江苏省2021年高考数学真题试卷(含详细解析)

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1、 A +B( ) 江苏省 2021 年高考数学真题试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题1已知集合M =1,3，N=1-a,3，若MN =1,2,3，则a的值是（ ）A-2 B-1C0 D12若数组 a =(-2,1,3)和 1 b = 1, - , x 2满足 a =-2b ，则实数 x 等于（ ）A-3 B-2 C -32D -12

2、3若复数 z满足(1+i)z=3-i，则 z的虚部等于（ ）A4 B2 C-2 D-4 4逻辑表达式 等于（ ）AA +BBA BCA BDA B5已知 (1-2x)n的展开式中 x 2的系数为 40，则n等于（ ）A5 B6 C7 D86已知双曲线x 2 y 2- =1 a 0, b 0 的一条渐近线与直线 a 2 b 22 x -y +3 =0平行，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B 3C2 D 57若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）A 2 :1B 2 :1C1: 2D1: 28下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点到终止节点的路径共有（ ）( )(

3、 A14 条B12 条C9 条D7 条9若函数 pf x =4sin wx - w 0 3 )的最小正周期为p，则它的一条对称轴是（ ）A x =-p12B x =0C x =p6D x =2p310已知奇函数 f (x)是定义在 R 上的单调函数，若正实数a，b 满足 f (2a)+f(b-4)=0则1 2+a +1 b的最小值是（ ）A23B43C2 D4二、填空题11下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的 n 值是_.12已知等比数列a的公比为 q ，且16a ，4 a ，a 成等差数列，则q 的值是_. n 1 2 313已知cos p 5q+ = 2 13，且 p pq - ,

4、 2 2 ，则tan(q-9p)的值是_.114以抛物线 y = x42 3x = t的焦点为圆心，且与直线 3y =t -1(t为参数）相切的圆的标准方 ( )( )2 ) y 程是_.15已知函数2x +12, -6 x 1a 2.17已知函数f (x)是定义在(-,0)(0,+)上的偶函数，当 x 0 ，且 a 1 ).又直线l : mx +y +2m +5 =0 (mR)恒过定点 A，且点 A 在函数f(x)的图像上.(1) 求实数a的值；(2) 求f (-4)+f(8)的值；(3) 求函数f (x)的解析式.18已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx +a.（1）若a -

5、1,1,2,3，b 0,1,2 ，求事件A =f (x)在1,+)上是增函数的概率;（2）若a 1,2，b0,2，求事件 B =“方程f (x)=0没有实数根”的概率.19已知向量a =(-23sin x,cos 2 x )，b=(cosx,6 )，设函数 f (x)=ab.（1）求函数f (x)的最大值;（2）在锐角 ABC 中，三个角 A ，B ，C 所对的边分别为a，b，c，若 f (B)=0,b= 7，3sin A -2sin C =0 ，求 ABC 的面积.20某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为 y =x 25-

6、24 x +2000 ，已知此生产线的年产量最小为 60 吨，最大为 110 吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低? 并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为 24 万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时， 可以获得最大利润? 并求最大利润. 10 1021已知数列a满足a =2 ，且 a n 1 n +1=3a +2 n -1(nN*). n（1）求证：数列a +n为等比数列； n（2）求数列（3）求数列a的通项公式； na的前n 项和 S . n n22某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4 个，绘画标牌 5 个，该公司现有两种规格

7、的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌 1 个和绘画标牌 2 个;乙种规格原料每张 2m2，可做文字标牌 2 个和绘画标牌 1 个.问两种规 格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.x 2 y 223已知椭圆 C : + =1a 2 b 2；（1）证明：a 3b(ab 0)6 的离心率为 .39 3 （2）若点 M , - 在椭圆 C 的内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点， M 为线段 PQ的中点，且OP OQ.求直线 l 的方程；求椭圆 C 的标准方程. = 参考答案1B【分析】根据集合 N 和并集，分别讨论 a 的值，再验证即可. 【

8、详解】因为M N =1,2,3，若1-a =1 a =0 ，经验证不满足题意；若1 -a =2 a =-1，经验证满足题意.所以 a =-1.故选：B.2C【分析】数组的基本运算，由数组相等转化为对应项相等. 【详解】因为 a =(-2,1,3)， 1 b = 1, - , x 2，所以-2b =(-2,1,-2x).3由 a =-2b ，得 -2x =3 ， x =- .2故选：C.3C【分析】利用复数的运算性质，化简得出 z =1 -2i . 【详解】若复数 z满足(1+i)z=3-i，则z =3 -i (3-i)(1-i) 1 +i (1+i)(1-i)=1 -2i，所以 z 的虚部等于

