第七讲散射理论

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1、第七讲散射理论研究散射的意义：碰撞的具体情况质粒子本身的结构及它们之间的相近作用性质密切相关，通过对散射结果的分析，可以探知粒了的结构，推动基础理论的发展，人们之所以能从原子到夸克这样个层次个层次地深入认识物质的结构，在很大程度上，是依赖于对散射的研究.本章安排，首先，介绍散射问题的-些基本概念；其次,介绍散射问题的近似方法（分波法和波恩近似法一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程， 是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流A散射中心如：原子物理中的a粒子散射实验。2、散射的分类：弹性散

2、射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。 非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中 心质量很大、碰撞对其运动没有影响。3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离） b和方位角中0射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向（9,中）出 射。例如在a粒子的散射实验中，有cot- = 4双 虹b（偏转角9与瞄准距离之间的关系）2o 2 Ze 2那些瞄准距离在b和b-db之间的a粒子，散射后，必

3、定向着9和9+ d9之间的角度射 出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积do的a粒子，必定散射到角度在9和0+ d。之间的一个空心圆锥体之中。环形面积do称为有效散射截面，又称微分截面。且d O0sin42(lx ( Ze 2de=()2()24 双M u 20然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向 出射的分布。设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z轴方向射向靶粒子A，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn个粒子沿（0，中）方向的立体角d。中射出，显然，dn x NdQ,令dn = q（0,）NdQ，即l dnq (0,中)=( N d Q显然，

4、q（0,中）具有面积的量纲，称为微分散射截面。微分散射截面q（0,中）表示单位时间内散射到单位立体角d。（面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即dn = q（0,中）NdQ。将q （0,中）d。对所有方向积分，得Q = j q（0，甲）d。= j” j2K q（0,甲）sin 0 d0 d 甲Q称为总散射截面。4、散射的量子力学描述上面关于微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学中同样适用。下面我们来讨论量子力学中如何通过解薛定谔方程来定散射截面。取散射中心为坐标原点，用U（r）表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体 系的薛定谔方程可写为：方2 .V 2W + Uw =即 2m(

5、4)(5)(6)式中m是入射粒子的质量，E是它的能量，为简单起见，令p方k1) U mmV (r)竺U (r) 方2则（3）式改写为:V2 + k2 -V(r)W = 0(7)通常我们观察被散射的粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论rT3时w的 行为就够了，假设r T3时，U（f） - 0，即在粒子远离散射中心时，两者之间的相互作用 趋于零。这样，在无穷远的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描写入射粒子的平面 波W 1 = A-kx ；另一部分是描写散射粒子的球面散射波：eikxw = f （,中），2r这个波是由散射中心向外传播的。e-krww +w = Aeikz + f （,

6、中）一，（8）这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即波矢k的数值不变，上式中的 f （,中）仅是和中的函数，而与r无关，可以证明，（8）式在r F 时满足方程（7）。在（8）式中取A = 1，则w |2 1，这表明每单位体积只有一个入射粒子，入射波的几 率流密度是J = v 业-w*业+=-啊W*-W*W =u(9)z 2m 1 dz1 dz 2m1 11 1其实，这就是入射粒子流强度N，散射波的几率流密度是：f (，中)|2 止些=| f (，中)|2r 2 r 2r 2(10)T 方 aw* 8w 1 访 七=2m w 2W-w W =2m它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒

7、子数，故单位时间穿过面积”的粒子数是dn = J dS = If (,中)|2 dS =|f (,中)|2 d。(11)因为=N，比较(11)与(1)两式，可知微分散射截面是(12)q(, 9) = If (, 9)|2所以知道了 f (,9)，就可求得q(,9)，f (,9)称为散射振幅。f (,9)的具体形式通过求 薛定谔方程(7)的解并要求在r F 时解具有(8)的形式而得出。后面几节将具体讨论 如何求方程(7)的解。二、中心力场中的弹性散射(分波法)下面将给出在中心力场作用下，粒子的散射截面的一个普遍的计算方法一一分波法。1、散射粒子所满足的薛定谔方程在中心力场的情况下，势能(。只与粒

