大一高数上册.doc

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1、复习提纲（函数、极限与连续）一、 函数有界函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，显函数，隐函数，初等函数，分段函数，导函数，积分上限函数。1 定义域：使函数解析式有意义的的取值范围1） 分式：2） 根式开偶次方根：为偶数），3） 对数：，4） 反三角函数：，2 函数值记法：已知，求 例：，求及定义域例：，求及定义域3 奇偶性：关于原点对称，若，偶函数； ，奇函数 常见的奇函数：， ；常见的偶函数：； 注：对任意函数，偶函数，为奇函数 例：已知，试补充在上的表达式使其在区间上构成偶函数（偶延拓）4 常见的有界函数：（常数） 5 周期函数：，为周期1）的周期为；2）的周期也是（的周期）3）分

2、别是以为周期的函数，则是以的最小公倍数为周期的函数。4）常见函数的周期：；。二、极限1数列的极限：（确定常数）注：若数列存在极限，称其收敛；否则称之为发散。2. 函数的极限：1）同时成立；注：等函数当时的极限要分别考虑 2）注：用于求分段函数在分段点处的极限3极限性质：惟一性，有界性，保号性 极限存在准则：单调有界，夹逼定理4无穷小与无穷大1）无穷小：以零为极限的量称为无穷小量，即无穷大：（此时极限不存在）；2）无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，若是无穷小且，则是无穷大；若是无穷大，则是无穷小。3）无穷小的运算性质：有限个无穷小之和、积仍为无穷小； 有界函数与无穷小之积为无穷小。

3、 4）无穷小的比较：设（即：为无穷小）若，称是的高阶无穷小，记作；若，（），称与是同阶无穷小；若，称与是等价无穷小，记为5）常用的等价无穷小当时，.推广：当时，有 6) 等价无穷小应用：利用等价无穷小代换求极限设且存在，则。注：1）只在乘除因子中用，加减运算时不适用，例：不能直接代换。 2）洛必达法则只是极限存在的充分条件而非必要的。5两个重要极限1）推广：当时， 这里将换成结论仍成立 当时，及 中任意两个商的极限为1 。2）或 推广：当时，（为常数） 当时，（为常数）6洛必达法则：若，在邻域内可导，且则：使用法则时注意：只有才能使用，只要是可多次使用；每用完一次，要将式子整理化简后再用法则；

4、为简便运算，往往先对等式恒等变形或用等价无穷小代换后再用法则。7与极限有关的典型例题1）是初等函数，是其定义域内的一点，用代入法：例 2）有理分式函数的极限例 ，例 3）无穷小与有界函数之积仍为无穷小例 例 例 4）未定型“”因式分解：约去零因子例 含有根式：有理化 例 例 洛必达法则：（存在）例 例 （先代换，令，再用法则）例 （先代换，令，再用法则）重要极限： 例 例 （极限存在部分先计算，能用等价无穷小代换的先代换再用法则）例 （两个重要极限都用到）5）未定型“”有理函数用公式：（抓大头）例 洛必达法则例 例 （不能使用洛必达）分子分母同除因子：例6) 未定型分式：通分例 含根式：有理化

5、例 作代换：例 7）未定型：化为或例 （化为）例 （化为）例 (化为)8）指数型：利用对数恒等式化为：；对还可利用重要极限例 例 例 9）分段函数在分段点的极限：用左右极限及极限存在的充要条件考虑例 ，求例，求注：若的极限式中含有，特别是的，一定分别求出时的极限，两者相等，则极限存在，否则不存在。10）数列无限项和的极限：利用极限存在准则（夹逼定理）例 11）数列敛散性的判定和证明例 设，试证数列极限存在，并求此极限。12）积分上限函数的极限：用洛必达法则例 13）某些特定的极限：用导数的定义求例 设，求14）已知极限，求常数例 ，求例 ，求例 设，求常数。15）已知一个极限，求另一个极限例