9、 -2. 故选：C.4D【分析】A +B2 b b 从集合角度去理解逻辑表达式 【详解】如图， A +B 类似于(CA ) B U，则 类似于CU(CA)B)=ACU UB故选：D.5A【分析】写出 x2项，进一步即可解出.【详解】C2n(-2x)2=2n(n-1)x2，所以2n (n-1)=40n=5.故选：A.6D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率 【详解】双曲线的渐近线为 y =babx ，易知 y = x 与直线 2 x -y +3 =0a平行，所以 =2 e = 1 + = 5a a .故选：D.7C【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公

10、式求解. 【详解】根据题意作图，p r 2 1 ( ) 设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，母线长为 l .若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有 2 r cos45 =l， l = 2 r.该圆锥的底面积与侧面积比值为pr 2prl= = . pr 2 r 2故选：C.8B【分析】根据分步乘法计算原理即可求解. 【详解】由图可知，由有 3 条路径，由有 2 条路径，由有 2 条路径，根据分步乘法计算原理可得从 共有 3 2 2 =12 条路径. 故选：B9A【分析】由w =2pT，可得 w =2 ，所以 p p pf ( x ) =4sin 2 x - ，令 2 x - = +k 3 3 2p

11、(k Z )，得x =5p 1+ k12 2p(k Z )，从而可得到本题答案.【详解】由题，得w=2p 2p p = =2 ，所以 f x =4sin 2 x -T p 3 ，令 2 x -p p=3 2+kp(k Z )，得 x =5p 1+ k12 2p(k Z )，所以 f ( x)的对称轴为 x =5p 1+ k12 2p(k Z )，当 k =-1时， x =-p12，所以函数 f ( x )的一条对称轴为 x =-p12.故选：A( ) ( ) 3 3 1 1 1 10B【分析】 由奇函数 f (x)是定义在 R 上的单调函数， f 2a + f b -4 =0，可得 2a +b

12、 =4 ，即2( a +1) +b =6，所以1 2 1+ = 2( a +1) +b a +1 b 61 2+a +1 b，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为 f (2a)+f(b-4)=0，所以f (2 a ) =-f (b -4)，因为奇函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数，所以f (2 a ) =-f (b -4) = f (4 -b )，所以 2a =4 -b ，即 2a +b =4 ，所以 2a +2 +b =6 ，即2( a +1) +b =6，所以1 2 1+ = 2( a +1) +b a +1 b 61 2+a +1 b=1 b 4( a +1) 2 + +

13、 +26 a +1 b =1 b 4( a +1) + +46 a +1 b1 b 4( a +1) 1 42 +4 = (4 +4) = 6 a +1 b 6 3，当且仅当b 4( a +1) =a +1 b1，即 a = , b =3 2时取等号，所以1 2 4 + 的最小值是 .a +1 b 3故选：B112【分析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出 结果.【详解】初始值： S =0 ， n =1当 n =1 时， S =S + n - =0 + 1 - = 4 ，进入循环； 2 2 83 3 1 3 1 1 3 1 9 3 33 1 1 9

14、 1 9 q - ,2 2 ( ) 2 当 n =1 + = 时， S =S + n - = + - = 4 ，终止循环，输出 2 2 2 8 2 2故答案为：2.124【分析】n的值为 2 .根据三数成等差数列列等式，再将a， a2 3用含a 和 的式子表示，代入等式求解. 1【详解】因为a为等比数列，且公比为 q ， n所以a =a q 2 1， a =a q2 且3 1a 0 ， q 0 . 1因为16 a ， 4 a ， a 1 2 3成等差数列，所以 16 a +a =2 4 a ， 1 3 2有16a +a q1 1q =4解得.2=2 4 a q， q12-8 q +16 =0

15、，故答案为： 4 .13 -512【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】 p 5 5 cos q+ = sin q=- 2 13 13，因为q p p ，所以q p - ,0 2 ，所以cos q= 1 -sin 2q =1213，所以 tan sin cos 5125，所以 tan q-9p =tan q=- .12故答案为： -512.14 x2+(y-1)=1【分析】将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的 半径,进而得答案.【详解】2 2 解：将抛物线方程化为标准方程得 4 y =x 2，所以焦点坐标为 0,1

