天气学诊断分析第1--5章

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1、 天气学诊断分析天气学诊断分析 徐文金徐文金 (南京信息工程大学大气科学学院南京信息工程大学大气科学学院)本课为选修课，总学时本课为选修课，总学时3232，其中讲课，其中讲课2626学时，学时，上机实习上机实习6 6学时，周学时学时，周学时2 2，学分，学分2.2.讲课的时间和地点按学校规定的课程表进行。讲课的时间和地点按学校规定的课程表进行。上机实习时间定在上机实习时间定在1212、1313、1414周的星期五下午周的星期五下午7 78 8 节，地点在网络中心（老图书馆）节，地点在网络中心（老图书馆）311311和和205205室室。参考书：参考书：1.1.周军，天气学诊断分析，我校自编教材

2、。周军，天气学诊断分析，我校自编教材。2.2.朱乾根等，天气学原理和方法（第四版），朱乾根等，天气学原理和方法（第四版），第七章第七章7.17.1和第十一章，气象出版社，和第十一章，气象出版社，天气学诊断分析天气学诊断分析 引引 言言 目前天气学对天气作分析有两种方法。一种是目前天气学对天气作分析有两种方法。一种是天气图分析；另一种是诊断分析。以下首先对比天气图分析；另一种是诊断分析。以下首先对比这两种方法的优缺点，以便能更好地应用好这两这两种方法的优缺点，以便能更好地应用好这两种方法。种方法。一，一，天气图分析的优点与问题天气图分析的优点与问题 优点：优点：天气图分析能展示出大气中气压场，温

3、天气图分析能展示出大气中气压场，温 度场和天气区分布特征及其演变情况度场和天气区分布特征及其演变情况,图象很直图象很直 观观,一般情况下也容易被理解。为我们提供了一般情况下也容易被理解。为我们提供了 很有用的天气研究工具和天气予报工具。很有用的天气研究工具和天气予报工具。天气图分析存在的问题有：天气图分析存在的问题有：1 1，分析有一定人为的主观性。如锋面和槽线，分析有一定人为的主观性。如锋面和槽线 的分析，缺少数量的标准。的分析，缺少数量的标准。2 2，不能分析出复杂天气演变的物理原因。，不能分析出复杂天气演变的物理原因。3 3，它所分析的项目与天气动力学理论要求相，它所分析的项目与天气动力

4、学理论要求相 差甚远。差甚远。二，二，天气学诊断分析的内容及其优点与天气学诊断分析的内容及其优点与问题问题 它的分析内容及优点是：完全在天气动力学它的分析内容及优点是：完全在天气动力学理理 论指导下，计算分析天气动力学因子。例如它论指导下，计算分析天气动力学因子。例如它 计算分析：比湿，相对湿度，相当位温，风场计算分析：比湿，相对湿度，相当位温，风场 的涡度和散度的涡度和散度,垂直速度，水汽通量，水汽通垂直速度，水汽通量，水汽通量量 散度，涡度平流，温度平流等等。散度，涡度平流，温度平流等等。比较定量客观地展示这些物理量空间分布和比较定量客观地展示这些物理量空间分布和 时间变化情况。为我们提供

5、了从物理原因上，时间变化情况。为我们提供了从物理原因上，理解天气变化规律，为天气学理论在实际天气理解天气变化规律，为天气学理论在实际天气 研究与预报提供了很有用的工具。研究与预报提供了很有用的工具。天气学诊断分析存在的问题是：天气学诊断分析存在的问题是：1 1、计算值的准确性问题。、计算值的准确性问题。其原因是：其原因是：1 1），所用资料存在观测误差。），所用资料存在观测误差。2 2），所用资料存在代表性误差。主要指大），所用资料存在代表性误差。主要指大 尺度的观测网，包含有局地地形影响和中小尺度尺度的观测网，包含有局地地形影响和中小尺度 天气的观测值。天气的观测值。3 3），差分计算方法的

6、误差。），差分计算方法的误差。2 2、天气动力学理论方程的不完整性。因为、天气动力学理论方程的不完整性。因为 理论方程常常是在某些假定下得到的。这样理论方程常常是在某些假定下得到的。这样 假定有时与实际相差甚远。假定有时与实际相差甚远。三三,诊断分析的应用诊断分析的应用(它的应用主要在两方面它的应用主要在两方面)1 1，在天气动力学的研究中，可做为有力，在天气动力学的研究中，可做为有力 的研究工具。用诊断分析来了解产生某些天的研究工具。用诊断分析来了解产生某些天 气过程的物理原因。例如，用气过程的物理原因。例如，用方程做为诊方程做为诊 断方程，用暴雨过程的实测资料断方程，用暴雨过程的实测资料,

7、计算该方计算该方 程中各物理量，以了解在此次暴雨过程中强程中各物理量，以了解在此次暴雨过程中强 上升运动，主要是那些因子引起的。又例如上升运动，主要是那些因子引起的。又例如,用涡度方程和用涡度方程和方程做为诊断方程，用气旋方程做为诊断方程，用气旋 过程的实测资料，计算诊断方程中各物理量过程的实测资料，计算诊断方程中各物理量,以了解在此次气旋发展中，涡旋运动的加强以了解在此次气旋发展中，涡旋运动的加强 和减弱，主要是那些因子引起的。和减弱，主要是那些因子引起的。2 2，在日常天气业务予报中，也可做为有力的工，在日常天气业务予报中，也可做为有力的工具。用诊断分析来展现那些天气物理因子的空间具。用诊

8、断分析来展现那些天气物理因子的空间分分 布特征和天气区的关系及其时间变化规律，为天布特征和天气区的关系及其时间变化规律，为天 气预报提供更多的合理依据。气预报提供更多的合理依据。在日常天气业务予报工作中，诊断分析和天气在日常天气业务予报工作中，诊断分析和天气图分析，应该是相辅相成的工具。图分析，应该是相辅相成的工具。本课的第一章有限差分方法，讲解天气学理论中偏本课的第一章有限差分方法，讲解天气学理论中偏微分公式如何转变成差分公式以便实际计算；微分公式如何转变成差分公式以便实际计算；第二章讲解温湿特征参量的计算方法和应注意的问第二章讲解温湿特征参量的计算方法和应注意的问题；题；第三章讲解运动学特

