2023年人教A版选修11教案3.3.2函数的极值与导数

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1、2023年人教A版选修1-1教案 3.3.2函数的极值与导数 - 教育文库 3.3.2函数的极值与导数 教学目的： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.可以运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t?a时，高台跳水运发动距水面高度最大那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t?a附近函数h(t)的图像，如图3.

2、3-9可以看出h?(a)；在t?a，当t?a时，函数h(t)单调递增，h?(t)?0；当t?a时，函数h(t)单调递减，h?(t)?0；这就说明，在t?a附近，函数值先增t?a，h?(t)?0后减t?a，h?(t)?0这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h?(t)先正后负，且h?(t)连续变化，于是有h?(a)?0 3.3-8 3.3-9 对于一般的函数y?f?x?，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进展说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授 一、

3、导入新课 观察以下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点 Q(x2,f(x2) o a x1 x3 y y=f(x) P(x1,f(x1) b x 函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”函数由单调递增变为单调递减，在P点附近，P点的位置最高，函数值最大 二、学生活动 学生感性认识运发动的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构 极值点的定义: 观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。 一般地，设函数

4、y?f(x)在x?x0及其附近有定义，假如f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们说y 2 0 x f (x0)是函数y?f(x)的一个极大值；假如f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f (x0)是函数y?f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 获得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。 请注意以下几点：(让同学讨论) 极值是一个部分概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比拟是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 极大值

5、与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如以下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1)。 ZXXKy f(x4) f(x1) 3 4 函数的极值点一定出如今区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取o a x1 x2 xxb x 得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 极值点与导数的关系: 复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的互相关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系. 由上图可以看出，在函数获得极值处，假如曲线有切线的话，那么切线是程度的，从而有f?(x)?0。但反过来不一定。假设寻找函数极值点,可否只由f?

6、(x)=0求得即可? 探究:x=0是否是函数f(x)=x3的极值点?展示此函数的图形 在x?0处，曲线的切线是程度的,即f?(x)=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。假如x0使f?(x0)?0，那么x0在什么情况下是的极值点呢？ 观察下左图所示，假设x0是f(x)的极大值点，那么x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f?(x)?0，x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f?(x)?0，同理，如下右图所示，假设x0是极小值点，那么在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f?(x)?0，在x0的右

7、侧附近f(x)只能是增函数，即f?(x)?0， y y f?(x0) f?(x)?0 f?(x)?0 f?(x)?0 f?(x)?0 f?(x0) o a x0 b x o a x0 b x 从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时稳固导数与函数单调性之间的关系： 假设x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，那么x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且假如f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，那么x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；假如f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，那么x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。 结论：x0左右

8、侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0)=0 反过来是否成立?各是什么条件? 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0. 学生活动 函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D ) A、导数y/由负变正,那么函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,那么函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,那么函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,那么函数y由增变为减,且有极大值 四、数学应用 例1课本例4求f?x-解： 因为f?x-13x?4x?4的极值 3y 13x?4x?4，所以 3f?

9、x-x2?4?(x?2)(x?2)。 f?x-0,x?2,x-2 下面分两种情况讨论： 1当f2当fo x ?x?0,即x?2，或x-2时； ?x?0,即?2?x?2时. 当x变化时， f?x?，f?x?的变化情况如下表： -2 0 极大值(-2,2) 2 0 极小值?x y? -?,2? + ?2,-? + y 28 3 4 3 因此，当x-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(?2)?当x?2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)-函数f?x- 课堂训练:求以下函数的极值 28； 34。 313x?4x?4的图像如下图。 3y1f(x)=x3-4x+432-2Ox 12y?8x12x

10、?6x?1 1 y ? ? x x 32让学生讨论总结求可导函数的极值的根本步骤与方法： 一般地，假如函数y?f(x)在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值： 确定函数的定义域； 求导数f?(x)； 求方程 检查f?(x)=0Z#xx#k.Com的根，这些根也称为可能极值点； 的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最f?(x)在方程f?(x)0好通过列表法) 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号 例题2案例分析p 函数 f(x)?x3?ax2?bx?a2 在 x=1 时有极值10，那么a，b的值为C a?3,b-3或 a-4,b?11A、 a

11、- 4,b?1或 a-4,b?11B、 C、 D、 以上都不对 a-4,b?11 ?a?3?a-4?f(1)?10?1?a?b?a2?10或-略解:由题设条件得： ? f /( 1 ) ? 0 ? ? 解之得 -b-3?b?11 ?3?2a?b?0通过验证，都合要求，故应选择A 上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 注意：f/(x0)=0是函数获得极值的必要不充分条件 练习:1、2023年天津卷函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如下图，那么函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 A yy?f?(x)A1个 B2个 C3个 D 4个 注意：数形结

12、合以及原函数与导函数图像的区别 来Zxx,k.Com庖丁解牛篇(感受高考 b aO x2、函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处获得极大值5，其导函数y?f(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： x0的值； a,b,c的值. 答案 x0=1; a?2,b-9,c?12 例3求y=(x21)3+1的极值 解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1 当x变化时，y，y的变化情况如下表 x y-,?1? -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 ?1,-? + 来 来0 0 + 0 :Zxxk.Com 无极值 当x=0时，y有极小值且y极小值=0 :Zxxk.Comy 极小值0 无极值 yf?x? = ?x2-1?3+1-1O1x 五：回忆与小结： 1、极值的断定方法； 2、极值的求法 注意点： 1、f /(x0)=0是函数获得极值的必要不充分条件 2、数形结合以及函数与方程思想的应用 3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号. 第 10 页 共 10 页