8、子到散射中心的距离r有关，与r的方向无关， 所以方程(7)可写为：V2W + k2 一V(r)w = 0(13)取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们讨论问题中的旋转对称 轴，波函数V和散射振幅f都与9角无关。由3.3节的讨论我们知道方程(13)的一般解可写为：V (r, 9 ) = R (r )Ym (, 9)lm现在寸既与9无关，所以m = 0，因而(13)的一般解为：V(r,9) = R (r)P(cos)(14)I这个展开式中的每一项称为一个分波，R (r)P(cos )是第l个分波，每一个分波都是方程I I(13)的解，通常称l = 0,1,2,3的分波分别为s,p

9、,d, f分波。P(cos )是勒让德多项式，I径向波函数R (r)满足下列方程：同(3.3.8)式I(r2 竺顼) + k2 - V(r) - + 1)R (r) = 0(15)r 2 drdrr 2 lRi(r)的求解参见P158-160页。我们只给出相关结论：八，1心八i=0q(0) = f (0 )|2 = - 芝(2l + 1)F (cos 0 )eii sin 8Q = J q(0)dQ = 2兀q(0 )sin 0d0 =竺 (2i + 1)sin28 = Q0k 2i ii=0i=0式中：Q= 4 + 1）sin2 8是第1个分波的散射截面。2、光学定理因为P（1） = 1，所

10、以f （0）的虚部是:i1 gIm f （0）= 党（2l + 1）sin28 ki因而:i=04兀八Q = Im f （0）k上式称为光学定理，它表明向前（0 = 0）散射振幅的虚部与总散射截面成正比，反映了散射中几率流守恒的物理意义。3、分波法适用的条件：（参见量子力学导论P351-352）i ka （a为势场作用范围），即入射粒子的能量* 很小。2m4、散射问题（分波法）小结：（1）散射就是入射粒子与靶核的弹性碰撞过程。（2）散射截面q（0,中）=-1 -n反映了入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布情况。（即表N d Q示单位时间内散射到单位立体角dQ （面积/距离平方）的粒子数占总

11、粒子数比率，）（3）运用分波法求散射截面的思想Q 狷，中）T f 0卯A 8i其中：q （0,9） = f （0,中）|2，f （0,中）通过解薛定谔方程并于：eikr渐进解WW+W2 = Aeikz + f （0,9），比较而得到。往往由相移81决定f （0,9）。（4）分波法适用的条件:/ J如(a为势场作用范围)即入射粒子的能量才彳艮小。/一 7 壬 m 11.7-J-,.7,ma 7(. ln U m b,而 b Ya, l力 Y moa, lY 方=ka 练习：6.1； 6.2； 6.3 三、方形势阱与势垒所产生的散射作为应用分波法的一个例子，我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射，

12、入射粒子 能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大得多，质子和中子的低能散射可以近似的 归结为这种情况。以a表示方形势阱的范围，于是粒子的势能可写为：/、 UU(r) = 00在势阱的情况下U 0，因为1U a,即ka U 1,所以只需讨论s波散射(l = 0)就够了，在方程: 0kdr 2纹 + k2 - V(r) - 1)u = 0l中令l = 0得竺 + k2U = 0 dr 2ld 2u ,d l + k2U = 0式中 k2 = 2mE , k 2 = k 2 - 2mU 0， n 2n 2方程(1)、(2)的解是：u (r) = A sin( k r + 5), 0u(r) =

13、A sin(kr + 5 ),由波函数的标准条件，R =鲍在r = 0处为有限，所以5= 0,在r = a处上空为连续，得：0u(r) drkcot(ka +5 ) = kcotka(4)由此得到相移r k(5)5 0 = arctan tan ka - ka由公式(6.2.16)，总散射截面为（6）所以（5）式可简化为4兀4兀k ,Q = Q =sin2 o =sin2arctan( tan ka) - ka 0k 20 k 2k在粒子能量很低k 0的情况下，因为x 0时arctanx = x0 牝 katan 匕-1 10 k a式中J2mUk = 牝 k0 方(6)式化为Q .丑sin2 0 .竺02 w 4兀a2(F-1)2(7)k 20 k 2 0k0 a如果散射场不是势阱而是方形势垒，即U 0 A 0，那么在（7）式中将k0换成ik0, k T 0时 总截面为Q w 4兀 a2（*0“ -1）2（8）k a当U 8时，k 8，于是thka =咛-多 W 10 ek0 a + e-k0 a代入（8）式得Q w 4 兀 a 2在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下， 总散射截面就是作为散射中心的硬球的最大截面面积，即为兀a2，所以在量子力学中计算 得到的截面是经典值的4倍。四、玻恩近似