《等差数列》 -完整版教学设计

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1、等差数列教学设计一、背景分析（一）课标标准及解读1.课标原文：通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 体会等差数列与一元一次函数的关系。2.课标标准解读：体会等差数列与一次函数的关系，理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。针对高三主要是时 间关系，关键在于记忆、理解、掌握、应用能力等的提升。（二）核心素养解析：以学生发展为本，立德树人，提升素养。重视

2、过程评价聚焦素养，提高质量。尽量提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等方面的学科核心素养。这些核心素养 相互独立又相互交融，是一个综合体。（三）学情分析：初中了解了特殊数列求和，此前又学习了函数、数列的相关基础知识，已初步具有抽象逻辑思维能力，具体学生的情况需及时调 研。（四）课程资源的利用与开发1.教材分析：数列是高中数学重要内容之一，不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启1后的作用。数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，学习数列也为进一步学习数列的极 限等内容做好准备，而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通 项公式和递推公式的基础上

3、，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等 比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。2.教学重点与教学难点的提出与分析重点：等差数列的通项公式，前n 项和公式，等差数列的性质。难点：等差数列的性质及应用。3.教材的处理：本节课的教学选材全部取自课本，对课本中相关知识进行了比较细致的二 次挖掘，并延伸至课后作业，形成了一个有序递进的问题系列。4.教学资源的运用与开发：充分探究围绕新课标开发导学案，充分利用多媒体和展台。 5.渗透解析：渗透了函数、方程、递推等数学思想方法，通过学习等差数列让学生了解到数学不仅是形式上的演绎推理而且是丰富多彩的。除此之外通过具体问题的分析和探索建立

4、等 差数列的数学模型，并将其应用到实际问题中，也有助于提高学生的学习能动性，激发学生的 探索欲望。树立学生求真的勇气和自信，给学生以成功的心理体验，产生热爱数学的情感，同 时培养学生理论与实践相结合科学探索的精神使。学生具有一定抽象思维能力和演绎推理能力， 等差数列知识经常应用在个人投资与理财方面，很多时候都会用到它。6.展示材料：导学案、展台（无就学生讲+议+写）、教学设计二、实施方案（一）教学目标1.目标内容：知识与技能：理解等差数列的概念和通项公式及意义。掌握等差数列的性质，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系。 过程与方法：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的

5、问题。体会等差数列与一元一次函数的关系。灵活运用性质解决相应的问题。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，整理等差数列的相关知识，培养学生 的观察、分析数据的能力，积极思维。2.目标实现：(1)目标达成的可行性分析：通过自主合作探究学习，问题式教学方式，引导学生分析问题， 总结知识与方法。加强生生互动和师生互动，让课堂气氛活跃，充分体现学生的主体地位。教 学过程中做好数学课的育人功能。(2)实现目标的弹性分析在自主学习中，因学生的抽象思维能力、推理能力、运算能力，导致教学内容任务可能完 不成。（二）教学方法或教学策略2主要的教学方法：问题式教学法、诱导法、互动式主要的学习方法：自主学习

6、、小组合作探究。引导学生开展研讨式学习，让他们体验获 取知识的历程，掌握思考问题的方法，逐渐培养“会观察”、“会分析”、“会归纳”的能力。如何突出重点、突破重点：要深钻教材+课标+考纲+考题，从知识结构上，抓住本节课的 重点和难点，备足学生，根据学生的实际的认知水平，并考虑到不同学生认知结构的差异， 把握好教学重点和难点，课前精心准备，正确的定位；教学时间设定上，重点内容多是以学生 的自主探究和合作探究体现；板书的设计上突出重点内容。(三)板书设计黑板左侧要点简记例题的思想与方法概要 小结黑板右侧草稿区（四）框架设计：课题展示复习引入回望高考小试牛刀课堂小结作业 三、教学过程内容/环节教师行为

7、学生活动 设计意图一复习引入学生完成导学案里面的等差数列知识储备部分需要填空的地方 （基础不牢地动山摇）a前9项的和为 27，a =81.（2016 理 1 第 3 题）已知等差数列n 10，自主完成合作学习师生互动自主合作 看+做+议先忆再用知识系统归纳能力逐步培养选题有梯度和代表则a100=（ ）生生点评性A.100 B.99 C.98 D.97师生点评培养学生2. （2017 理 1 第 4 题）记Sn为等差数列an的前n项和若生生互动师生互动的自主学习能力与二高a +a =24 ， S =48 ，则 a的公差为（ ） 4 5 6 n合作能力， 分析处理、考展A1 B2 C4 3. （2

