四随机变量的数字特征

四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征考试内容考试内容（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望（均值）设X的分布律为,2,1,)(ipxXPii(级数 绝对收敛)kkkpxkkkpx)(XE则2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则dxxxfXE)()(（绝对收敛）dxxxf)(3.随机变量函数的数学期望（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.离散型：()()();kkkE YE g Xg xp连续型：()()()().E YE g Xg x f x dx(2)(X,Y)为二维随机变量,z=g(x,y)为x,y的二元函数.离散型：连续型：()(,)(,);ijijijE ZE g X Yg x yp()(,)(,)(,).E zE g X Yg x y f x y dxdy4.数学期望的性质(1)E(C)=C;(2)E(aX+b)=aE(X)+b;(3)E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn);(4)若X1,X2,Xn相互独立,则 E(X1 X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn);(5).()()(222YEXEXYE（二）方差（二）方差1.定义 D(X)=EX-E(X)2均方差或标准差：)()(XDX 2.计算(1)离散型：.)()(2kkkpXExXD2()()().D XxE Xf x dx(2)连续型：(3)常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).3.方差的性质(1)D(X)=E(X2)-E2(X)，E2(X)=D(X)+E(X2)(2)D(C)=0;(3)E(aX+b)=a2D(X);(4)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y);若X,Y相互独立,则 D(XY)=D(X)+D(Y).(5)D(X)=0 P(X=C)=1.（三）协方差、协方差矩阵与相关系数（三）协方差、协方差矩阵与相关系数Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)1.协方差2.相关系数.)()(),(),(YDXDYXCovYXXY用来表征随机变量X,Y之间线性关系的紧密程度.当 较大时，说明X,Y 线性关系程度较强；当 较小时，说明X,Y 线性关系程度较弱；当 时，称X与Y不相关（线性）.XYXY0XY3.协方差矩阵设(X1,X2,Xn)是n维随机变量,若cij=Cov(Xi,Yj),nji,2,1,存在，则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.nnnnnnccccccccc2122221112114.协方差及相关系数的性质(1)Cov(X,X)=D(X);(2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X）;(4)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);(5)Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y);(6)(7)X与Y以概率1线性相关,即存在a,b,1;XY.1)(baXYP1XY 且a0,使),0(1)(1),0(1)(1abaXYPabaXYPXYXY(8)（四）矩与混合矩1.随机变量X的k阶原点矩：),2,1)(kXEk随机变量X的k阶中心矩：()(1,2,)kE XE Xk2.设(X,Y)为二维随机变量,X和Y 的k+l 阶混合原点矩为：()(,1,2,);klE X Yk l X和Y 的k+l 阶混合中心矩为：()()(,1,2,)klE XE XXE Xk l 数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，协方差是协方差是1+1阶混合中心矩阶混合中心矩.（五）常见分布的数学期望与方差（五）常见分布的数学期望与方差 分布数学期望 方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二项分布B(1,p)npnp(1-p)泊松分布几何分布 G(p)(1-p)/p2超几何分布H(N,M,n)均匀分布正态分布指数分布)(P()E),(2N),(baUp/1NMn(1)1MMNnnNNN2/)(ba12/)(2ab2/121/（六）重要结论（六）重要结论5个等价条件：)()()()5()()()()4()()()()3(0),()2(0)1(YDXDYXDYDXDYXDYEXEXYEYXCovXY注意：X,Y相互独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件.考点与例题分析考点与例题分析考点一：数学期望和方差的计算考点二：随机变量函数的数学期望与方差考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性考点一：数学期望和方差的计算考点一：数学期望和方差的计算1.