固体物理0404赝势方法

固体物理 Solid State Physics西南科技大学固体物理Solid State Physics4.4 赝势方法赝势方法 第四章第四章 能带理论能带理论固体物理 Solid State Physics西南科技大学04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似 04_03 三维周期场中电子运动的近自由电子近似三维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算模型和微扰计算 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场)(rVV周期性势场起伏量周期性势场起伏量VVrV)(微扰来处理微扰来处理势场的平均值势场的平均值固体物理 Solid State Physics西南科技大学 电子的波动方程电子的波动方程)()()(222rErrVm 晶格周期性势场函数晶格周期性势场函数)()(rVRrVm电子的波函数电子的波函数能量本征值能量本征值0()(1/)ik rkrV e2202kkEVm满足正交归一化条件满足正交归一化条件0*0,0Vkkk kdr 固体物理 Solid State Physics西南科技大学微扰时电子的能量和波函数微扰时电子的能量和波函数 近自由电子近似模型近自由电子近似模型微扰的情形微扰的情形0HHHVmH2202VVrVH)(波函数波函数001()1()nniG rik rnknkk GVreeEEV能量能量)()()()(222rErHrrVm222002nnknkk GVkEVmEE固体物理 Solid State Physics西南科技大学 一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大222002nnknkk GVkEVmEE001()1()nniG rik rnknkk GVreeEEV22nGkk0)21(nnGkG当当 和和 的零级能量相等的零级能量相等 knGkk非简并微扰不再适用非简并微扰不再适用固体物理 Solid State Physics西南科技大学nkkG0)21(nnGkG 三维晶格三维晶格 波矢在倒格矢垂直平分波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值面上以及附近的值非简并微扰不再适用非简并微扰不再适用固体物理 Solid State Physics西南科技大学简并微扰，布里渊区和能带简并微扰，布里渊区和能带 固体物理 Solid State Physics西南科技大学 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 每一个布里渊区的体积相同每一个布里渊区的体积相同_倒格子原胞的体倒格子原胞的体积积 每个能带的量子态数目每个能带的量子态数目 _ 2N(计入自旋计入自旋)三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同 使得不同的能带发生重叠使得不同的能带发生重叠 不同的布里渊区对应不同的能带不同的布里渊区对应不同的能带固体物理 Solid State Physics西南科技大学04_04 赝势方法赝势方法 近自由电子模型中近自由电子模型中假定假定周期性势场的周期性势场的起伏很小起伏很小，对一些金属计算得到的能带结果和实验结果是对一些金属计算得到的能带结果和实验结果是相符的相符的。实际的固体中实际的固体中_原子核附近原子核附近 库仑吸引作用使周期性势场库仑吸引作用使周期性势场偏离偏离平均值很远平均值很远 在离子实内部势场对电子波函数影响很大在离子实内部势场对电子波函数影响很大 电子的电子的波函数变化剧烈波函数变化剧烈固体物理 Solid State Physics西南科技大学 显然势场不能被看作是起伏很小的显然势场不能被看作是起伏很小的微扰势场微扰势场 这样的矛盾必须用这样的矛盾必须用赝势赝势来解决来解决 原子核附近原子核附近,库仑作用使周期性势场偏离平均库仑作用使周期性势场偏离平均值很远值很远 在离子实的内部用在离子实的内部用假想的势能假想的势能取代真实的势能取代真实的势能 在求解薛定谔方程时在求解薛定谔方程时 不改变能量本征值和离子实之间区域的不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数波函数 这个假想的势能就叫做这个假想的势能就叫做赝势赝势固体物理 Solid State Physics西南科技大学赝波函数赝波函数 由赝势求出的波函数由赝势求出的波函数 离子实之间的区域离子实之间的区域 真实的势和赝势给真实的势和赝势给 出同样的波函数出同样的波函数实际采用的赝势总是要使离子实内部的电子波函数平坦。实际采用的赝势总是要使离子实内部的电子波函数平坦。离子实的吸引作用，波函数的正交要求。离子实的吸引作用，波函数的正交要求。固体物理 Solid State Physics西南科技大学赝势要包含离子势和价电子的作用，有效势赝势要包含离子势和价电子的作用，有效势空中心模型空中心模型当当 rRc 时，时，当当 rRc 时，时，0)(2rVrZerVRc：离子实的半径：离子实的半径选择合适的选择合适的Rc，模型可与实验结果相符合。，模型可与实验结果相符合。实际中还要考虑其他的情况，实际中还要考虑其他的情况，如介电屏蔽作用，电子离子的相互作用。如介电屏蔽作用，电子离子的相互作用。固体物理 Solid State Physics西南科技大学()(,)kiiirCk r(,)ik r()atjlrR 晶体中价电子的波函数晶体中价电子的波函数正交化平面波正交化平面波 第第l个原子中电子束缚态波函数个原子中电子束缚态波函数 和和(,)ik r1()lik RatjkjllerRN 正交正交内层电子波函数内层电子波函数(,)0ijkk rij固体物理 Solid State Physics西南科技大学1(,)Miiijjkjk rkG()1ii k GrikGeN 1()lik RatjkjllerRN ijjkikG 1(,)Miijkjkijk rkGkG 正交化平面波正交化平面波 05/11固体物理 Solid State Physics西南科技大学投影算符投影算符jkjkjP (,)(1)iik rP kG1(,)Miijkjkijk rkGkG 电子波函数电子波函数()(,)kiiirCk r(1)iiiPC kGiiiC kG()(1)krP 令令固体物理 Solid State Physics西南科技大学22()()()()2kkkrV rrErm22()()2WV rV rPEPm 将波函数代入薛定谔方程将波函数代入薛定谔方程电子波函数电子波函数()(1)krP2222()()22V rV rPEPEmm 令令固体物理 Solid State Physics西南科技大学22()2W rEmiiiC kG22()()2WV rV rPEPm 22()()2V rPEPEH Pm 赝势方程赝势方程赝波函数赝波函数赝势赝势 因为因为投影算符投影算符jkjkjP 固体物理 Solid State Physics西南科技大学()EH P()()jjkjkjWV rEE jkjkjP ()jjkjkjEE22()()2WV rV rPEPm 赝势赝势()()WV rEH P()()jkjkjEH PEH固体物理 Solid State Physics西南科技大学iiiC kG()()jjkjkjWV rEE 0jEE 结果分析结果分析1)因为因为 赝波函数是光滑的赝波函数是光滑的 赝势赝势W必定比较小必定比较小2)赝势方程赝势方程晶体中电子的能量大于内层电子的能量晶体中电子的能量大于内层电子的能量()1ii k GrikGeN 10/11固体物理 Solid State Physics西南科技大学 削弱了赝势的真实吸引势能削弱了赝势的真实吸引势能()V r()()jjkjkjWV rEE 赝势方程赝势方程排斥项排斥项iiiC kG 赝波函数是光滑的赝波函数是光滑的 电子波函数电子波函数()(1)krP11/11