16、， 将直线的参数方程化为普通方程得 3 x -y -1 =0 ，所以点0,1到直线 3 x -y -1 =0 的距离为d =3 0 -1-1 2=1，所以所求圆的方程为 x2+(y -1)=1 .故答案为： x1,015【分析】2+(y-1)=1先画出函数 f ( x )的图象，转化为函数 y =kx与函数 f ( x )的图象有三个不同的交点，再画函数y =kx的图象，观察交点的个数，从而求得 k 的取值范围【详解】解：画出函数 f ( x)的图象如下图，y y y由题意得函数图象上存在互异的三个点，且 1 = 2 = 3 =k ，x x x1 2 3则可看做函数 y =kx与函数 f (

17、x)的图象有三个不同的交点，由图知，当 k =-1或 k =0 时，有且仅有两个交点，要使两个图象有三个不同的交点，则 k ( -1,0)故答案为：的取值范围为( -1,0)16（1）(0,1)；（2）(-2,6).【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出 x 2 -2 ax +a 0恒成立，然后通过 D 0即可得出结果；（2）本题首先可根据 【详解】a (0,1)得出 x 2 -4 x -14 0恒成立，则 D=4 a2-4 a 0 ，解得 0 a 1a 2，即ax2-4x -14a-2，因为a (0,1)，所以 x 2 -4 x -14 -2，即 x 2 -4 x -12 0，解得 -2

18、 x 1a 2的解集为(-2,6).17(1) a =12；(2) -29 ；(3) f ( x ) =log ( -x) +2 x 12log x -2 x 12x 0.【分析】(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出a 的值；(2) 利用偶函数的性质，求 f (8)，进而可求出 f ( -4) + f (8)的值；(3) 利用偶函数的性质求出 x 0 时， f ( x) 【详解】的表达式.(1) 由直线 l 过定点可得：m( x +2) =-y -5，由 x +2 =0 -y -5 =0，解得 x =-2y =-5，所以直线 l 过定点A (-2,-5).又因为 x 0 时，f

19、( x ) =log ( -x) +2 xa，所以f ( -2) =log 2 -4 =-5a，有log 2 =-1， a = a12.(2)f ( -4) =log14 -8 =-10，2因为 f ( x)为偶函数，所以f (8) = f ( -8) =log 8 -16 =-191，所以 f (-4) + f (8) =-29 .(3) 由(1)知，当 x 0 时， -x 0 ，f ( -x) =log x +2 (-x) =log x -2 x1 12 2，又 f ( x )为偶函数，所以 1 ，2综上可知， f ( x) =log ( -x) +2 x 12log x -2 x 12x

20、 0.5 318（1）12 8【分析】（1）根据题意有： a 0 ，且对称轴 x =2ba1 ，求出基本事件总数，再求出满足事件 A的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；（2）方程 ax2-4bx +a =0 无实根，则 a 1， 2， b 0， 2，且 a -2b 0 ，画出图形，由测度比是面积比得答案【详解】（1）根据题意有： a 0 ，且对称轴 x =2ba1 基本事件总数为 C14C13=12，满足事件 A 的事件数为 (1,0) ， (2,0) ， (2,1) ， (3,0) ， (3,1) 共有 5 个， P（A） =512；（2）方程 ax 2 -4bx +a =0 无实根，则

21、 a 0 ( -4b)2-4 a20，又 a 1， 2， b 0， 2，a -2b 0 ，如图，3 = 2 p p P ( B ) =1 1(1+ ) 1 2 22 819（1） f ( x)max=2 3 +3 ；（2）3 32.【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得 f ( x ) =2 3sin 2 x + p +3 3 ，进而可得 f ( x)的最大值；（2）由锐角 ABC ，推出 - 2 B -3 32p3p，再结合 f （B） =0 ，求得 B = ，由正弦定理3知 3a =2c，再利用余弦定理求出 a =2， c =3 ，最后由三角形面积公式得解【详

22、解】（1）因为a =(-23sin x,cos 2 x )，b=(cosx,6 )，所以函数 f (x)=ab=-2 3 sin x cos x +6cos 2 x =- 3 sin 2 x +3cos 2 x +3 2 =2 3 sin 2 x + p +3 3 2 当 sin 2 x + p =1 3 时， f ( x) =2 3 +3max（2） ABC 为锐角三角形， 0 B p2.2 5 p2 B + p p3 3又f ( B ) =0 2 3 si n 2B + p =- 3 22 4 2 B + p= p B =3 3p33sin A -2sin C =0 3a =2c1 4 (