9、征参量的计算方法和应注意的第三章讲解运动学特征参量的计算方法和应注意的问题；问题；第四章讲解由风场计算速度势和流函数的计算和求第四章讲解由风场计算速度势和流函数的计算和求解方法；解方法；第五章讲解水汽通量、水汽通量散度和理论降水第五章讲解水汽通量、水汽通量散度和理论降水量量的计算方法和应注意的问题。的计算方法和应注意的问题。第一章第一章 有限差分方法有限差分方法 学习有限差分方法的必要性：学习有限差分方法的必要性：描述天气演变规律的理论，都是偏微分方程。描述天气演变规律的理论，都是偏微分方程。而我们能得到的气象要素值都是在离散点上得到而我们能得到的气象要素值都是在离散点上得到 的离散值。我们不

10、可能对气象要素进行理论上的的离散值。我们不可能对气象要素进行理论上的 导数运算。因而在应用天气动力学理论，对具体导数运算。因而在应用天气动力学理论，对具体 天气资料做研究时，我们必需用有限差分方法代天气资料做研究时，我们必需用有限差分方法代 替导数运算。因此，这也是气象理论研究和实际替导数运算。因此，这也是气象理论研究和实际 工作中必需掌握的基本方法。工作中必需掌握的基本方法。1 1 简单有限差分公式简单有限差分公式 其理论依据是：泰勒（其理论依据是：泰勒（Taylor)Taylor)展开式。它的展开式。它的一维展开式是：一维展开式是：它表示间隔为它表示间隔为x x的离散点的离散点f(xf(x

11、+x)x)和和f(xf(x)之间之间与导数与导数f f(x),f(x),f(x(x)，的关系。在理论上，的关系。在理论上，其展开式是精确成立的。其展开式是精确成立的。!3xdxfd2!xdxfdxdxdfxfxxf3x332x22x xfxxxxxf各种差分公式都是由泰勒各种差分公式都是由泰勒（Taylor)Taylor)展开式来构成。展开式来构成。一。一。一阶微商的几种差分方案一阶微商的几种差分方案 设已知某一要素设已知某一要素A(xA(x)在等距离格距在等距离格距xx的格点的的格点的 值为值为 A(xA(x),),A(xA(x+xx),),A(xA(x +2x),2x),则其泰勒则其泰勒（

12、Taylor)Taylor)展开式为展开式为:(1.1.1)(1.1.2)(1.1.3)(1.1.4)!3xdxAd2!xdxAdxdxdAxAxxA3x332x22x !3xdxAd2!xdxAdxdxdAxAxxA3x332x22x !3x)2(dxAd2!x)2(dxAdx2dxdAxAx2xA3x332x22x !3x)2(dxAd2!x)2(dxAdx2dxdAxAx2xA3x332x22x (一）两点式差分方案两点式差分方案 将（将（1 1，1 1，1 1）式移项并整理）式移项并整理,可得可得 略去方栝号內高阶微商项。得一阶微商的向前差分方案略去方栝号內高阶微商项。得一阶微商的向前

13、差分方案 （1.1.5）其误差其误差(也称为截断误差也称为截断误差)即是所略去的高阶微商项即是所略去的高阶微商项.误差的数量级取决于其中微商阶数较低的第一项误差的数量级取决于其中微商阶数较低的第一项.并并 与其中的与其中的xx 幂次方成正比幂次方成正比.因为微商阶数较低的项其因为微商阶数较低的项其 数量级较大数量级较大.在在(1,1,5)(1,1,5)式中误差的数量级与式中误差的数量级与xx一次方成正比一次方成正比.记为记为 O(xO(x).).并称之为一阶精并称之为一阶精(确确)度度.!3xdxAd2!xdxAdx)x(AxxAdxdA2x33x22xx)x(AxxAdxdAx xAxxxx

14、xA (1.1.5）（1 1，1 1，5 5）式）式向前向前差分两点式的几何意义，是表差分两点式的几何意义，是表 示通过示通过A(x+A(x+x x)和和A(xA(x)两点直线两点直线的斜率。的斜率。x)x(AxxAdxdAx 而一阶微商的几何意义是：表示而一阶微商的几何意义是：表示通过通过A(xA(x)点曲线点曲线的的切线切线斜率。斜率。xAxxxxxxxA 用同样方法用同样方法,由（由（1.1.21.1.2）式可得一阶微商的）式可得一阶微商的 向后差分方案向后差分方案 （1.1.61.1.6）其误差也是一阶精其误差也是一阶精(确确)度。（度。（1,1,61,1,6）式）式向后向后差差 分两

15、点式的几何意义，是表示通过分两点式的几何意义，是表示通过A(xA(x)和和 A(x-A(x-x x)两点直线两点直线的斜率。的斜率。x)x-x(AxAdxdAxxxA 当然我们也应该记住，当然我们也应该记住，一阶微商的物理意义是：一阶微商的物理意义是：被微商物理量在空间分布被微商物理量在空间分布的变化强度或随时间的变的变化强度或随时间的变化强度。化强度。(二）三点式差分方案二）三点式差分方案 由（由（1.1.11.1.1）式减去（）式减去（1.1.21.1.2）式，）式，移项并整理后移项并整理后,可得可得 略去方栝号內高阶微商项略去方栝号內高阶微商项,可得一阶微商的三点式差可得一阶微商的三点式

16、差 分方案，分方案，(1.1.7)(1.1.7)(1,1,7)(1,1,7)式也称之为中心式也称之为中心(央央)差分方案的其误差为差分方案的其误差为 O(O(x x),),为二阶精度为二阶精度.比前面所讲的两点式差分方案，比前面所讲的两点式差分方案，具有较高一阶的精度。三点式差分方案的几何意义，是具有较高一阶的精度。三点式差分方案的几何意义，是 表示通过表示通过A(x+A(x+x x)和和A(xA(x-x)x)两点直线的斜率。两点直线的斜率。!5xdxAd2!3xdxAd2xdxdA2)xx(AxxA5x553x33x !5xdxAd!3xdxAdx2)xx(A)xx(AdxdA4x552x3

