于点 M，A P 和 A Q 交于点 N，则 MFNF.2 111. AB 是 椭 圆x 2 y 2+ =1a2 b2的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M( x , y ) 0 0为 AB 的 中 点 ， 则k k =- OM ABba22，飒沓即K =-ABb 2 x0a 2 y0。12. 若P ( x , y ) 0 0 0在 椭 圆x 2 y

4、 2+ =1a2 b2内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是x x y y x 2 y 2 0 + 0 = 0 + 0 a 2 b2 a 2 b2.13. 若P ( x , y ) 0 0 0在 椭 圆x 2 y 2+ =1a2 b2内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是用心 爱心 专心- 1 -0 x 2 y 2 x x y y + = 0 + 0a 2 b 2 a 2 b 2.双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分F 在点 P 处的内角.1 22. PT 平分F 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直1

5、2径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P1在左支）5. 若P ( x , y ) 0 0 0在双曲线x 2 y 2- =1（a0,b0）上，则过 P 的双曲线的切线方程是 a2 b2x x y y 0 - 0 =1 a2 b2阿萨德.6. 若P ( x , y ) 0 0 0在双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P 、P ，则切点弦 P P 的直线方程是 1 2 1 2x x y y 0 - 0 =1 a2

6、b2.7. 双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,bo）的左右焦点分别为 F ，F ，点 P 为双曲线上任意一1 2点F PF =g1 2，则双曲线的焦点角形的面积为SDF PF1 2=b 2 co tg2.8. 双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,bo）的焦半径公式：(F ( -c,0) , F (c,0) 1 2当当M ( x , y ) 0 0M ( x , y ) 0 0在右支上时， 在左支上时，| MF |=ex +a , | MF |=ex -a . 1 0 2 0| MF |=-ex +a , | MF |=-ex -a 1 0 2 09. 设过双曲线焦点 F

7、作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A 、A 为双曲线实轴上的顶点，1 2A P 和 A Q 交于点 M，A P 和 A Q 交于点 N，则 MFNF.1 2 2 111. AB 是双曲线x 2 y 2- =1（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M a2 b2( x , y ) 0 0为 AB 的中点，则K K =OM ABb 2 x0a 2 y0，即K =ABb 2 x0a 2 y0。12. 若P ( x , y

8、) 0 0 0在双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是x x y y x 2 y 2 0 - 0 = 0 - 0 a 2 b2 a 2 b2.用心 爱心 专心- 2 -13. 若P ( x , y ) 0 0 0在双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是x 2 y 2 x x y y - = 0 - 0a 2 b2 a 2 b2.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭圆1. 椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（abo）的两个顶点为A ( -a,0) , A ( a ,0) 1 2，与

9、y 轴平行的直线交椭圆于 P P 时 A P 与 A P 交点的轨迹方程是 1、 2 1 1 2 2x 2 y 2- =1a2 b2.2. 过椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2(a0, b0)上任一点A( x , y ) 0 0任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBC=b 2 x0a 2 y0（常数）.3. 若 P 为椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（a b 0 ）上异于长轴端点的任一点 ,F , F 是焦点 ,1 2PF F =a1 2,PF F =b2 1，则a -c a b =tan co ta +c 2 2.4. 设椭圆x 2 y 2+ =1

10、a2 b2（ab0）的两个焦点为 F 、F ,P（异于长轴端点）为椭圆上任1 2意 一 点 ， 在 PF F 中 ， 记1 2F PF =a1 2,PF F =b1 2,F F P =g 1 2， 则 有sin a c= =esin b+sin g a.5. 若椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（ab0）的左、右焦点分别为 F 、F ，左准线为 L，则当 0e1 2 2 -1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 的比例中1 2项.6. P 为椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（ab0）上任一点,F ,F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则1 22 a

11、-| AF |PA | +| PF |2 a +| AF |2 1 1,当且仅当A, F , P 2三点共线时，等号成立.7. 椭 圆( x -x ) 0a 22( y -y ) 2+ 0 =1 与 直 线 Ax +By +C =0 b2有 公 共 点 的 充 要 条 件 是A2a2+B2b2( Ax +By +C )0 02.用心 爱心 专心- 3 -0 D PAB8. 已知椭圆x 2 y 2+ =1（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 a2 b2OP OQ.1 1 1 1 4 a 2b2（1） + = + ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 ;（3）| OP |2 |

12、 OQ |2 a2 b2 a 2 +b 2a 2b2的最小值是 .a 2 +b 2SDOPQ9. 过椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P，则| PF | e=| MN | 2.10. 已知椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（ ab0） ,A 、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P ( x ,0)0, 则-a2-b 2 a 2 -b x a a2.11. 设 P 点是椭圆x 2 y 2+ =1a2 b2（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 、F 为其焦点记1 2F PF