8、018 理 1 第 4 题）记 S 为等差数列nanD8的前n 项和若抽象思维、 逻辑推理、望3S =S +S 3 24，a =21，则a =5（ ）概念公式应用等能A-12 B-10 C10 D12力的逐步4.（2017 理 3 第 9 题）等差数列a首项为1 公差不为 0若 na , a , a 2 36培养根据进度成等比数列，则a前6项和为（ ） n处理不完A-24 B-3 C3 D83下节课处理或留为1 n n n n n 5.（2013 理 1 第 7 题）设等差数列an的前n 项和为 S ，Snm -1=-2，作业 讲得多 多S =0 ， S mm +1=3 ，则 m ( )讲得少

9、 少A、3 B、4 C、5 D、6三6.（2017 理 2 第 15 题）等差数列an的前项和为Sn，a =33，S =104，做+议+展 自主合作培 养 学 生的 实 战 应小试牛刀则nn=11Sk= （根据时间否则当作业处理）探究师生互动用能力收获？学生自己培 养 学 生四课堂小结1.where? (研究什么问题?）2.why? (为什么研究这种方法?） 3.what? (方法的思想和内涵是什么?） 4.how? （方法如何应用?）总结师生点评的 初 步 归纳 整 理 能力 和 发 现问 题 的 能疑惑？力。1（2013 理 2 第 16 题）等差数列an的前n 项和为 Sn，已知S10=

10、0，独立完成合作探究选 择 此 类题 型 不 得S =2515，则n Sn的最小值为 。过难2.（2018 理 2 第 17 题）记 S 为等差数列nan的前n 项和，已知综 合 应 用能 力 的 逐a =-7， S =-15 1 3的最小值（1）求a的通项公式；（2）求 S ，并求 S n nn步培养让 学 生 下去 处 理 也五作业3.（2015 理 1 第 17 题） S 为数列 a的前n项和.已知 a 0，n n na 2 +2a = 4 S +3 .（）求 a的通项公式；（）设b = ,a an n +1是 在 锻 炼学 生 的 数学 思 维 ，高 中 数 学求数列b前nn项和.知

11、识 点 这么 多 ， 对应 的 题 目在 三 年 高中 教 学 中是 永 远 不可 能 处 理完的教学反思：4n n 等差数列导学案设计:盘州市第七中学 张云一、教学目标：1.理解等差数列的概念和通项公式及意义；2.掌握等差数列的性质，理解等差数列的通项公 式与前 n 项和公式的关系；3.体会等差数列与一元一次函数的关系。灵活运用性质解决相应的问题4.；通过 等差数列概念的归纳概括，整理等差数列的相关知识，培养学生的观察、分析数据的能力，积极思维。重点：等差数列的通项公式，前n项和公式，等差数列的性质。 难点：等差数列的性质及应用。二、主要的学习方法 自主学习、合作探究。引导学生开展研讨式学习

12、，让他们体验再次获取知识的历程， 掌握思考问题的方法，逐渐培养他们逐步“会观察”、“会分析”、“会归纳”的能力。三、等差数列知识储备1.概念。若数列a从第 项起，每一项与它的前一项的n等于 ，则数列an叫等差数列。公差通常用字母2.通项公式：表示，数学语言表示为 （ n N *）d 为常数。 推广：变式：a =a -( n -1) d ， d = 1 na -a a -an 1 ， d = n m ，由此联想点列（ n ， a ）所在直线的斜率. n -1 n -m3.等差中项：若 a、b、c 成等差数列的充要条件是 ；其中 b 叫做 a，c 的 .4.前 n 项和：Sn= = . 体现的方法

13、。变式：a +a S a +a +a 1 n = n = 1 22 n nn=a +( n -1) 1d d = a +( n -1)( - )2 25.等差数列的判断方法 （1）定义法:（2）等差中项法:5（3）通项公式法: a = pn +q ( p , q为常数）n（4）前n项和公式法:S =Ann2+Bn（A、B为常数，Sn是数列an的前n项和）证明一个数列不是等差数列只需证明存在连续的项不成等差数列即可。6.等差数列a的性质 n（1）a =a +( m -k ) d m kd =；（2）若m、n、l、k N*，且m +n =k +l，则 ，反之则不成立；（3）若数列a公差为 nd，下