17、3xx2)xx(A)xx(AdxdAx （三）用几何图形直观地理解，上述几种一阶微（三）用几何图形直观地理解，上述几种一阶微商商(导数导数)差分方案的精度。如图差分方案的精度。如图2 2所示：所示：A(xA(x)的一阶导数是表示，的一阶导数是表示，A(xA(x)曲线在曲线在 x x 点的点的切线切线L0L0的斜率的斜率.向前向前差差 分两点式是表示直线分两点式是表示直线 L1L1的斜率。向后的斜率。向后差分差分 两点式是表示直线两点式是表示直线L2L2 的斜率。三点式（中的斜率。三点式（中 心）差分是心）差分是表示直线表示直线 L3L3的的斜率斜率.可见，可见，L3L3 与与L0L0的斜率误差

18、较小的斜率误差较小,其它的其它的误差都较大误差都较大.此外注意，差分公式运算也含有两点之间求平此外注意，差分公式运算也含有两点之间求平均值的含义，因为均值的含义，因为 在诊断分析中，一阶导数的计算，一般都用二在诊断分析中，一阶导数的计算，一般都用二 阶精度的阶精度的 三点式三点式 (中心中心)差分方案差分方案,只有在边界只有在边界 上上,才用误差较大（一阶精度）的两点式向前或才用误差较大（一阶精度）的两点式向前或 向后差分方案。向后差分方案。x2)xx(A)xx(Ad21xdxAdxdxdAxxxx （四），一阶微商的五点式差分方案（四），一阶微商的五点式差分方案 它具有四阶精度的差分方案。它

19、的推导过它具有四阶精度的差分方案。它的推导过 是：是：将（将（1 1，1 1，1 1）式减去（）式减去（1 1，1 1，2 2）式可得）式可得 (a)将（将（1 1，1 1，3 3）式减去（）式减去（1 1，1 1，4 4）式可得）式可得(b)(b)式式 (b)然后，用然后，用4 4乘乘(a)(a)式减式减(b)(b)式式 后，再除以后，再除以3 3，可得，可得)!5xdxAd!3xdxAd(x2)xx(A)xx(AdxdA4x552x33x )!5x)2(dxAd!3x)2(dxAd(x4)x2x(A)x2x(AdxdA4x552x33x 略去高阶微商项，得到以下（略去高阶微商项，得到以下（

20、1.1.81.1.8）式）式 (1.1.8)它为四阶精度，记为它为四阶精度，记为O(x)。一般讲一般讲,差分方案差分方案 所用的格点越多，其精度也越高。所用的格点越多，其精度也越高。)30 xdxAd(x4)x2x(A)x2x(A31x2)xx(A)xx(A34dxdA4x55x x4)x2x(A)x2x(A31x2)xx(A)xx(A34dxdAx （五）构造五）构造有限有限差分公式的必要条件及差分公式的必要条件及有限差分有限差分 公式中各种精度的具体含义是什么？下面就来讨公式中各种精度的具体含义是什么？下面就来讨 论这个问题。论这个问题。我们先来分析泰勒（我们先来分析泰勒（Taylor)T

21、aylor)展开式等号右边展开式等号右边 中中,含有导数的各项数量级的大小含有导数的各项数量级的大小。!3xdxAd2!xdxAdxdxdAxAxxA3x332x22x 因为气象要素场多呈现波动规律因为气象要素场多呈现波动规律,因此我们可以因此我们可以 假定假定:A(xA(x)=BSin(2)=BSin(2xx/L),/L),式中式中L L为为A A要素场的波长要素场的波长,B,B为其振幅。为其振幅。其一其一阶微商是阶微商是 A(xA(x)=BCos)=BCos(2(2xx/L)/L)(2(2/L),/L),其二其二阶微商是阶微商是 A(xA(x)=-BSin)=-BSin(2(2xx/L)/

22、L)(2(2/L)/L),其三其三阶微商是阶微商是 A(xA(x)=-BCos)=-BCos(2(2xx/L)/L)(2(2/L)/L).其一其一阶微商是阶微商是 A(xA(x)=BCos)=BCos(2(2xx/L)/L)(2(2/L),/L),其二其二阶微商是阶微商是 A(xA(x)=-BSin)=-BSin(2(2xx/L)/L)(2(2/L)/L),其三其三阶微商是阶微商是 A(xA(x)=-BCos)=-BCos(2(2xx/L)/L)(2(2/L)/L)因为因为 BSin(2BSin(2xx/L)/L)与与 B BCosCos(2(2xx/L)/L)在在数量级上可数量级上可 以以

23、认为都等于认为都等于 B.B.所以泰勒展开式中，所以泰勒展开式中，A A (x)x x 其数量级其数量级 =B(2(2 x/L),x/L),A A (x)x x/2!/2!其数量级其数量级 =B(2(2 x/L)x/L)/2/2 A A (x)x x/3!/3!其数量级其数量级 =B(2(2 x/L)x/L)/6/6 可见只有在可见只有在2 2 x/L 1 x/L 1 条件下条件下,微商阶数较低的项微商阶数较低的项,其数量级才较大其数量级才较大,构造差分方案时构造差分方案时,才可以略去高阶微商才可以略去高阶微商 项项.这也就是构造差分方案的必要条件。即应该取这也就是构造差分方案的必要条件。即应

24、该取 x x L/(2L/(2),),即选取差分格距即选取差分格距xx时，必须考虑到计算的对时，必须考虑到计算的对 象的空间尺度象的空间尺度L L，例如若，例如若L=1000Km,L=1000Km,则则 x160Km.x160Km.差分公差分公 式才有意义。式才有意义。在我们来讨论一阶导数的二阶精度和四阶精在我们来讨论一阶导数的二阶精度和四阶精 度的具体含义。用相对误差来讨论度的具体含义。用相对误差来讨论 相对误差相对误差 =|=|误差值误差值 /准确值准确值(或计算值或计算值)|)|一阶导数一阶导数，二阶精度的差分方案略去项是二阶精度的差分方案略去项是 dA x +-dx 3!以其中的第一项

25、来计算，以其中的第一项来计算，则它的相对误差则它的相对误差=|=|A(xA(x)x x/3!/3!/A(x)|A(x)|=(=(2 2 x/L)x/L)/6/6。即截断误差的记为即截断误差的记为 O(O(x x )的含义是表示其相的含义是表示其相 对误差为对误差为:(:(2 2 x/L)x/L)/6/6 相对误差为相对误差为 (2 x/L)/6 如果如果2 2 x/L=1x/L=1，它的相对误差为它的相对误差为 1/6=17%.1/6=17%.如果如果2 2 x/L=x/L=，它的相对误差为它的相对误差为1/24=4%.1/24=4%.一阶导数，四阶精度的差分方案略去项是一阶导数，四阶精度的差