13、 =q1 2，则(1)| PF | PF |= 1 22b 21 +cosq.(2)SDPF F1 2=b 2 tang2.12. 设 A、B 是椭圆x 2 y 2+ =1（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB =a a2 b2,PBA =b,BPA =g， c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有2 ab 2 | cos a| 2 a 2 b2(1) | PA |= .(2) tan atan b=1 -e 2 .(3) S = cot g .a 2 -c 2 co s 2 g b2 -a 213. 已知椭圆x 2 y 2+ =1（ ab0）的右准

14、线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的 a2 b2直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离用心 爱心 专心- 4 -心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将

15、内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线1. 双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）的两个顶点为A ( -a,0) 1,A ( a ,0)2，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P P 时 A P 与 A P 交点的轨迹方程是1、 2 1 1 2 2x 2 y 2+ =1a2 b2.2. 过双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,bo）上任一点A( x , y ) 0 0任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBC=-b 2 x0a 2

16、 y0（常数）.3. 若 P 为双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F ,1F2是 焦 点 ,PF F =a , PF F =b1 2 2 1， 则c -a a b =tan co tc +a 2 2（ 或c -a b a =tan co tc +a 2 2）.4. 设双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）的两个焦点为 F 、F ,P（异于长轴端点）为1 2双曲线上任意一点，在F 中，记1 2F PF =a, PF F =b, F F P =g 1 2 1 2 1 2，则有sin a c= =e(sin g-sin b) a.5.

17、若双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）的左、右焦点分别为 F 、F ，左准线为 L，1 2则当 1e2 +1时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d1与 PF 的比例中项. 26. P 为双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）上任一点,F ,F 为二焦点，A 为双曲线内1 2用心 爱心 专心- 5 -0 一定点，则| AF | -2a |PA | +| PF | 2 1,当且仅当A, F , P 2三点共线且P和A, F2在 y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线x 2 y 2- =1（a0,b0）与直线 a2 b2Ax +By +C =0

18、有公共点的充要条件是A 2 a 2 -B 2 b 2 C 2.8. 已知双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 OP OQ .1 1 1 1 4 a 2 b2（1） + = - ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为 ;（3）| OP |2 | OQ |2 a2 b2 b 2 -a 2a 2b 2的最小值是 .b2 -a 2SDOPQ9. 过双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则| PF | e=| MN | 2.10. 已知

19、双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P ( x ,0)0, 则x 0a 2 +b 2 a 2 +b 2 或 x -a a.11. 设 P 点是双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 、F 为1 2其焦点记F PF =q1 2，则(1)| PF | PF |= 1 22b 21 -cosq.(2)SDPF F1 2=b 2 cotg2.12. 设 A、B 是双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB =a,PBA =b,

20、BPA =g，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)| PA |=2 ab 2 | cos a| | a 2 -c 2 co s 2 g|.(2)tanatanb=1 -e2.(3)SDPAB2a 2b2 = cotb2 +a 2g.13. 已知双曲线x 2 y 2- =1a2 b2（a0,b0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴， 则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直.用心

21、爱心 专心- 6 -15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数 e(离心率).(注: 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.用心 爱心 专心- 7 - 圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学 手段来处理问题。熟记

22、各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还 须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A（3，2），F（2，0），双曲线 1| PF | PA|+求的最小值。2x2-y 23=1，P 为双曲线上一点。解析：如图所示，Q1双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知 | PF | 即点 P 到准线距离。2| PA|+1 5 | PF | =|PA|+|PE | AM =2 2二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如图

23、所示的坐标系，设点 F 到准线 0）（t 为参数）l的距离为 p（定值），椭圆中心坐标为 M（t，Q p =b 2c，而c =t b 2 = pc = pt再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y），则 x=c=ty =b = pt消去 t，得轨迹方程y 2 = px三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形， 用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地 解决许多貌似困难和麻烦的问题。用心 爱心 专心- 8 -例 3. 已知x, y R，且满足方程x2 +y 2=3( y 0)，又m =y +3x +3

24、，求 m 范围。解析：Q m =y +3x +3的几何意义为，曲线x 2 +y 2 =3( y 0)上的点与点（3，3）连线的斜率，如图所示kPAm kPB3 - 3 3 + 5m 2 2四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就 和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆( x -3)2 +y 2=4 和直线 y =mx 的交点为 P 、 Q ，则| OP|OQ|的值为_。解：Q DOMP DOQN| OP|OQ| =|OM |ON | =5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机

