矩阵的秩和解的存在定理

3 3 矩阵的秩和解的存在性定理矩阵的秩和解的存在性定理：在矩阵：在矩阵A A中任取中任取k k行行k k列，位于这些行与列，位于这些行与列相交处的元素按照原来相应位置构成的列相交处的元素按照原来相应位置构成的叫做矩阵的叫做矩阵的 .共共kkmnCC 个个.3 4321112324423ijAa 例例3,1 其其中中12 31,44 13 321321123,122442 443 为一阶子式；为一阶子式；为二阶子式；为二阶子式；为三阶子式为三阶子式.则称则称 D 为为 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.称数称数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩.矩阵矩阵 A 的秩记成的秩记成 R(A).零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为 0.例例1：求矩阵的秩：求矩阵的秩321100004423A ()3R A 3240,444个三阶子式全为零个三阶子式全为零又又()2.R A例例2：求矩阵的秩：求矩阵的秩 3 4111222243336ijAa()3R A()2R A|1|0()1.R A 三阶子式共有三阶子式共有4 4个，全为零个，全为零二阶子式共有二阶子式共有18个，全为零个，全为零;100,.AkkR Ark 利利用用定定义义求求 秩秩时时，从从高高阶阶向向低低阶阶逐逐个个子子式式进进行行检检验验如如果果阶阶子子式式均均为为，而而某某个个 阶阶子子式式不不等等于于则则（）很很麻麻烦烦！例例3 求矩阵的秩求矩阵的秩B12345002310000600000 1350210006()3R B 所有所有4阶子式均为阶子式均为0，而，而：等于等于AB()().R AR B:若若).()(BRARBA 则则，经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为先证明：若先证明：若.0)(rDrArAR阶子式阶子式的某个的某个，且，且设设ijirrrkABAB 当当或或时时，,.rrDDB相对应的子式相对应的子式中总能找到与中总能找到与在在,rrrrrrkDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，从而，从而因此因此ijrkrAB 当当时时，分分三三种种情情况况讨讨论论：行；行；行但不含第行但不含第中含第中含第）（行；行；行和第行和第中同时含第中同时含第）（行；行；中不含第中不含第）（jiDjiDiDrrr321.)(,0)2(),1(rBRDDDBrrr 故故子式子式对应的对应的中与中与两种情形，显然两种情形，显然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD ,0 rD若若,非零子式非零子式阶阶行的行的中有不含第中有不含第行知行知中不含第中不含第因因riAiDr,0 rD若若.)(,0rBRDDrr 也有也有则则 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变()().R BR A).()(BRAR 因此因此BA，则，则经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为若若()().R AR B，则，则AB可经一次初等行变换变为可经一次初等行变换变为而而,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(),(,BRARBABA 则则即即经有限次初等变换变为经有限次初等变换变为若若综上综上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()(TTBRAR),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕：矩阵经过有限次行（列）初等变换后其秩不变矩阵经过有限次行（列）初等变换后其秩不变.用初等变换把矩阵用初等变换把矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，化成行阶梯形矩阵，矩阵矩阵A 的秩的秩=此行阶梯形矩阵的秩此行阶梯形矩阵的秩.例例4 求秩和一个最高阶非零子式求秩和一个最高阶非零子式.32050323612015316414A 41rr 21rr 13rr 342rr 42rr 323rr 314r 23rr 122rr 1)3A （）R R(；32523260205（）214r 二、线性方程组解的存在性定理二、线性方程组解的存在性定理 4 412211248025,(,).2423336064ijAabR A R A b 例例，求求秩秩（）1221 124802,242333606 4A b R A bR A(,)3,()2 32rr 212rr 413rr 43rr 3232rr 315r 436rr：若改成求解：若改成求解Axb,则出现则出现0=1矛盾方程，无解矛盾方程，无解.无解无解出现出现0=1矛盾方程矛盾方程()(,)R AR A b R AR A b()(,)R AR A bn()(,)R AR A bn()(,)方程组无解方程组无解方程组有唯一解方程组有唯一解方程组有无穷多组解方程组有无穷多组解()(,)R AR A b 方程组有解方程组有解例例6xxxxxxxxx1231231231t)0,(1t)3,(1t)t （11101113111tBttt (1)0t3t 且且时时,()()3,R AR B (2)0t 时时,()1()2R AR B (3)3t 时时,()()2R AR B 方程组有唯一解方程组有唯一解,方程组无解方程组无解,方程组有无穷多解方程组有无穷多解 讨论当讨论当t 为何值时，为何值时，（1）有唯一解；）有唯一解；（2）无解；）无解；（3）有无穷多解，求通解）有无穷多解，求通解.13rr21rr 31(1)rt r32rr 例例6xxxxxxxxx1231231231t)0,(1t)3,(1t)t （2111111111(3)1 11(3)111111tDttttttt (1)00t3Dt 时时,即即且且时时,方程组有唯一解方程组有唯一解讨论当讨论当t 为何值时，为何值时，（1）有唯一解；）有唯一解；（2）无解；）无解；（3）有无穷多解，求通解）有无穷多解，求通解.(2)0t 时时,111011131110B 1110 00010000r()1()2R AR B (3)3t 时时,方程组无解方程组无解211012131123B 1011 01120000r()()2R AR B ,方程组有无穷多解方程组有无穷多解 通解为通解为1112,()10 xccR R An R An 有非零解有非零解只有零解只有零解xxxxxxxxxxxx1231231231235020380390 是否有非零解？是否有非零解？115112318139A 31027012000000r 23R A 有非零解有非零解例例 7 三元齐次线性方程组三元齐次线性方程组例例 8问问 xxxxxxxx123123233032300 何时有非零解？何时有非零解？31132301A 311 014004r 3R A 有非零解有非零解4 3113233(4)01D 有非零解有非零解0D 4 P Q,三、秩的性质三、秩的性质0()min(,)m nR Am n R As()R At()AAR An0,()R An 1)1)2)2)若有若有s s阶非零子式，则阶非零子式，则3)3)若所有若所有t t阶子式为零，则阶子式为零，则4)n4)n阶方阵阶方阵，若，若；否则；否则5)5)ABR AR B()()则则6)6)R AR PAR AQR PAQ()()()()可逆，则可逆，则 7)7)TR AR A()()8)max(),()(,)()()R A R BR A BR AR B ：A的最高阶非零子式总是（的最高阶非零子式总是（A，B）的）的非零子式，所以非零子式，所以()(,).R AR A B 同理有同理有()(,).R BR A B max(),()(,).R A R BR A B 即为即为11,0000TTTTrrTTrsAB设设()(),()().TTR AR ArR BR Bs (,)TTTAA BB 110000TTrrTTs (,)(,)()()TR A BR A BrsR AR B 9)()()()R ABR AR B (,)(,)cAB BA B：(,)(,)R AB BR A B ()()R AR B ()R AB 10)()(A)AXBR ARB 有有解解，：mn ml nl 1212,llXx xxBb bb=AXB 等等价价于于iibAxl 个向量方程个向量方程(),R Ar,A A 12(,)(,)lA BA b bb 12(,)rlA b bb (,)riA b (,)iA b1,2,il AXB 有有解解iiAxb 有有解解1,2,il 1,2,il ib 1,2,il 12(,)lb bb (,)()R A BrR A 11)()min(),()CABR CR A R BC=AB：()(,)R AR A C AXC()(,)R CR A C 而而()()R CR A TTTTCABB A又又()min(),()R CR A R B3 3 矩阵的秩和解的存在性定理矩阵的秩和解的存在性定理