26、分方案略去项是 dA 12 x +-dx 3 5!以其中的第一项来计算，以其中的第一项来计算，则它的相对误差则它的相对误差 =。可见截断误差的记为可见截断误差的记为 O(x),四阶精度的含义是四阶精度的含义是表示其相对误差为表示其相对误差为:(2 x/L)/30 如果如果2 2 x/L=1x/L=1，它的相对误差为它的相对误差为 1/30=3%.1/30=3%.如果如果2 2 x/L=x/L=,它的相对误差为它的相对误差为1/480=0.2%.1/480=0.2%.30/L/x24 现在现在讨论讨论如何具体选取差分格距如何具体选取差分格距xx 这个问题。这个问题。在诊断分析中，一般要求在诊断分

27、析中，一般要求它的差分计算值的相它的差分计算值的相 对误差对误差 10%10%。因为。因为,气象要素观测值的气象要素观测值的相对误差相对误差,一般在一般在1%1%10%,10%,例如风的观测值的例如风的观测值的相对误差就接近相对误差就接近 10%10%。前面前面讨论了一阶导数的讨论了一阶导数的中心中心(央央)差分方案差分方案为为 二阶精度，二阶精度，若取若取2 2 x/Lx/L，该差分方案，该差分方案相对误相对误 差为差为1/24=4%1/24=4%，即应即应取取 xL/(4xL/(4)较为合适。较为合适。例例 如：计算对象的波长如：计算对象的波长L=1000L=1000公里时公里时,应取应取

28、 x=80 x=80 100100公里，它的二阶精度差分计算方案，其相对误公里，它的二阶精度差分计算方案，其相对误差大约是差大约是4 4%。二，二阶微商的几种差分方案二，二阶微商的几种差分方案 （一）（一）三点式差分方案三点式差分方案 将（将（1.1.11.1.1）式和（）式和（1.1.21.1.2）式相加，移项整理得）式相加，移项整理得 略去的高阶导数项。可得（略去的高阶导数项。可得（1.1.71.1.7）式）式 (1.1.7)其误差数量级记为其误差数量级记为O(x),称为二阶精度称为二阶精度。此式特此式特 点是用左右两点的值之和减去中心点乘点是用左右两点的值之和减去中心点乘2 2的值，的值

29、，再除以格点步长平方值再除以格点步长平方值 x x。在诊断分析中，在诊断分析中，二阶导数的计算，一般都用此三点式差分方案。二阶导数的计算，一般都用此三点式差分方案。12xdxAdx)x(2A)xx()xx(dxd2x442x222x22x)x(2A)xx(A)xx(AdxAd （二），二），二阶导数的五点式差分方案二阶导数的五点式差分方案 用上述一阶导数的五点式差分方案类似的方法。用上述一阶导数的五点式差分方案类似的方法。可得二阶导数四阶精度的五点式差分方案可得二阶导数四阶精度的五点式差分方案 dA|4 A(x+x)+A(x x)2A(x)|=dx|3 x x 1 A(x+2 x)+A(x 2

30、 x)2A(x)3 (2 x)上式经整理后可得常见的表达式上式经整理后可得常见的表达式 (1,1,10)(1,1,10)式式 dA|4 5|=A(x+x)+A(x x)A(x)dx|3 2 x 1 A(x+2 x)+A(x 2 x)/x (1.1.10)12 诊断分析中，只有在要求计算精度较高时，诊断分析中，只有在要求计算精度较高时，才用才用 此五点式差分方案。此五点式差分方案。2 2 拉普拉斯算子的差分格式拉普拉斯算子的差分格式 拉普拉斯算子为拉普拉斯算子为 A A A=+x y 在大气动力学中常出现在，如位势傾向方程在大气动力学中常出现在，如位势傾向方程 (见书第九页见书第九页)f A (

31、+)=p t 和和 方程方程(见书第九页见书第九页)(+f )=p 中中 一。一。设计拉普拉斯算子差分格式的理论依椐设计拉普拉斯算子差分格式的理论依椐 其理论依椐是：二维函数的泰勒展开式其理论依椐是：二维函数的泰勒展开式(1,2,1)(1,2,1)式式.二，几种拉普拉斯算子差分格式二，几种拉普拉斯算子差分格式 （一）常用的五点式差分格式常用的五点式差分格式 x,y 对于如图对于如图2.1b2.1b中四点中四点(其中网格步长是其中网格步长是h),h),可以写可以写 出四个泰勒展开式出四个泰勒展开式,两边相加两边相加,移项移项,整理并略去整理并略去 高阶导数项。可得高阶导数项。可得 A(x,y)=

32、A(x+h,y)+A(x-h,y+A(x,y+h)+A(x,y-h)4 A(x,y)/h (1.2.7)它便是二阶精度它便是二阶精度,常用的五点式差分格式常用的五点式差分格式.此式特此式特 点是用点是用左右上下左右上下四点的值之和减去中心点乘四点的值之和减去中心点乘4 4 的值，再除以格点步长平方值的值，再除以格点步长平方值h h。A(x,y)=A(x+h,y)+A(x-h,y+A(x,y+h)+A(x,y-h)4 A(x,y)/h (1.2.7)可以理解可以理解(1.2.7)(1.2.7)式是式是,在在x x方向一维二阶导数和方向一维二阶导数和 在在y y方向一维二阶导数相加的形式方向一维二

33、阶导数相加的形式.（二）对角线的五点式差分格式（二）对角线的五点式差分格式 对于如图对于如图2.1a 2.1a 中四点也可以写出四个泰勒展开中四点也可以写出四个泰勒展开 式。然后采用上述相同的做法，可得到一种五式。然后采用上述相同的做法，可得到一种五 点式差分格式（点式差分格式（1.2.61.2.6）式）式 A(x,y)=A(x+h,y+h)+A(x-h,y-h+A(x-h,y+h)+A(x+h,y-h)4 A(x,y)/(2h)(1.2.6)它也是二阶精度它也是二阶精度.称为对角线的五点式差分格式称为对角线的五点式差分格式.x-h,y+h x+h,y+h x,y x-h,y-h x+h,y-

