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1、 第二节第二节 近自由电子近似近自由电子近似本节主要内容：本节主要内容：5.2.1 5.2.1 一维弱周期场的解一维弱周期场的解5.2.2 5.2.2 一维简并微扰的计算一维简并微扰的计算5.2.3 5.2.3 能带的三种图示法能带的三种图示法 模型：模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0 0代替代替V(x)，把把周期性起伏周期性起伏V(x)-)-V0 0作为微扰来处理。作为微扰来处理。5.2.1 一维弱周期场的解1.势场ikxnnVxVe)(22
2、d)e(1aaikxnxxVaV)()(xVaxV (a为晶格常量为晶格常量)5.2 近自由电子近似,VaxVaxiknn)(e)(220)d(1aaxxVaV是是势势能能的的平平均均值值其其中中,ika1e nak2 即即“”表示求和表示求和不包括不包括n=0=0项项 22d)e(1aaikxnxxVaV我们取我们取V0 0=0=0。由于势能是实数由于势能是实数,可得关系式：可得关系式：*nnVV ikxnnVxVe)(VVVVVxVnxainnnxainn 0202ee)()()(dd2222xEx)x(Vxmkkk 2.零级近似解按照微扰理论按照微扰理论,哈密顿量写成哈密顿量写成,0HH
3、H 2220dd2xmH 式中由由得得)()(xExHkk )()()()(210210 xxxxEEEEkkkkkkkk )()(dd2222xExVxmkkk nnxainVVH2e0000()()()kkkHxExxLAAexikxk1,)(0 计入微扰后计入微扰后本征值的一级和二级修正为本征值的一级和二级修正为：mkEk2220 kkkNakxxx )d()(00 kkkkkEEkVkEkVkE00221，0001kkkkkEEkVk 波函数的一级修正为波函数的一级修正为将将 带入带入0)(VxVV 000d)(VxxVk*k 0d)(0001 xVxVEk*kk 0001kkkkkE
4、EkVk kkkkkEEkVkE,kVkE00221 可以证明：可以证明：其其他他情情况况当当02)(nakkVkxVkn kVk 利用：利用：其其他他情情况况当当02)(nakkVkxVkn kVk 0()02()()0(1)()()(1)11()11111Lik xikxLi kk xaai kk xi kk xamaNai kk xi kk xmaNak V xkeV xedxLLeV x dxLeV x dxeV x dxLLeV x dxeV x dxLL做变量代换0 xtmata (1)()()0()0()()011()11mai kk xmaai kkt maai kkt maa
5、i kk mai kk teV x dxLeV tma d tmaLeV t dtLeeV t dtL 2()()0(1)()()(1)1()()001()()00()011()11111aai kk xi kk xamaNai kk xi kk xmaNaNai kk xi kk mamNai kk xi kk mamai kk xk V xkeV x dxeV x dxLLeV x dxeV x dxLLeV x dxeLeV x dxeNaeV x dxa1()01Ni kk mameN 1()()00()0222,2()/01111 1111 1102Nai kk xi kk mami
6、 kkNaai kk xi kkalll lkkkkN aN aNai l lai kk xi l lNIeV x dxeaNeeV x dxaNeeeV x dxaNellNnIllNnkkn 211()0001111NNin xai kk maannmmaIeV x dxeVVaNN nnnakkmVmk222222)2(22计入微扰后计入微扰后:kkkkEEkVkEE0020 nnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1 0000)()(kkkkkkEEkVkxx )(exukikx nnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1)(xk 上式右端第一部分为平面波，
7、第二部分为电子在行进过程中上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为：222)2(2nakkmVn因为它的振幅已足够大，因为它的振幅已足够大，ank ，ank 当当时，时，00kkEE 这时散射波不能再忽略，这时散射波不能再忽略，此时此时 出现能量简并，需用出现能量简并，需用简并微扰计算。简并微扰计算。5.2.2 一维简并微扰的计算)()()(000 xBxAxkk 事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即为为小小量量时时，)1()1(a
8、nkank零级波函数也必须写成两波的线性组合。零级波函数也必须写成两波的线性组合。零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合 ，ank ank 当当时，时，1.零级波函数 )()()()(dd20000222xBxAExBxAVxmkkkk 利用利用)()()(dd2000222xxExxmkkk )()()(dd2000222xxExxmkkk 得到得到 0)()(0000 xVEEBxVEEAkkkk 将上式分别左乘将上式分别左乘:)()(*0*0积积分分再再对对和和xxxkk 将波函数代入薛定谔方程将波函数代入薛定谔方程2.本征值0 BVA)EE(*
9、nok0)(0 BEEAVkn 其其他他情情况况当当02)()(nakkVkxVkkxVkn0d)(000 VxxVk*k 利用：利用：得：得：要使要使A，B有非零解，必须满足有非零解，必须满足00*0 EEVVEEknnk由此求得由此求得 220000421nkkkkVEEEEE22224)1(nnnTVT 代表自由电子在代表自由电子在 状态的动能。状态的动能。222 anmTnank 222121 nnnnnnnnnnVTTVTEVTTVTE(1)(1)(2)(2)220000421nkkkkVEEEEE 由于由于 是小量，是小量，(1)(1)式只适用于禁带之上的能带底部，而式只适用于禁带
10、之上的能带底部，而(2)(2)式则只适用于禁带之下的能带顶部。式则只适用于禁带之下的能带顶部。在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物线；而在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线。为为小小量量时时，)1()1(ankankan Oan k kE0 0 DBAC222121 nnnnnnnnnnVTTVTEVTTVTE(1)(1)(2)(2)nnnnVTEVTE 当当=0=0时：时：ngVE2 禁带宽度：禁带宽度：22d)e(1aaikxnxxVaV 222d)e(1aanxaixxVaikxnnVxVe)(an Oan k kE0 0 DBAC222121 nnnnnnnnnnVTTVTE
11、VTTVTE(1)(1)(2)(2)(1)(1)在在k=n/a处处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为禁带宽度为 ；nV2 (2)(2)在在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；(3)(3)在在k远离远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。处，电子的能量与自由电子的能量相近。利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。结论：结论：222121 nn
12、nnnnnnnnVTTVTEVTTVTE(1)(1)(2)(2)(a)a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。5.2.3 能带的三种图示法OkE6E5E4E3E2E1E允允许许带带允允许许带带a3 a2 a aa2a3允允许许带带禁带禁带 (c)c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述的波矢来描述)。(b)b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带在简约布里渊区内画出所有的能带)。电子能带的三种图示法电子能带的三种图示法OkE6E5E4E3E2E1Ea 3 a 2 a a a 2a 3禁禁带带允许带允许带允许带允许带允许带允许带扩展区图扩展区图
固体物理课件：5_2近自由电子近似
