初中数学九年级上下册知识点总结（18页） - 廉政纪检 -

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1、初中数学九年级上下册知识点总结（18页） - 廉政纪检 - 第一章证明（二）等腰三角形的“三线zz”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线zz线，将等边三角形分成两个 全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：勾股定理：999abc （注意区分斜边与直角边）在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）垂直平分线是垂

2、直于一条线段并且平分这条线段的直线。（注意着重号的意义） 直线与射线有垂线，但无垂直平分线线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图AO=BO=C）角平分线上的点到角两边的距离相角平分线逆定理：在角内部的，角平分线是到角的两边距离相三角形三条角平分线交于一点，（如图2所示，OD=OE=OF）B4只含有一个未知数的整式方程,A且都可以化为B线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线

3、交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图AO=BO=C）角平分线上的点到角两边的距离相角平分线逆定理：在角内部的，角平分线是到角的两边距离相三角形三条角平分线交于一点，（如图2所示，解一元二次方程的方法：配方法 即将其变为（x m）2 0的形式公式法 xb24ac公式法 xb24ac2a（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）分解因式法把方程的一边变成 0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根；当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；2当b -4ac0时，方程无实数根。如果一元二次方程

4、ax bx c 0的两根分别为X1、X如果一元二次方程 ax bx c 0的两根分别为X1、X2，则有:一元二次方程的根与系数的关系的作用:（1）已知方程的一根，求另一根; 不解方程，求二次方程的根X1、X2的对称式的值，特别注意以下公式:(Xix2(x1 x2)2 2x-ix2已知方程的一根，求另一根; 不解方程，求二次方程的根X1、X2的对称式的值，特别注意以下公式:(Xix2(x1 x2)2 2x-ix21一X1X2x1x2X-|X2X2)2(Xix2 )2 4x1x2|X1X2 |,(X1X：(|X1| X2I)2(X1X2)23X13X2(X1X2)3式。（3）已知方程的两根X1、)

5、2 4x1 x22x1x22 | x1x2 |3X1X2（X1 X2）其他能用X1X2或X1 x2表达的代数X2，可以构造一元二次方程：X2(xi x2)x X-1X20(4)处理问题的过程可以进一步概括为:分析问题抽象方程求解解答(4)处理问题的过程可以进一步概括为:分析问题抽象方程求解解答已知两数X1、X2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程2X(X1 x2)x X1X20 的根在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为X ;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；寻找等量关系（一 般地，题目中会含有一表述等量关系的句

6、子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。第三章证明（三），平行四边形不相邻的两顶点平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的

7、性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图 形，有两条对称轴）矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形

8、是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系 （如图 3所示） ：梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第四章 视图与投影三视图包括：主视图、俯视图和左视图。三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图

9、的下方，左视图要画在正视图的右边。主视图：基本可认为从物体正面视得的图象俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象左视图：基本可认为从物体左面视得的图象（平面或曲面（平面或曲面），而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸岀或凹的各个小的平面体（或曲面体）。 TOC o 1-5 h z 在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影? ?。太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影?。探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一

10、点岀发的，像这样的光线所形成的投影称为中心? ?投影。区分平行投影和中心投影：观察光源；观察影子。眼睛的位置称为视点；由视点发岀的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。点在一个平面上的投影仍是一个点；线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状； 平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段； 平面图形和投影面倾斜的

11、情况下，其投影小于实际的形状。第五章反比例函数k反比例函数的概念：一般地，y（ k为常数，k工0）叫做反比例函数，即 y是x的反比例x函数。（x为自变量，y为因变量，其中 x不能为零）k1反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 yx xy k（k 0） 变量y与x成反比例，比例系数为 k.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：按照反比例函数的定义判断；看两个变量的乘积是否为定值 即xy k 。（通常第二种方法更适用）反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线反比例函数性质：当k0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小;当k0时，双曲线的两支分别位于二、四象

12、限；在每个象限内，y随x的增大而增大;双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。12|xy|反比例函数图象的几何特征:（如图12|xy|点P（x,y）在双曲线上都有 S矩形oapb |xy| |k| S aob第六章频率与概率 在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率即:每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率即:频数频数数据总数实验次数在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于 1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两

13、种不同表示形式，前者准确，后者 直观。用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。可用列表的方法求岀概率，但此方法不太适用较复杂情况。假设布袋内有 m个黑球，通过多次试验，我们可以估计岀布袋内随机摸岀一球，它为白球的概率；要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有 10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照100x10200估算岀鱼的条数。100x10200估算岀鱼的条数。（注意估算岀来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”)生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的

14、可能性的大小，并不表示一定会发生、九年级（下册）第一章直角三角形边的关系一.正切：定义：在 Rt ABC中，锐角A的正切，记作tanA，即tanAA的对边A的邻边；tanA是一个完整的符号，它表示 ;tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A是锐角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，A越大，梯子越陡，tanA的值越 大。二.正弦：定义：在Rt ABC中,锐角A的正弦，记作sinA，即 sin A即 sin AA的对边斜边三.余弦：定义：在Rt ABC中,锐角A的余弦，记作cosA，即 cos AA即 cos AA的邻边斜边余切：一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正

