第一节微分方程的概念

第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念第二节第二节 常见的一阶微分方程常见的一阶微分方程第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念一一.实例实例例1.曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.设曲线方程为 y=y(x),则1|,0 xyxycxxdxy221c122xy例2.质量为m的物体自由落下,t=0 时,初始位移和初速度分别为,00vS求物体的运动规律.设运动方程为S=S(t),则,)(gtS 0000|,|vSSStt两次积分分别得出:,)(1cgttS,21)(212ctcgttS条件代入:,0201Scvc,21)(002StvgttS二二.概念概念1.微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容2.阶:未知函数的最高阶导数的阶数.例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程一般形式:0),()(nyyyyxF必须出现3.解:如果将函数 y=y(x)代入方程后恒等,则称其为方程的解.如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同通解不含任意常数的解特解必须独立n阶方程通解一般形式:),(21ncccxyy 4.定解条件:确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件.5.几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证 是 的通解cyx22yxy对 用隐函数求导法得:cyx22yxy故 是方程的解,cyx22且含有一个任意常数.通解第二节第二节 几种常见的一阶微分方程几种常见的一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一一.可分离变量的方程可分离变量的方程一阶微分方程一般形式:0),(yyxF我们研究其基本形式:),(yxfdxdy如果可化成:dyygdxxf)()(1)则(1)称为可分离变量的方程.解法:1.分离变量:dyygdxxf)()(2.两边积分:dyygdxxf)()(3.得出通解:CxFyG)()(只写一个任意常数例:xydxdy2).1(xdxdyy21xdxdyy21,|ln12Cxy2112xCCxeeey任意常数,记为C2xCey 绝对值号可省略1|,).2(022xyyxyxyxydxxxdyyy2211dxxxdyyy2211122)1ln()1ln(Cxy)(),1(1222CeCxCy定解条件代入:C=2故特解为:).1(2122xy二二.齐次方程齐次方程如果方程(1)可化成:)(xydxdy齐次方程解法:令 化成可分离变量方程.xyu xuy dxduxudxdy)(udxduxudxxuudu1)(例:22xxyydxdy1)(2xyxydxdy12uudxduxudxxduu1)11(xCuulnln1xyu xyu xyCey 三三.一阶线性方程一阶线性方程一般形式:)()(xQyxPdxdy(2):0)(xQ0)(yxPdxdy(3)一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程:0)(xQ自由项方程(3)是可分离变量方程,其通解为:dxxPCey)(方程(2)的通解常数变易法设(2)的通解:dxxPexCy)()(代入方程(2):dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(dxxPexQxC)()()(CdxexQxCdxxP)()()(则方程(2)的通解:)()()(CdxexQeydxxPdxxP(4)注:1.一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4)计算皆可;.2.公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;3.dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(非齐次方程的特解齐次方程的通解非齐次方程解的结构例:xexydxdyxcos22cos222Cdxexeeyxdxxxdxcos2Cxdxex)(sin2Cxex例:求方程 满足初始条件 的特解.ydxdyyx)(21|3xy将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:yxydydx1yyQyyP)(,1)(11Cdyyeexdyydyy)(Cyy由 得:1|3xy2C故所求特解为:)2(yyx四四.贝努里方程贝努里方程一般形式:)1,0(,)()(nyxQyxPdxdyn当 n=0 或1时,这是线性方程.当 时,可以化成线性方程:1,0n两端同除以,ny),()(1xQyxPdxdyynn),()()(1111xQyxPdxydnnn令,1 nyz则).()1()()1(xQnzxPndxdz关于 z 的线性方程求出通解后再还原回 y例:2yyxy211yxyxy两端同除以,2yxyxyy1112令,1 yz,11xzxz111Cdxexezdxxdxx)(1Cxx代入,1 yz通解为.cxxy五五.全微分方程全微分方程0),(),(dyyxQdxyxP对于微分方程),(yxdUCyxU),(则通解为全微分方程注:(1).当P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数,且xQyP时,上述方程为全微分方程.(2).DyxCdyyxQdxyxPyxUyyxx),(,),(),(),(00000(3).对于非全微分方程,有时可以找到函数 ,使得),(yx0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx全微分方程积分因子(4).观察法往往很实用.例:0)(2)(2dyyxydxxyxQyyP2因为全微分方程取,0,000yxCdyyxydxxyxUyx00)(2)(),(Cyxyx3223221解法一:解法二:02)2(22dyyxdxxydydxy0)32()2()(322ydxdxyd0)322(322yxxydCyxyx3223221例:0 xdyydx非全微分方程由于2)(yxdyydxyxd则 是积分因子,21yCyx同乘以积分因子并积分得通解:xyx1,12易知 也是积分因子例:0)1()1(xdyxyydxxy非全微分方程变形0)()(xdyydxxyydxxdy0)()(22ydyxdxyxxyd则 是积分因子,221yx0)(22ydyxdxyxxyd.|ln1Cyxxy注意注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例:yyxy2sincos1视 x 为 y 函数,可化成线性方程yxydydx2sincos通解为:2sincoscosCdyeyexydyydy)sin1(2sinycey思考)(,1)1(,)()1()(),1)(.111xyydtttyxdttyxxyxx求内有连续导数且满足在设.e)(,e,e,0)()13()(),(d)(d)(),()1(d)()(d)(31131221111xxyCxCyxyxxyxxyxtttyttyxxyxtttyxxyttyxxxxxxx故把初始条件代入得：分离变量并求解得：再求导并整理得：整理得：求导得：等式两端同时关于)(,)21()(),0)(.222224224tfdxdyyxfetftftyxt求上连续且满足在设.e)14()(.1,1)0()1(.4edtete8e)(,e8)(8)()1(d)21(2ed)21(de)(2222224224d8t4d8420420204tttttttttttttfCfCtCtftttftftrrrfrrrftf故代入上式得：式知：由得：解此一阶线性微分方程求导并整理得：等式两端同时关于，.)arctan(,)1arctan(,dd111dd)(1dd22222CyxyCxuuxuuuuxuyxuyxxy：故该微分方程的通解为等式两端同时积分得：分离变量得：，得：令，把原式整理得：xyyxxy21dd.322