对分布已知的情形，按定义求；2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布，再按定义计算；3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和方差计算；4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量,特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的E(X)和D(X).解法1 先求出分布律：设事件Ak=第k个部件要调整（k=1,2,3),则,3.0)(,2.0)(,1.0)(321APAPAP.092.0)3()1()0(1)2(.006.0)()3(.398.0)()()()1(.504.0)()0(321321321321321XPXPXPXPAAAPXPAAAPAAAPAAAPXPAAAPXP即X具有的分布律为：006.0092.0398.0504.03210X从而有E(X)=0.6，D(X)=E(X2)-E2(X)=0.46.解法2 用分解法：引进随机变量)3,2,1(0 ,1kAAXkkk，不出现出现X0-1分布，()(),()(1)()1().kkkkkE XpP AD XppP AP A且X=X1+X2+X3，E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3)=0.46注注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单”的随机变量之和 是研究随机变量的一种基本方法，但必须注意：求方差时，应先判断Xi 是否相互独立.若独立,则D(X)易求(和),否则不易求出.,1niiX2.求离散型随机变量的期望和方差时,会用到无穷级数求和，如下例:例2 对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次射击的命中率为p，求消耗子弹的数学期望.解 设Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之间所消耗的子弹数(含第i次命中不含第i-1次命中),则niiXX1,2,1 ,)1(1kppkXPki于是有12111()(1),1,2,1(1)kikE Xkpppinpp121111(1)(1)(1)1(1)1(1)kkkkkpppp故1.niinEXEXp例3 设随机变量的概率密度，其它 ,0,21 ,2,10 ,)(xxxxxf求数学期望和方差.解 1)2()()(21102dxxxdxxdxxxfXE122232017()()(2).6E Xx f x dxx dxxx dx2271()()()1.66D XE XEX 注注：若已知分布函数，则需先求出密度函数.例4 设X的密度函数,1)(122xexfxx则E(X)_,D(X)_.2(1)12211(),(1,),1222xf xeXN211考点二：随机变量函数的数学期望与方差考点二：随机变量函数的数学期望与方差1.先求概率密度或分布函数,再按期望定义计算,如2.直接利用函数期望的公式计算：()()();kkkE YE g Xg xp()()()().E YE g Xg x f x dx()(,)(,);ijijijE ZE g X Yg x yp()(,)(,)(,).E zE g X Yg x y f x y dxdy3.利用数学期望、方差的性质以及常见分布的数学期望与方差计算.()().YE Yyfy dy例5 设XE(1),则数学期望._)(2 XeXE43解 先利用期望的线性性质，再用随机变量函数的期望公式求得.因XE(1),于是E(X)=1,而且X的密度函数为,0 ,0,0 ,)(xxexfx2201().3XxxE eee dx224()()().3XXE XeE XE e指数分布例6 设X的密度函数,)1(1)(2xxxf求).1,min(XE解 直接利用函数期望的公式计算11122012101min(,1)min(,1)()()122(1)(1)1ln21ln(1)2arctan2xxEXxdxx f x dxf x dxxdxdxxxxx注注：在求多个随机变量函数的数学期望时,若直接用公式计算,则需求多重积分.故不如先求出随机变量函数的概率分布,再用定义计算期望,例如 设随机变量X1,X2,Xn独立同分布,其密度函数2()2,()0,.xexf xx试求 的数学期望和方差.niXZ1min为常数（自行完成）例7 设是两个相互独立且均服从正态分布)21(,0(2N的随机变量，则._)(YXE解 令Z=X-Y，则E(Z)=0,D(Z)=1,即).1,0(NZ故积分，得2212().2zE XYzedz注注：利用正态分布的性质、随机变量函数的期望公式例8 一工厂生产的某种设备的寿命X（年）服从指数分布,概率密度函数为41,0,()40,0,xexf xx规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备赢利的数学期望.解 设出售一台赢利为Y,则Y的所有可能取值为100,-200.因分析：先求出赢利的分布.11111444001()()1 1,4xxP Xf x dxf x dxe dxee Y的分布律为kpY 100 -20014e141e所以，64.33)1(200100)(4141eeYE注注：Y是X的函数.X是连续型的,而Y是离散型的.