34、h A(x,y)=A(x+h,y+h)+A(x-h,y-h+A(x-h,y+h)+A(x+h,y-h)4 A(x,y)/(2h)(1.2.6)它也是二阶精度它也是二阶精度.称为对角线的五点式差分格式称为对角线的五点式差分格式.注意到注意到 h h是对角线方向格点间的距离是对角线方向格点间的距离,所以所以 (1,2,6)(1,2,6)式和式和(1,2,7)(1,2,7)式的区别，可以认为是式的区别，可以认为是把坐把坐 标轴转向标轴转向4545度的结果，度的结果，致使，用了对角线方向的致使，用了对角线方向的 4 4个格点的值个格点的值,格点步长格点步长变成变成 h,h,所以所以,此式此式 特点特点

35、 是用对角线四点的值减去中心点乘是用对角线四点的值减去中心点乘4 4 的值，的值，再除以再除以 格点步长格点步长平方值平方值2h2h。22 （三）拉普拉斯算子的九点式差分格式（三）拉普拉斯算子的九点式差分格式 它是用如图它是用如图2.1a 2.1a 和图和图2.1b 2.1b 所有格点，共九点的所有格点，共九点的 要素值来构造，得到一种较为复杂的差分格式要素值来构造，得到一种较为复杂的差分格式（1.2.81.2.8）式。它也是二阶精度）式。它也是二阶精度,一般不常用一般不常用.3 3 雅可比算子的差分方案雅可比算子的差分方案 雅可比算子常出现在大气动力学方程中平流项雅可比算子常出现在大气动力学

36、方程中平流项 的表达式中。如涡度平流项为的表达式中。如涡度平流项为 A=V 用流函数用流函数表示风场表示风场 则有则有 =J(,)=J(,)(1.3.1)(1.3.1)yvxuyuyxxyAxv 一，雅可比算子的差分方案一，雅可比算子的差分方案 它是对两个不同要素它是对两个不同要素(,)的一阶导数先相乘，后相减的一阶导数先相乘，后相减 的运算式的运算式.所以它的差分方案所以它的差分方案,在在 i,j 网格坐标网格坐标(图图3.1)中中,用一阶导数的中心差分格式，不难写出（用一阶导数的中心差分格式，不难写出（1,3,2）式）式 1 J(,)=()()4d i+1,j i-1,j i,j+1 i,

37、j-1 ()()(1,3,2)i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j i,j+1 它的精度为二阶它的精度为二阶.诊断分析中可用此式诊断分析中可用此式.i-1,j i,j i+1,j i,j-1xyyx,J 二，二，Arakawa Arakawa 的的雅可比算子差分方案雅可比算子差分方案 上述（上述（1.3.21.3.2）式）式的的雅可比算子差分方案雅可比算子差分方案,一般可用于诊断分析计算一般可用于诊断分析计算,但它不适用于数但它不适用于数 值予报，因为在对时间求积分时，发现值予报，因为在对时间求积分时，发现（1.3.21.3.2）式会引起计算不稳定。）式会引起计算不稳定。Arakaw

38、a Arakawa 所设计所设计的的雅可比算子差分方案，不仅具有计雅可比算子差分方案，不仅具有计 算稳定的特点，而且具有四阶精度。在诊断算稳定的特点，而且具有四阶精度。在诊断 分析中，如要求做精度较高的计算时，可用分析中，如要求做精度较高的计算时，可用 此差分方案。此差分方案。他的设计技巧，在于他发现并利用雅可比算子有三他的设计技巧，在于他发现并利用雅可比算子有三个不同的表达式个不同的表达式：这三个表达式在微商运算中，是相等的。但是它们的这三个表达式在微商运算中，是相等的。但是它们的 差分表达式可有六种差分表达式可有六种,都不一样。运算值也不一定一样。都不一样。运算值也不一定一样。因为它们分别

39、用了不同格点上的值来运算得到的因为它们分别用了不同格点上的值来运算得到的.把它把它 们做权重组合，可得到精度很高的差分计算公式们做权重组合，可得到精度很高的差分计算公式.xyyx,Jxyyx,Jyxxy,J 例如其中例如其中 第一个表达式第一个表达式 J(,)=x y y x 在在 i,j i,j 网格坐标网格坐标 (图图3.2)3.2)中已知有一种差方中已知有一种差方 方案方案(1.3.2)(1.3.2)式，这里记为式，这里记为 a a 1 a=J(,)=()()4d i+1,j i-1,j i,j+1 i,j-1 ()()i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j 该式一个特点是：该式

40、一个特点是：,参加运算的格点位置参加运算的格点位置,都在都在 左右上下左右上下的方向上的方向上.J(,)=x y y x 把坐标轴转向把坐标轴转向4545度还可以得到类似度还可以得到类似 a a 式的另一式的另一 种种差分方案差分方案,这里记为这里记为 D D 1 D=J(,)=()()8d i+1,j+1 i-1,j-1 i-1,j+1 i+1,j-1 ()()i-1,j+1 i+1,j-1 i+1,j+1 i-1,j-1 该式一个特点是：该式一个特点是：,参加运算的格点位置参加运算的格点位置,都在都在对角线对角线的方向上的方向上.(图图3.2)3.2)其中第二个表达式其中第二个表达式 J(

41、,)=()()x y y x 按中心差分格式其差方方案记为按中心差分格式其差方方案记为b b 1 =()()4d i+1,j i+1,j+1 i+1,j-1 i-1,j i-1,j+1 i-1,j-1 ()+()i,j+1 i+1,j+1 i-1,j+1 i,j-1 i+1,j-1 i-1,j-1 该该b b式一个特点是式一个特点是:参加运算的格点位置参加运算的格点位置,都在都在 左右上下左右上下的方向上，的方向上，参加运算的格点位置参加运算的格点位置,都在都在对角线对角线的方向上的方向上(图图3.2)3.2)。1.1,1,1ji212d1Jbjijijijixxdyy，按前面做法按前面做法把

42、坐标轴转向把坐标轴转向4545度也可以得到度也可以得到第二第二 表达式的表达式的另一种另一种差分方案。这个差分方案记为差分方案。这个差分方案记为 E,E,该式一个特点是该式一个特点是:参加运算的格点位置参加运算的格点位置,都都 在在对角线对角线的方向上，的方向上，参参 加运算的格点位置加运算的格点位置,都在都在 左右上下左右上下的方向的方向两个格两个格 距点距点上上(图图3.3)3.3)。其中第三个表达式其中第三个表达式 J(,)=()()y x x y 与第二个表达式与第二个表达式 J(,)=()()y x y x 的差别是的差别是 ,两元素只是在公式中的位置对换一两元素只是在公式中的位置对

