高数函数与极限习题95811

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1、第一章第一章 函数与极限习题课函数与极限习题课一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念函函 数数的定义的定义函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数（一）函数（一）函数1.1.函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类2.2.函数的性质函数的性质有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期3.3.反函数反函数4.4.隐函数

2、隐函数5.5.基本初等函数基本初等函数6.6.复合函数复合函数7.7.初等函数初等函数8.8.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfx )(limAxfxx)(lim0左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大 )(limxf两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小0)(lim xf判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性（二）极限（二）极限1 1、极限

3、的定义：、极限的定义：定义定义N 定义定义 定义定义X 单侧极限单侧极限2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小；无穷小；无穷大；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限极限存在的条件极限存在的条件4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限

4、；利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；利用等价无穷小；g.利用重要极限利用重要极限5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理夹逼定理、单调有界原理6 6、两个重要极限、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx(1)1sinlim0 xxx;1sinlim 某过程某过程(2)exxx )11(lim(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim.)1(lim1e 某过程某过程7 7、无穷小的比较、无穷小的比较8 8、等价无穷小的替换性质、等价无穷小的替换性质9 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续（三）

5、连续左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性非初等函数非初等函数的连续性的连续性连续函数连续函数的的 性性 质质1 1、连续的定义、连续的定义单侧连续单侧连续连续的充要条件连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性2 2、间断点的定义、间断点的定义间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性连续性的运算性

6、质连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性反函数、复合函数的连续性4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题二、例题例例).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn时时当当例例.

7、)sin1tan1(lim310 xxxx 求求310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式解解例例).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解解,2)(lim23 xxxpx),(2)(23为待定系数为待定系数其中其中可设可设babaxxxxp ,1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23

8、xxbaxxxxp.1,0 ab从而得从而得xxxxp 232)(故故例例6 6.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改写成改写成将将)(xf 1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内连续内连续在在显然显然 xf,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx.2 )(lim1xfx 2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间断间断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx.0 )(lim1xfx )1(lim1xx.0)(lim)(lim11xfxf

9、xx .1)(连续连续在在故故 xxf.),1()1,()(连续连续在在 xf例例).()21(1,0),1()0(,1,0)(ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21,0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:,0)0(F若若,0 则则);0()210(ff ,0)21(F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若,0)21(,0)0(FF )21()0(FF2)0()21(ff .0 由零点定理知由零点定理知,.0)(),21,0

10、(F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1,021,0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 例例)0()(21,011 axaxxxnnn有极限有极限证明证明设设证证0 nx显然显然axaxxnnn )(211)(211nnnnxxaxx 0212 nnxxa即即xn单调减，有下界单调减，有下界故由单调有界原理得故由单调有界原理得存在存在nnx lim0lim AAxnn，则，则设设两两边边取取极极限限得得在在)(211nnnxaxx )(21AaAA （舍去）（舍去）解得解得aAaA ,例例 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一

11、xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0 原式原式1201 21 例例 求求131)1()1()1)(1(lim nnxxxxx解解1 xu令令ux 1则则得得由由uu 1)1(130)11()11)(11(lim nnuuuuuI1013121lim nuuunuu!1n 例例.求极限求极限)0(,2cos2cos2coslim2 xxxxnnnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim2原式解nnnnxxxxx2sin22sin22cos4cos2coslim211 nnnxx2sin2sinlim nnnxxxx2sin2limsin xxsi

12、n 例例ccxcxxx，求，求设设4lim 解一解一xxxxcxccxcx 21limlim ccccxxcxccxc2121lim22ce2 4 2ln22 c2ln c得得解二解二xxxxxxcxccxcx 11limlimccee ce2 例例 证明证明1lim nnn证证1 nn首先首先nnhn 1记记 22!2)1(1)1(nnnnhnnnhhn2!2)1(1nhnn nhn202 由夹逼定理知由夹逼定理知0lim nnh1lim nnn例例1,0)1)()(,xxxaxbxxfba，有可去间断点，有可去间断点间断点间断点有无穷有无穷的值，使的值，使确定确定解解因因f(x)在在x=0

13、处为无穷间断，即处为无穷间断，即 )(lim0 xfxbxxaxxfxx )1)(lim)(1lim000bxaxx 0lim0,0 ba又又x=1为可去间断，为可去间断，存在存在故故)(lim1xfx)(lim11bxbx )1)()(lim1 xaxxfx)1)(lim)(lim11 xaxxfxx0 1 b例例)(lim,2112sin)(1lim030 xfexxfxxx 求求已知已知解解2112sin)(1lim30 xxexxf由由0)1(lim30 xxe而而)12sin)(1(lim0 xxfx)1(112sin)(1lim330 xxxeexxf02 0 12sin)(1li

14、m0 xxfx02sin)(lim0 xxfx从而由等价无穷小的代换性质得从而由等价无穷小的代换性质得112sin)(1lim230 xxexxfxxxfx32sin)(21lim0 xxxfx22sin)(lim310 122sinlim0 xxx由由6)(lim)(lim00 xfxfxx存在，且存在，且例例利用介值定理证明，当利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程为奇数时，方程)0(,001110 aaxaxaxannnn至少有一实根至少有一实根证证,0)(1110 nnnnaxaxaxaxf令令nxxxf)(lim)(lim1110nnnnxxaxaxaa 00 a故由函数极限的保号

15、性质可知故由函数极限的保号性质可知时时使当使当00|,0XxX 同号，同号，与与0)(axxfn同号同号与与时，时，亦即，当亦即，当nxaxfXx00)(|又又 n 是奇数，所以是奇数，所以异号异号与与nnXaXa)2()2(0000 0)2()2(00 XfXf上连续上连续在在而而2,2)(00XXxf 故由零点定理知故由零点定理知0)()2,2(00 fXX，使，使至少有一实根至少有一实根即即01110 nnnnaxaxaxa和差化积和差化积sin+sin=2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin=2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos=2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos=-2 sin(+)/2 sin(-)/2积化和差积化和差sinsin=cos(+)-cos(-)/2coscos=cos(+)+cos(-)/2sincos=sin(+)+sin(-)/2cossin=sin(+)-sin(-)/2