25、融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力 工具。例 5. 已知椭圆：x 2 y 2+ =124 16，直线l：x y+ =112 8，P 是l上一点，射线 OP 交椭圆于一点 R，点 Q 在 OP 上且满足| OQ|OP| =|OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果 用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图， OQ ， OR ， OP 共线，设 OR =lOQ ， OP =mOQ ， OQ =( x，y)，则OR =(lx，ly)，OP =(mx，my)用心 爱心 专心- 9 -2 1 2

26、 y 2 2 Q| OQ|OP| =|OR|2 m|OQ|2 =l2|OQ| m=l22Q点 R 在椭圆上，P 点在直线 l 上l2x 2 l2y 2 mx my + =1 ， + =124 16 12 8即x 2 y 2 x y + = +24 16 12 8化简整理得点 Q 的轨迹方程为：( x -1) 2 ( y -1) 2+ =15 5（直线2y =- x3上方部分）2 3六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中 重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆x2 +y 2 +6 x -4 =0 和 x 2 +y 2+6

27、y -28 =0的交点，且圆心在直线x -y -4 =0上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：x2 +y 2 +6 x -4 +l( x 2 +y 2+6 y -28) =0(1 +l)x2 +(1 +l)y 2+6 x +6ly -(28l+4) =0则圆心为(-3 -3l ， )1 +l 1 +l，在直线x -y -4 =0上 解得 l=-7故所求的方程为x 2 +y 2 -x +7 y -32 =0七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线x 2 -y 22=1相交于两点 P 、P ，求线段

28、P P 中点的1 2 1 2轨迹方程。解：设P ( x ，y ) 1 1 1，P ( x ，y ) 2 2 2，则 y 2x - 1 2x - 2 2得=1=1用心 爱心 专心- 10 -1 2P P1 2 AMP PAM 2 2 ( x -x )( x +x ) = 2 1 1 2( y -y )( y +y ) 2 1 1 22y -y 2( x +x )即 2 1 = 1 2x -x y +y2 1 1 2设 P P 的中点为 M ( x ，y ) ，则0 0y -y 2 xk = 2 1 = 01 2 x -x y2 1 0y -1又 k = 0 ，而 P 、A、M、P 共线 x -2

29、0y -1 2 x k =k ，即 0 = 0 1 2 x -2 y0 0 P P1 2中点 M 的轨迹方程是2 x 2 -y 2 -4 x +y =0 解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题 考查直线 , 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识 . 解答题重点考查圆锥曲线中 的重要知识点 , 通过知识的重组与链接 , 使知识形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲线的位置 关系, 求解有时还要用到平几的基本知识

30、,这点值得考生在复课时强化.例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0tb 0) a 2 b 2有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程用心 爱心 专心- 11 - 0 0 BE讲解：从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程,由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为 y =kx +m ( k 0).代入椭圆方程 b2x2+a2y2=a2b2，得 b2x2+a2(k2x2+2 kmx +m2) =a2b2.化简后，得关于 x 的一元二次方程( a

31、2k2+b2) x2+2 ka2mx +a2m2-a2b2=0.于是其判别式D=(2ka2m )2-4( a2k2+b2)( a2m2-a2b2) =4 a2b2( a2k2+b2-m2).由已知，得=0 即 a2k2+b2=m2.在直线方程y =kx +mm中，分别令 y=0，x=0，求得 R ( - ,0), S (0, m ).k令顶点 P 的坐标为（x，y），由已知，得 m y x =- , k =- , k x解得 y =m. m = y. 代入式并整理，得ax22b2+ =1y 2,即为所求顶点 P 的轨迹方程方程a2 b 2+ =1x2 y 2形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图

32、形吗?例 3 已知双曲线x 2 y 2 2 3- =1 的离心率 e = ，过 A( a,0), B (0,-b) a 2 b 2 3的直线到原点的距离是32.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线求 k 的值.y =kx +5( k 0)交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，讲 解 ： （ 1 ）c 2 3=a 3,原 点 到 直 线AB ：x y- = 1a b的 距 离d =aab2 + b2=ab 3=c 2. b = 1, a =3 .x 2故所求双曲线方程为2- y= 1 .3（2）把 y = kx + 5 代入 x 2 - 3 y 2 = 3中消去 y，

33、整理得 (1 -3k2) x2-30 kx -78 =0 .设 C ( x , y ), D ( x , y ), CD1 1 2 2的中点是 E ( x , y )0 0，则x0x + x 15 k 5 y +1 = 1 2 = y = kx + 5 = , k = 02 1 - 3 k 2 1 - 3 k 2 x0= -1k. x +ky +k =0, 0 0即用心 爱心 专心- 12 -1 12 22 2c 1 +k2 1| k |AB 边上的高1 +k1 +k2 12 15 k 5 k+1 - 3 k 2 1 - 3 k 2+ k = 0 , 又 k 0 , k2= 7故所求 k= 7