14、标成等差数列且公差为m的项ak， ak+m，ak+2m，组成的数列为数列；（4）若数列a是公差为d 的等差数列，则数列 n 1la +b（、b 为常数）是 n数列；若b是公差为d 的等差数列，则 n 2la+lb1 n 2 n（、 为常数）是以 1 2ld + l1 12d2为公差的等差数列。（5）设Sn是等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2 m-Sm， S3m-S2 m成数列，m 2 d为 .（6）若等差数列a的项数为 n2n（n N*），则S偶-S奇= ，SS偶奇=an +1an，S =n ( a +a ) 2 n n n+1（an、an+1为中间两项）；若等差数列an的项数为2n1（

15、n N*），则S奇-S =a偶n，SS偶奇=n -1n，S2 n-1=(2n -1) an（an为中间项）.四、高考展望1.（2016 理 1 第 3 题）已知等差数列a前9项的和为 27， na =8 ，则 a 10 100=（ ）A.100 B.99 C.98 D.972.（2017 理 1 第 4 题）记Sn为等差数列an的前n项和若a +a =24 4 5，S =486，则an的公差为（ ）A1 B2 C4 D83.（2018 理 1 第 4 题）记Sn为等差数列a的前 nn项和若3S =S +S 3 24，a =21，则a =5（ ）A-12 B-10 C10 D124.（2017

16、理 3 第 9 题）等差数列a首项为1 公差不为 0若 na , a , a 2 36成等比数列，则an前6 项和为（ ）A-24 B-3 C3 D85.（2013 理 1 第 7 题）设等差数列an的前n 项和为 S ， Snm -1=-2， S =0 ， Smm +1=3 ，则 m ( )A、3 五、小试牛刀B、4 C、5 D、661 n n 6.（2017 理 2 第 15 题）等差数列an的前项和为Sn，a =33，S =104，则n 1Sn=1 k=六、小结：主要谈本节课的收获，有何疑惑？ 七、作业1（2013 理 2 第 16 题）等差数列an的前n项和为Sn，已知S10=0，S

17、=2515，则n Sn的最小值为 。2.（2018 理 2 第 17 题）记 S 为等差数列na的前n项和，已知 na =-7， S =-15 1 3（1）求an的通项公式；（2）求 S ，并求 S 的最小值n n3.（2015 理 1 第 17 题） S 为数列 a的前n项和.已知 a 0，n n nan2+2a = 4S +3n n.（）求a的通 n项公式；（）设一、教学目标b =n,求数列 b前n项和.a an n +1等差数列导学案理解等差数列的概念和通项公式的意义。掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系。 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，

18、并解决相应的问题。体会等差数列与一元一次函数的关系。灵活运用性质解决简单的问题。教学重点、难点重点：等差数列的概念；等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：等差数列的性质及其应用二、主要的学习方法 自主学习、小组合作探究。引导学生开展研讨式学习，让他们体验再 次获取知识的历程，掌握思考问题的方法，逐渐培养他们逐步“会观察”、“会分析”、“会 归纳”的能力。三、请将正确的答案填写在横线上1.概念。若数列a 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列a n n叫等差数列。公差通常用字母 d 表示，数学语言表示为 a -ann-1=d （ n N*）d 为常数。2.通项公式： a =

19、a +( n -1) d ，通项公式是一个什么函数？n 1推广： a =a +( n -m) dn m变式： a =a -( n -1) d ， d = 1 n的斜率.a -a a -an 1 ， d = n m ，由此联想点列（ n ， a ）所在直线 n -1 n -m7a +cn ( a +a ) n( n -1) n( n -1)1 n 变 式： 1n =n = 1 21 n 1 n2 nn 2 奇 n 2 nn n +1偶 奇 n 偶 3.等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则 b 称 a 与 c 的等差中项，且 b= ；a、b、c2成等差数列是 2b=a+c 的充要条件.4.前