考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性1.协方差、相关系数的计算实际上是随机变量函数的期望的计算，方法见考点二；X,Y相互独立.0XY若(X,Y)服从二维正态分布，则X,Y相互独立.0XY2.独立性与相关性的关系例9 将一枚硬币重复掷n次,以X,Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数为_.1)(.21)(.0)(.1)(DCBA)(A解 因X+Y=n,即Y=n-X.法1 用定义求：D(Y)=D(n-X)=D(X)(),(),(),(XDYXCovnXXCovYXCov因此，(,)()(,)1.()()()()XYCov X YD XX YD XD YD XD Y 法2 用性质(7)：因Y=n-X，Y是X的线性函数,且X的系数为-10,故X和Y的相关系数为-1.例10 设 其中,2131YXZ)4,0(),3,1(22YNX且.21XY(1)求E(Z),D(Z)；（2）求X,Z的相关系数；（3）X与Z是否相互独立？为什么？解（1）由期望和方差的性质有11111()()()10.32323E ZE XE Y 221111()()()(,)3232111 1 ()()2(,)323 2D ZDXDYCovXYD XD YCov X Y1111 916()()53 4 3.9432XYD XD Y （3）X,Y均服从正态分布,但不独立,故不能认为Z服从正态分布，从而二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布,故尽管X与Z不相关,X与Z仍不一定相互独立.（2）211(,)(,)(,)32111 =3()3 40.322Cov X ZCov X XCov X Y 故(,)0.()()XYCov X ZD XD Z注注：X与Z 均服从正态分布，且X与Z 相互独立，则(X,Z)服从二维正态分布.例11.(08)设随机变量(0,1),(1,4),XNYN且 则,1XY.112)(.112)(.112)(.112)(XYPDXYPCXYPBXYPA考查：相关系数的性质：.1)(baXYP1XY 存在a,b,使以及正态分布数字特征的性质.解 选D.由正态分布有 EX=0,DX=1,EY=1,DY=4,.1)(baXYP1,XY故存在a,b,使从而EY=aEX+b,得b=1.而()()0 11.2()()14XYE XYEXEYE X aXbaD XD Z.2a考研题及练习题考研题及练习题1.设随机变量(X,Y)在区域D:0 x1,-xyx内服从均匀分布，求Z=2X+1的方差.(两种方法)答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.2.(08）设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX=EX2_.e21考查：泊松分布的数字特征及其概率分布.参数为1的泊松分布的EX=DX=1,从而EX2=DX+(EX)2=2,PX=EX2=Px=2=1/2e.3.(04134)设随机变量X服从参数为 的指数分布,则._)(XDXPe14.(041)设随机变量X1,X2,Xn独立同分布,且其方差为 令 则.02.1),()(.2),()(.),()(.),()(21212121nnYXCovDnnYXCovCYXCovBnYXCovA11,niiYXn提示：用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意到利用独立性有：1(,)0,(2,3,)iCov XXin)(A5.（0634）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c Y X-1 0 1其中a,b,c为常数，且X的数学期望EX=-0.2，,5.00,0XYP记Z=X+Y，求（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）P(X=Z).答案:(1)a=0.2,b=0.1,c=0.1(2)Zp -2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3)P(X=Z)=P(Y=0)=0.2.6.（04134）设A,B为随机事件,且,21)(,31)(,41)(BAPABPAP令1,0 AXA，发生,不发生,1,0 BYB，发生,不发生,求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布；(2)X,Y 的相关系数.XY(3)Z=X2+Y2 的概率分布.提示：关键是求出(X,Y)的概率分布.将(X,Y)的各取值对转化为随机事件A,B表示即可.XY1 021 31211 61201二维随机变量(X,Y)的概率分布);(1,0BAPYXP1,0();P XYP AB1,1();P XYP AB0,0().P XYP AB答案：(1)(,)15(2).15()()XYCov X ZD XD Z(3)Z=X2+Y2 的概率分布:ZP2 1 0211 3412200,03P ZP XY111,00,14P ZP XYP XY121,112P ZP XY