43、换一 下下.所以所以只要把只要把 b b与与 E E式中的式中的 ,两元素位置对两元素位置对 换一下换一下，就，就可以得到可以得到第三个表达式第三个表达式的的两两种种差分方差分方 案记为案记为c c和和F F。它们的它们的 ,参加运算的格点位置参加运算的格点位置,都各有特点。都各有特点。与前述的四种与前述的四种 a,b,D,E a,b,D,E 也都不一样。因为它也都不一样。因为它 们分别用了不同格点上的值来运算，得到的运算们分别用了不同格点上的值来运算，得到的运算 值也不一定一样。值也不一定一样。把它们做权重组合得到把它们做权重组合得到 2 1 J(,)=(a+b+c )(D+E+F)(1,3

44、,6)3 3 可以证明它具有四阶精度。它一共用了可以证明它具有四阶精度。它一共用了1313个格点个格点 上的值参与运算上的值参与运算(图图3.3)3.3)。是一个很复杂的差分方。是一个很复杂的差分方 案。在诊断分析中，只有案。在诊断分析中，只有 要求做精度较高的计算要求做精度较高的计算 时，才用此差分方案。时，才用此差分方案。学习这一节不必去记忆那复杂的差分公式。而在学习这一节不必去记忆那复杂的差分公式。而在 于学习于学习Arakawa Arakawa 的设计技巧。这技巧是：的设计技巧。这技巧是：1 1，ArakawaArakawa发现并利用雅可比算子有三个形式发现并利用雅可比算子有三个形式

45、不同，而等价的导数表达式。不同，而等价的导数表达式。2 2，在正常的，在正常的左右上下左右上下进行差分设计时，也进行差分设计时，也可可 以在以在对角线对角线的方向上做类似的差分设计。的方向上做类似的差分设计。3 3，将它们做某种权重组合，便可能得到某种精，将它们做某种权重组合，便可能得到某种精 度较高的差分方案。度较高的差分方案。第一章第一章有限差分方法有限差分方法的复习题的复习题 1 1，请说明设计有，请说明设计有限差分方案的理论依据是什么限差分方案的理论依据是什么?2 2，请分别写出请分别写出A(x+xA(x+x),),A(xA(xxx),),A(x+2x),A(x+2x),A(x A(x

46、2x)2x)的泰勒的泰勒(Taylor)(Taylor)展开式。展开式。3 3,试推导出一阶微商的试推导出一阶微商的三点式三点式(中心中心)差分公差分公式式,并说明其为几阶精度？并说明其为几阶精度？4,4,试画出图形并说明，一阶微商，及一阶微商的试画出图形并说明，一阶微商，及一阶微商的 向前向前差分两点式，差分两点式，向后向后差分两点式和差分两点式和三点式三点式 (中心中心)差分差分式式的的几何意义几何意义.*5,5,试推导出一阶微商的五试推导出一阶微商的五点式差分公点式差分公式式(方案方案),),并说明其为几阶精度？并说明其为几阶精度？6,6,假定气象要素场一维空间分布为波状假定气象要素场一

47、维空间分布为波状,其波长为其波长为L,L,请讨请讨 论差分计算时论差分计算时,所设计的空间步长所设计的空间步长x x与波长与波长L L应该满足应该满足 什么条件，差分方案才是合理的什么条件，差分方案才是合理的?(2?(2 x/L1x/L-15-15 c c时时,作为水面处理作为水面处理;t t -40 -40 c c 时，作为冰面处理时，作为冰面处理:其余作为冰水面其余作为冰水面 共存处理。共存处理。bT16.273Ta1078exp.6eddbt273.16at1078exp.6dd 2 2，饱和水汽压，饱和水汽压eses 它的物理含义是它的物理含义是:是指露点温度与气温相等时是指露点温度与

48、气温相等时湿空气中水汽的分压强，单位是百帕湿空气中水汽的分压强，单位是百帕(hPahPa).).它一般也它一般也 不直接用来做分析。而是在求算某些温不直接用来做分析。而是在求算某些温湿特征参量时，要先计算它湿特征参量时，要先计算它。它的计算公式是它的计算公式是：(2.1.2)(2.1.2)公式中公式中 t t 为摄氏温标下的气温，单位是为摄氏温标下的气温，单位是 c c T T为为 K K氏温标下的气温，单位是氏温标下的气温，单位是 K.K.a,b a,b 与与水汽压水汽压 e e 公式中相同。公式中相同。bT16.273Ta1078exp.6esbt273.16at1078exp.6 需要提

49、出注意的是：需要提出注意的是：在气象学中表示温度时，大写的在气象学中表示温度时，大写的 T T 和和 Td Td 与与 小写的小写的 t t 和和 td td 是有区别的。它们之间的关系是有区别的。它们之间的关系 是是 :T=t+273.16;Td=:T=t+273.16;Td=tdtd+273.16.+273.16.而在用而在用 FORTRAN FORTRAN 语言编写计算程序时，如果语言编写计算程序时，如果 在程序中也这么写，那就可能出错。在程序中也这么写，那就可能出错。因为在因为在FORTRANFORTRAN计算程序中，作为数组或变计算程序中，作为数组或变量量名名,其其大写的英文字母与小

50、写的英文字母是没有区别大写的英文字母与小写的英文字母是没有区别 的的.这么写就意味着这么写就意味着,原来资料的原来资料的 t t 和和 td td 摄摄 氏单位的值被改变了氏单位的值被改变了,极容易给后面的计算造成极容易给后面的计算造成 混乱混乱.为此，在编写计算程序时，如果遇到计算公式为此，在编写计算程序时，如果遇到计算公式 温度是温度是T T或露点温度是或露点温度是TdTd时，建议在程序中时，建议在程序中 用用(t+273.16)t+273.16)代替代替 T T 用用(td+273.16)td+273.16)代替代替 Td Td 或用或用 DaTDaT 代表代表 T T，即程序写成即程序