15、弦、 余切、正切。(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以 概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达：若 C为直角,FA、ZC所对的边分别为三边之间的关系：a2+b2=c2;两锐角的关系：AOB=,这是错误的.探3.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角.探4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角 所对的弧也相等；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；四 . 确定圆的条件 : 1. 理解确定一个圆必须的具备两个

16、条件 :圆心和半径 , 圆心决定圆的位置 , 半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个圆 , 经过两点也可以作无数个圆 ,其圆心在这个两点 线段的垂直平分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情况 :经过同一直线上的三点不能作圆 .经过不在同一直线上的三点 , 能且仅能作一个圆 .定理 : 不在同一直线上的三个点确定一个圆 . 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念 :三角形的外接圆和圆的内接三角形 : 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这 个三角形的外接圆 , 这个三角形叫做圆的内接三角形 .三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 .三角形的外心的性质 : 三

17、角形外心到三顶点的距离相等 .五 . 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的定义 :(1) 相交: 直线与圆有两个公共点时 , 叫做直线和圆相交 , 这时直线叫做圆的割 线.(2) 相切: 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 , 这时直线叫做圆的切线 惟一的公共点做切点 .相离: 直线和圆没有公共点时 , 叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特征 : 设。0的半径为r，圆心0到直线的距离为d;dvr = 直线l和o 0相交.d=r = 直线L和O 0相切.dr = 直线L和O 0相离.探3.切线的总判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切

18、线 . 4. 切线的性质定理 ： 圆的切线垂直于过切点的半径 .推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 ,可得如下结论 ： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 , 就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 . 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念 . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 , 内切圆的圆心叫做三角形的内 心, 这个三角形叫做圆的外切三角形 . 6. 三角形内心的性质 ：三角形的内心到三边的距离相等 .过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 .

19、 由此性质引出一条重要的辅助线 ： 连接内心和三角形的顶点 , 该线平分三角形的 这个内角 .圆和圆的位置关系 .探1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义. 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部 TOC o 1-5 h z 时，叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点. 相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交.内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时 叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫

20、做切点.(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含圆同心是两圆内的一个特例探2.两圆位置关系的性质与判定：两圆外离 = dR+r两圆外切 = d=R+r两圆相交 = R-rdR+r (R r) 两圆内切 = d=R-r (Rr)(5)两圆内含 = dR-r (Rr)探3.相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.探4.相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.弧长及扇形的面积探1.圆周长公式：圆周长C=2 R (R表示圆的半径)探2.弧长公式：n r弧长I(R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数)180探3.扇形定义：一条弧和经

21、过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形探4.弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.探5.圆的面积公式.圆的面积sR2 (R表示圆的半径)探6.扇形的面积公式：扇形的面积S扇形n R2360(R表示圆的半径n表示弧所对的圆心角的度数：(如图5)彳弓形所含的弧是劣弧时A , S弓形_S扇形的面积S扇形n R2360(R表示圆的半径n表示弧所对的圆心角的度数：(如图5)彳弓形所含的弧是劣弧时A , S弓形_S扇形B弓形的面积公式(1)O(2)当弓形所含的弧是优弧时S扇形,S弓形5AB(3)当弓形所含的弧是半圆时，s弓形图52 r2B圆锥的有关概念：探1.

22、圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.探2.圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点 .如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长（扇形半径）是I,底面圆周长（扇形弧长）为c,那么它的侧面积是：11AB,这个圆叫做这个四S侧一cl-2 rl rlAB,这个圆叫做这个四22o九.与圆有关的辅助线如圆中有弦的条件，常作弦心距，或过弦的一端作半径为辅助线如圆中有直径的条件，可作岀直径上的圆周角.如一个圆有切线的条件

23、，常作过切点的半径（或直径）为辅助线.若条件交代了某点是切点时，连结圆心和切点是最常用的辅助线O十.圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形边形的外接圆.圆内接四边形的特征：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角十一.北师版数学未岀理的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。如图6,丁 PA, PB分别切O O于A B PA=PB PO平分 B3 ?和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦

24、的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。女口图 8, AP?PB=CP?PD女口图9,若CD! AB于P, AB为O O直径，贝U cP=AP?PB4?切割线定理切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项；推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等。如图10, PT切O O于T, PA是割线，点 A B是它与O O的交点，贝U P=PA?PBPA、PC是O O的两条割线，贝0 PD?PC=PB?PA5 ?两圆连心线的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直

25、平分两圆的公共弦。如图11,O O与O O交于A、B两点，则连心线 OO2丄AB且AC=BC6 ?两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图12, AB分别切O Oi与O 02于A、B,连结 OA, QB,过02作QC丄OA于C,公切线长 为I，两圆的圆心距为 d,半径分别为 R r则外公切线长：L d2 (R r)2如图13 , AB分别切O O与O 02于A、B, OC AB, 02如图13 , AB分别切O O与O 02于A、为r，则内公切线长： Ld2 (R r)2B第只是在实验次数很多时多，也彳三.游戏公平吗8?理论直相等? OR0与1C 图B第只是在实验次数很多时多，也彳三.游戏公平吗8?理论直相等? OR0与1C 图13A- 图12OC,这就是“随机事件”B游戏的公平性|是指游戏双方各有表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率 之间.概率的预测的计算方法：某事件A发生的概率： 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点50%赢的机会，或者游戏3.4.要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；要弄清楚所有机会均等的结果 .(注：表示重点部分；。表示了解部分；表示仅供参阅部分；) O/？丄