34、 .为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F 、F 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F PF1 2 1 2的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F 与椭圆交于 A、B 两点，ABF 的面积最大值为 121（1）求椭圆 C 的离心率； （2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设| PF |=r ,| PF |=r ,| F F |=2 c 1 1 2 2 1 2, 对DPF F ,1 2由余弦定理, 得cos F PF = 1 2r 1 +r 2 -4c 1 22 r r1 22=(r +r ) 1 22 -2 r r

35、-4c1 22 r r1 22=4 a 2 -4c 2 r r1 22-1 4 a 2 -4c 2r +r 2( 1 2 ) 22-1=1 -2e2=0，解出e =22.（2）考虑直线 l 的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当 k 存在时，设 l 的方程为y =k ( x +c )椭圆方程为x 2 y 2+ =1, A( x , y ), B ( x , y ) a 2 b 2由2e = .2得a 2 =2c 2 , b 2 =c 2 .于是椭圆方程可转化为x2 +2 y 2 -2c 2=0将代入，消去y得 x 2 +2 k 2 ( x +c ) 2 -2 c 2 =0,整理为 x 的一元二

36、次方程，得(1 +2 k 2 ) x 2 +4 ck 2 x +2 c 2 ( k 2 -1) =0.则 x1、x2 是上述方程的两根且| x -x |=1 +2 k 2h =|F F | sin BF F =2c ,1 2 1 221 1 +k 2 | k |S = 2 2c ( ) 2c2 1 +2 k 2 22，2 2 c (1 +k| AB |= 1 +k 2 | x -x |=1 +2 k 2也可这样求解：1S = | F F | |y -y |1 2 1 2=c|k | |x -x |1 22)，=2 2c21 +k 2 | k | k 2 =2 2c 21 +2 k 2 1 +4

37、 k+k 42 +4 k4=2 2c24 +11 k 4 +k 2b 0) a 2 b 2相交于 A、B 两点，且线段 AB的中点在直线l : x -2 y =0上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆x2 +y 2=4上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为y =-x +1，A( x , y ), B ( x , y ).则由 2 2+ =1a b得( a2+b2) x2-2 a2x +a2-a2b2=0,根据韦达定理，得x +x =1 22a 2 a 2 +b 22b 2, y +y =-(x +x ) +2 = ,a 2 +b 2线

38、段 AB 的中点坐标为（a2a 2 b 2,+b 2 a 2 +b2）.由已知得a 2 2b 2- =0, a a 2 +b 2 a 2 +b 22=2b2=2( a2-c2) a2=2c2，故椭圆的离心率为用心 爱心 专心- 14 -0 0 0 0 0 0e =22.（2）由（1）知b =c ,从而椭圆的右焦点坐标为F (b,0), 设 F (b,0)关于直线l : x -2 y =0的对称点为y -0 1 x +b y( x , y ), 则 0 =-1且 0 -2 0x -b 2 2 2 0=0,解得3 4 x = b且y = b5 5由 已 知 得3 4x 2 +y 2 =4, ( b

39、 ) 2 +( b) 2 =4, b 2 =45 5， 故 所 求 的 椭 圆 方 程 为x 2 y 2+ =18 4.例 6已知M：x2 +( y -2) 2=1, Q 是 x轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点，（1）如果| AB |=4 23，求直线 MQ 的方程；（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.讲解:（1）由| AB |=4 23，可得| MP |= | MA | 2 -(| AB | 2 2 1) 2 = 12 -( ) 2 = , 2 3 3由射影定理，得| MB | 2 =|MP | |MQ |, 得 | MQ |=3,在 MOQ 中，| OQ |= |

40、 MQ | 2 -| MO | 2 = 3 2 -2 2 = 5，故a = 5或a =- 5，所以直线 AB 方程是2 x + 5 y -2 5 =0或2 x - 5 y +2 5 =0;（2）连接 MB，MQ，设P ( x, y ), Q ( a ,0),由点 M，P，Q 在一直线上，得2 y -2= , (*)-a x由射影定理得| MB | 2 =|MP | |MQ |,即x 2 +( y -2) 2 a 2 +4 =1, (*)把（*）及（*）消去 a，并注意到y 2，可得7x 2 +( y - ) 2 =4116( y 2).适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例 7如图，在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC=22。DOAB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；用心 爱心 专心- 15 -1 1 21 22 2 l（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设 定实数的取值范围