51、写成 DaTDaT=t+273.16=t+273.16 用用DaTdDaTd代表代表Td,Td,即程序写成即程序写成 DaTdDaTd=td+273.16=td+273.16 这样不容易搞错，也便于程序的阅读。这样不容易搞错，也便于程序的阅读。3 3，比湿，比湿 q q 它的物理意义是：湿空气中含有的水汽质量它的物理意义是：湿空气中含有的水汽质量 与湿空气质量之比。它的计算公式是与湿空气质量之比。它的计算公式是 (2.1.6)(2.1.6)式中式中 e e 为水汽压，为水汽压，p p 为大气压，单位都是百为大气压，单位都是百 帕帕。在计算中要注意的是：在计算中要注意的是：1 1，如果，如果 q

52、 q 做为计算过程中间值出现时，则必做为计算过程中间值出现时，则必 须用克须用克/克为单位。因为单位也要参加运算克为单位。因为单位也要参加运算.2 2，如果，如果 q q 做为计算结果值输出，则应该用做为计算结果值输出，则应该用 克克/千克为单位，并取小数一位。千克为单位，并取小数一位。0.378e-P0.622eq 4 4，饱和比湿，饱和比湿 它的物理意义是：饱和湿空气中含有的水它的物理意义是：饱和湿空气中含有的水 汽质量与湿空气质量之比。它的计算公式是汽质量与湿空气质量之比。它的计算公式是 0.622 0.622 =（克（克/克）克）(2.1.6)(2.1.6)p p 0.378 0.37

53、8 式中式中 为饱和水汽压，为饱和水汽压，p p为大气压，单位都是百为大气压，单位都是百 帕帕.比湿和饱和比湿在诊断分析中比湿和饱和比湿在诊断分析中,主要用于计算主要用于计算 水汽潜热水汽潜热,水汽通量水汽通量,水汽散度水汽散度,相当位温和理论相当位温和理论 降水量的计算降水量的计算.sqsqsesese 5，相对湿度，相对湿度 RH 它的定义是：实际水汽压它的定义是：实际水汽压e与同温下的饱和水汽与同温下的饱和水汽 压压 es 之比。之比。RH=(e/es)100%它表示了空气的潮湿程度。它表示了空气的潮湿程度。2.3 2.3 温度特征参量的计算温度特征参量的计算 温度特征参量，除了气温外，

54、就只有位温温度特征参量，除了气温外，就只有位温。位温位温是气块从它原有的温度和压强是气块从它原有的温度和压强,经干绝热经干绝热 变化到变化到10001000百帕时百帕时,所具有的温度。它的计算式所具有的温度。它的计算式 是是 (2.3.2)(2.3.2)T T是气温是气温,单位单位 K,K,p p是气块原有的压强是气块原有的压强,单位单位hPahPa.的单位是的单位是 K K。它可用来分析大气在干绝热状况它可用来分析大气在干绝热状况 下的垂直稳定度。下的垂直稳定度。286.0P1000T 2.4 相当位温的计算相当位温的计算 一，相当位温一，相当位温 的定义和它的计算式的定义和它的计算式 相当

55、位温相当位温 是：未饱和湿空气是：未饱和湿空气(T,Td),如下图如下图(书中书中 图图4)所示所示.从初始高度从初始高度P开始，先沿干热绝上升开始，先沿干热绝上升到达凝结到达凝结 高度高度 (此时所具有的温度，称为抬升凝结温度此时所具有的温度，称为抬升凝结温度 后，后，再再沿湿绝热上升，等到全部水汽凝结尽，所有的潜热均沿湿绝热上升，等到全部水汽凝结尽，所有的潜热均 释放出来，且全部凝结物均落出该气块之外后，再沿干释放出来，且全部凝结物均落出该气块之外后，再沿干 绝热压缩到绝热压缩到1000hPa 时时,所具有的温度所具有的温度,称为称为相当位温相当位温 图中虚线为等比湿图中虚线为等比湿q线线

56、 1000hPaLnPepTdTLTTLPLPLTLPpLTdTTqTeee 它的计算式是它的计算式是 =(2.6.2)T是气温是气温,单位单位 K,p是是气块原有的压强气块原有的压强,e 为水汽压为水汽压,单单 位都是位都是 hPa.q是比湿是比湿(克克/克克);L=(597.3-0.566 t)(卡卡/克克);=0.24(卡卡/克克 度度);是抬升凝结温度，它有多种计算方法。是抬升凝结温度，它有多种计算方法。由于相当位温由于相当位温 在干湿绝热过程中，都具有保在干湿绝热过程中，都具有保 守性。它被广泛应用于大气稳定度的分析和气团守性。它被广泛应用于大气稳定度的分析和气团 分析。分析。Lp2

57、86.0TCqLexpep1000TpCLTee 二，二，相当位温相当位温 的计算步骤：的计算步骤：由于其计算公式是由于其计算公式是 =(2.6.2)所以它的所以它的计算步骤计算步骤通常是：通常是：在读入温度在读入温度 t，露点温度，露点温度 td资料和给定气压资料和给定气压 p 值后值后 1，先给出几个需要用的常数，先给出几个需要用的常数:a=17.27;b=35.86(通常通常 取水面值取水面值)；=0.24(卡卡/克克 度度);2，计算水汽压，计算水汽压 e；3,计算比湿计算比湿 q(克克/克克);4，计算，计算 L=(597.3-0.566 t)(卡卡/克克);Lp286.0TCqLe

58、xpep1000TpCee 5，计算抬升凝结温度，计算抬升凝结温度 (方法见后面方法见后面)；6，按公式计算，按公式计算 值值 =(2.6.2)其中其中T可用可用(t+273.16)值代入值代入;7，最后输出，最后输出 值（单位值（单位 K).Lp286.0TCqLexpep1000TLTeee 三，计算取抬升凝结温度三，计算取抬升凝结温度 的方法的方法.方法一方法一(迭代法迭代法)设气块在原高度设气块在原高度Z Z上上,气温为气温为T T，气压为，气压为P P，露点温度为，露点温度为 TdTd，水汽压为，水汽压为e e，比湿为，比湿为q q 。均为已知或可计算得到的。均为已知或可计算得到的。