23、 )( )2 a 2 +c 2 -b 2 1 a cos B = = 即2 ac 2 a =2, c =329+ a 2 -7 =3a 2 2 SABC1 3 3 3 = 2 3 =2 2 220（1）年产量为 100 吨时，平均成本最低为 16 万元；（2）年产量为 110 吨时，最大利润 为 860 万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.【详解】（1）y x 2000= + -24x 5 x，x 60,1102x 2000 -24 =16 5 x当且仅当x 2000=5 x时，即 x =100 取“=，”符合题意；年产量为

24、100 吨时，平均成本最低为 16 万元.（2）x2 1L x =24 x - -24 x +2000 =- x -120 +8805 5又 60 x 110 ，当 x =110 时，L ( x ) =860 max.答：年产量为 110 吨时，最大利润为 860 万元.21（1）见解析；（2） a =3nn-n；（3）3n +1 -n 2 -n -32【分析】（1）计算得到a +n +1 n +1a +nn=3，得到答案.（2） a +n =3 3 nn -1=3n，得到数列通项公式.（3）根据分组求和法计算得到答案. 【详解】（1）由an +1=3a +2 n -1 ，得 a n n +1

25、+n +1 =3 (a+nn)，a +n +1 n +1a +nn=3，又a +1 =3 1， a +n是首项为 3，公比为 3 的等比数列. n （2） a +n =3 3 nn -1=3n， a =3n -n . n（3）S =31 +32 n+3n-(1+2+n)3 -3n +1 n (n+1) = -1 -3 23n +1 -3 n (n+1)3n +1 -n 2 -n -3 = - =2 2 2.【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 22甲 2 块，乙 1 块，8 m2.【分析】设需要甲种原料x张，乙种原料 y 张，则所用原料的总面积

26、z =3 x +2 y，由题意列出关于x，y的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【详解】设需要甲种原料 x 张，乙种原料 y 张，则 2 x +y 5 x +2 y 4 x 0, y 0 x, y N，所用原料的总面积z =3 x +2 y由约束条件作出可行域如图，联立 x +2 y =4 2 x +y =5，解得 x =2 ，y =1，即 A(2,1)，由z =3 x +2 y3 z 3 z ，得 y =- x + ，由图可知，当直线 y =- x +2 2 2 2过 A时，z取得最小值为 3 2 +2 1 =82 2

27、2 2（ 1） e = =， = ，因此， 2 2 2 2 2 10 152 2 2 ( 10 ( ) y 故需要甲种原料 2 张，乙种原料 1 张，才能使总的用料面积最小，为8 m2x 223（1）证明见解析；（2） 3 x -y - 3 =0 ； +y3【分析】2=1 .（1）由ba= 1 -e2可证得结论成立；（2）设点 P (x, y )、Q(x,y1 1 2 2直线的方程；)，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ可得出 OP OQ =0 ，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于 b 2 的等式，可求出

28、 b 2 的值，即可得出椭圆 C 的方 程.【详解】c c a -b b 6 b 3 = = 1 - =a a a a 3 a 3a3b；（2）由（1）知，椭圆 C 的方程为x 2 y 2+ =1 ，即 x +3 y =3b ， 3b 2 b 29 3 当 , - 在椭圆 C 的内部时， 9 3 3 3 +3 - 10 10 10.设点P(x , y1 1)、Q(x , y2 2)x +x 9 1 2 = 2 10，则 y +y 31 2 =-2 10y +y 3 ，所以， 1 2 =- ，x +x 91 2 由已知可得 x 2 +3 y 2 1 1x 2 +3 y 2 2 2=3b=3b22

29、，两式作差得(x +x )(x-x)+3(y+y)(y-y)=0 1 2 1 2 1 2 1 2，所以y -y x +x 1 2 =- 1 2x -x 3 y +y 1 2 12)1 =- -3 9 3 = 3，所以，直线 l 方程为y - 3 - 9 = 3 x - 10 ，即 y = 3x - 3 .所以，直线 l 的方程为 3 x -y - 3 =0 ；x2 +3 y 2 =3b 2 联立 y = 3 x -1，消去 可得 10 x 2 -18 x +9 -3b 2 =0 .D=182 -40 (9-3b2)=120b2-36 0，1由韦达定理可得 x +x =1 2959 -3b 2 ， x x = ，1 2又OP OQ，而 OP =(x,y1 1)， OQ =(x, y22)， OP OQ =x x +y y =x x + 3 (x-1)3(x-1)=4xx -3 (x+x )+31 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2=2 (9-3b2)-27+15 5=6 -6b52=0，解得b2=1合乎题意，故 a2=3b2=3，因此，椭圆 C 的方程为x 23+y2=1 .