20、n 项和： S =n1 n = na + d =n a d .体现本末倒置的方法， 2 2 2S =na +n 1n( n -1) 2d 是一个什么函数？a +a S a +a +a 2 n n5.等差数列的判断方法（1）定义法（2）等差中项法nd d= a +( n -1) = a +( n -1)( - )2 2（3）通项公式法:a = pn +q ( p, q为常数） n（4）前 n 项和公式法: S =An 2 +Bnn（ A 、 B 为常数， S 是数列 a的前n项和）n n证明一个数列不是等差数列只需证明存在连续的三项不成等差数列即可。 6.等差数列 a的性质n（1） a =a +

21、( m -k ) d m kd =a -am km -k.（2）若 m 、 n 、 l 、 k N * ，且 m +n =k +l ，则 a +a =a +a ，反之不成立.m n k l（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 a ， akk+m， ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为 md .（4）若数列a是公差为d 的等差数列，则数列la+b（、b 为常数）是公差为 ldn 1 n1的等差数列；若 b是公差为d 的等差数列，则 la+lb （、 为常数）也是等差数1 2列且公差为 ld + ld1 122（5）设 S 是等差数列 a的前n项和，则数列 S ， Sn n m2 m-Sm

22、， S3m-S 则也成成等 2 m差数列，公差为 m2d .S a（6）若数列 a 的项数为 2 n （ n N * ），则 S -S =nd， 偶 = n +1 ， S =n( a +a )S a奇 n为中间两项）；（ a 、 ann+1若数列 a的项数为2 n 1（ n N n*S n -1），则 S -S =a ， 偶 = ，SS n奇2 n-1=(2n -1) a （ an n为中间项）.8n d 1 四、高考展望（2016 理 1 第 3 题）已知等差数列 a前9项的和为 27， a =8 ，则 an 10 100（A）100 （B）99（C）98（D）97=答案 C（2017 理

23、1 第 4 题）记 S 为等差数列 a 的前 n 项和若 a +a =24 ， S =48 ，则a 的公n n 4 5 6 n差为（ ）A1 B2 C4 D8【答案】C（2018 理 1 第 4 题）记 S 为等差数列 a的前n 项和若 3S =S +S ，a =2 ，则 a =（ ）n n 3 2 4 1 3A-12 B-10 C10 D12【答案】B（2017 理 3 第 9 题）等差数列 a的首项为 1，公差不为 0若 a , a , a 成等比数列，则 a前n 2 3 6 n6 项的和为A-24 B-3 C3 D89A（2013 理 1 第 7 题）设等差数列a 的前 n 项和为 S

24、， Snm -1=-2， S =0 ， Smm +1=3 ，则 m( C )A、3 B、4C、5 D、6【解析】有题意知 = =0，= =（- ）=2，= - =3，公差 =-=1，3=， =5，故选 C.五、小试牛刀（2017 理 2）15.等差数列 a的前项和为 S nn， a =3 ， S =10 ，则 3 4nk =11Sk=2 nn +1【解析】本题主要考查裂项求和设公差为 ，则 a +2d =3 4a +6d =10 1 a =11d =1 a =n S = n nn( n +1) 2用裂项法即可六、小结：主要谈本节课学到了什么，有何感悟？七、作业（2013 理 2）16.等差数列

25、 a的前n 项和为 S ，已知 Sn n10=0 ， S =25 ，则 n S 的最小值 15 n为 。【答案】49【解析】设数列an的首项为 a1，公差为 d，则 S10 10a145d0，9S S SS 2 0，= aS15 15a1105d25.联立，得 a13， ，所以 Sn .令 f(n)nSn，则 ， .令 f(n)0，得 n0 或 .当时，f(n)0,时，f(n)0，所以当时，f(n)取最小值，而 nN，则 f(6)48，f(7)49，所以当 n7 时，f(n)取最小值49.（2018 理 2）17. 记 n 为等差数列an的前n项和，已知a =-71，S =-153（1）求an的通项公式；（2）求 n ，并求 n 的最小值【解析】（1）设an的公差为 d，由题意得.由得 d=2.所以an的通项公式为.（2）由（1）得.所以当 n=4 时, n 取得最小值,最小值为 16.（2015 理 1）17.（本小题满分 12 分）S n 为数列 an的前n项和.已知 （）求n 的通项公式；ana +2a 4 S +3 n n n（）设b =n1a an n+1,求数列bn的前n项和.【解析】10考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法11