59、设气块上升到凝结高度时的温度设气块上升到凝结高度时的温度(即凝结温度即凝结温度)为为 ，气压为气压为 ,露点温度为露点温度为 =,=,水汽压为水汽压为 ,比湿为比湿为 ,在前面分析了解中在前面分析了解中,已知其位温已知其位温不变的。比湿不变的。比湿q q也是不也是不 变的变的.即有即有 (2,5,6)(2,5,7)LTLTdLTLPLeLq286.0LL286.0P1000TP1000TLLL378e.0P622e.00.378e-P622e.0qLT (2,5,6)(2,5,7)(2,5,9)以上方程组中有三个方程，包含三个未知量以上方程组中有三个方程，包含三个未知量 ，.原则上是可以求解的

60、。但是直接求其解析解是比较复杂原则上是可以求解的。但是直接求其解析解是比较复杂 的。而用迭代法求解则相对容易些。在讲解迭代法之前的。而用迭代法求解则相对容易些。在讲解迭代法之前,应先分析这三个变量和三个方程有什么特点及其图形特应先分析这三个变量和三个方程有什么特点及其图形特 征。这三个变量，其实只有征。这三个变量，其实只有 和和 两个是真正的变量两个是真正的变量,而而 可由可由 唯一决定。以下分析唯一决定。以下分析(2,5,6)(2,5,6)和和(2,5,7)(2,5,7)式式bT16.273Ta1078exp.6eLLLLTLPLe286.0LL286.0P1000TP1000TLLL378

61、e.0P622e.00.378e-P622e.0qLPLTLTLe (2,5,6)(2,5,7)以下分析以下分析(2,5,6)(2,5,6)式等式等线线(下图红色线下图红色线)和和(2,5,7)(2,5,7)式等式等q q 线线(下图虚线下图虚线)在在T-T-LnPLnP图中特征：气块沿着等图中特征：气块沿着等线上升，线上升，温度随之降低，饱和比湿温度随之降低，饱和比湿 也随之减小。也随之减小。300hPa300hPa()()图中设图中设 为由为由TdTd和和 LnPLnP P P所计算得到的所计算得到的q q值值.1000hPa 1000hPa P Td T P Td T 0qLTLP286

62、.0LL286.0P1000TP1000TLLL378e.0P622e.00.378e-P622e.0q1q2q2q1q0q2q 迭代法求解抬升迭代法求解抬升凝结温度凝结温度步骤如下：步骤如下：1，用已知，用已知P,T,Td值可计算得到值可计算得到,e(2,1,1式式),q 值。值。2，先给出，先给出 的一个的一个猜猜值值 (如如300hPa).3，代入，代入(2,5,6)式可求出一个温度迭代值式可求出一个温度迭代值 。4，再代入，再代入(2,5,9)式可求得水汽压的迭代值式可求得水汽压的迭代值 。5，再代入，再代入(2,5,7)式可求得比湿的迭代值式可求得比湿的迭代值 。6，比较，比较 q

63、和和 的大小。如果的大小。如果(q)0,0,说明说明 值值 偏低，相应的偏低，相应的 值也太小值也太小(高度太高高度太高)，这时给出，这时给出 一个新的猜值一个新的猜值 =(+1)hPa=(+1)hPa。7 7，从复，从复3 3 6 6各步，直到各步，直到迭代迭代n次后，第一次出现次后，第一次出现 (q)0,0,则则抬升凝结温度就被确定为抬升凝结温度就被确定为 =。抬升凝结气压高度也被确定为抬升凝结气压高度也被确定为 =。抬升凝结几。抬升凝结几 何高度也由何高度也由干静力能不变公式干静力能不变公式确定。确定。LP1LP1LT1Le1Lq1Lq1Lq1LT1LP1LP1LP1LqLT1LT1LP

64、LP 迭代法求解抬升迭代法求解抬升凝结温度凝结温度 的的计算框图如下：计算框图如下：用已知用已知P,T,Td值可计算得到值可计算得到,e(2,1,1式式),q 值。值。=300hPa 代入代入(2,5,6)式求出一个温度迭代值式求出一个温度迭代值 再代入再代入(2,5,9)式求得水汽压的迭代值式求得水汽压的迭代值 再代入再代入(2,5,7)式求得比湿的迭代值式求得比湿的迭代值 否否 是否是否(q)0,0,是是 =(+1)hPa=(+1)hPa。=，输出输出 值值1LP1LT1Le1Lq1Lq1LPLT1LTLTLT1LP 求取抬升凝结温度求取抬升凝结温度 的的 方法二，方法二，用以下近似式进行

65、计算用以下近似式进行计算 =T 1.24(t td)=273.16 0.24 t+1.24td (2,5,11)这个这个近似式也可以从近似式也可以从T-lnP图中得到理解。图中红色线图中得到理解。图中红色线 为等为等线，虚线为等线，虚线为等q q线线.注意注意:t td=TTd.LnP Td T LTLTLT 第二章讲课的复习题第二章讲课的复习题:1,试回答气温试回答气温 T 的的单位是什么？气温单位是什么？气温 t 的的单位单位 是什么？是什么？T 与与 t 的关系是什么？的关系是什么？2,试回答露点温试回答露点温 度度Td 的的单位是什么？露点温单位是什么？露点温度度 td的的单位是什么？

66、单位是什么？Td 与与 td 的关系是什么？的关系是什么？3，在在FORTRAN计算程序中计算程序中,作为数组或单元作为数组或单元名名,其大写的英文字母与小写的英文字母是否有其大写的英文字母与小写的英文字母是否有区别？区别？4，如何决定所计算的物理量输出几位有效位，如何决定所计算的物理量输出几位有效位数及选取多大的比例单位？数及选取多大的比例单位？5 5，比湿，比湿 q q的计算式及其物理含义的计算式及其物理含义?6 6，位温，位温的计算式及其物理含义的计算式及其物理含义?7 7，相当位温的计算式及其物理含义，相当位温的计算式及其物理含义?8 8，抬升凝结温度的定义是什么？，抬升凝结温度的定义是什么？*9 9，空气在干绝热上升过程中，有那些物理量是，空气在干绝热上升过程中，有那些物理量是 不变的不变的?在计算抬升凝结温度时在计算抬升凝结温度时是用那些计是用那些计 算公式？算公式？*1010，请写出迭代求解抬升凝结温度的计算步骤，请写出迭代求解抬升凝结温度的计算步骤 或计算框图。或计算框图。第三章运动学特征参量的计算第三章运动学特征参量的计算 本章所介绍的各类运动学特征参量的定义和本章所