6、设，求 例 ，求16）无穷小阶的比较例 时，求例 时，求三、连续1. 定义：在点连续 2在处连续的充要条件： 适用于判断分段函数在分段点的连续性3基本初等函数在定义域内连续；一切初等函数在其定义域内连续函数。4函数的间断点（在点不连续）：函数在没有定义，或，或不存在；6 间断点的分类：1）第一类间断点：左右极限存在但不相等（跳跃间断点） 左右极限存在相等，但函数在该点没定义（可去间断点） 左右极限存在相等，但不等于函数值（可去间断点）2）第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在。7 闭区间上连续函数的性质（用于证明题中）1）有界性：闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值与最小值。2

7、）零点定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在内至少存在一点，使。3）介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点，那么对于之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。8.典型例题1）讨论函数的连续性例 讨论的连续性。解：，的连续区间2）设，求的间断点并判别其类型。解：，所以为间断点；且，所以是第二类间断点。9.有关闭区间上连续函数的证明题命题证明有两种方法：1）直接法：其程序是先用最值定理，再用介值定理例 设在上连续，且，证明：在内至少存在一个，使得，其中为任意常数。证一：因为在上连续，所以在上有最大值和最小值,则，由于，于是有，所以由介值定理，在上至少存在一个，使，即。2）间接法：先构

8、造辅助函数，验证满足零值定理条件，然后由零值定理得出命题。辅助函数的作法： 把结论中的（或）改写成； 移项，使等式右边为零，令左边的式子为，此即为所求的辅助函数。证二：令，由题设可知在上连续，因为，所以当时，又，有，所以由零点定理可知，至少存在一个，使，即。例 设在上连续，且。证明：在上至少存在一个，使得。复习提纲（导数与微分）一、 导数1导数的定义1）设函数在点的某邻域内有定义， 或 （几种等价定义）注：求某点处的导数，尤其是分段函数在分段点的导数用第二种等价定义较方便。2）导函数：；导函数值（导数）：，3）若极限不存在，则在点处不可导。2单侧导数1）或；或；2） 函数在点处可导的充要条件是

9、注：常用来判别分段函数在一点的可导性3导数的几何意义、物理意义与经济意义1）几何意义： 在点处切线的斜率：过点的切线方程为：；若，法线方程为：若，则切线：；法线：若，则切线：；法线：。2） 物理意义：物体在的瞬时速度：，即。3） 经济意义：在经济学中称为边际函数。4可导与连续的关系可导连续；连续未必可导，如函数在点连续但不可导。5函数的求导法则 显函数直接求，隐函数两边求，抽象函数复合求，复合函数逐层求，参数方程分别求，一点处导数定义，幂指函数乘除因子对数求，高阶导数逐阶求。二、微分1微分的概念1）定义 设函数在点的某一邻域内有定义，且也属于该邻域。如果函数的增量，其中是与无关的常数，是无穷小

10、量，为较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微分，并称为函数在点处的微分。记为或。2） 在点处可微分函数在点可导，此时。3） 微分的几何意义：函数在点处的微分，在几何上表示当自变量有改变量时，曲线在点沿切线的纵坐标的改变量。2微分的运算1）微分的基本运算公式：2）一阶微分形式的不变性：无论是自变量还是中间变量，都有总成立。3）在点处连续、有极限以及可微、可导之间的关系：可微可导连续有极限3微分在近似计算中的应用1）设在点处可导，则当很小时，有 2）常用的近似公式：当很小时，有， ， ， 三、导数与微分典型运算1与导数定义有关的命题 步骤：1）写出导数定义式；2）再凑成要求的定义式例 设，求例 设存

11、在，求例 设在连续，且，求例 设对任间有，且，证明当时，有例 设在内有定义，对任意，恒有，当时，试判断在处是否存在？2求各类一元函数的导数1）复合函数步骤：分解函数若，则 若，则再将中间变量回代例 ，求例 ，求例 ，求例，设，求2）隐函数：步骤：写明等式两边同时对求导，对含有的函数要先对求导再乘上（要记住是的复合函数）解出的表达式。例 确定，求例 ，求例 ，求3）参数方程导数步骤：先分别求出 写出公式 若要求二阶的话，先进行整理例 设，求例 设，求例 设求4）对数求导法步骤：等式两边同时取对数 等式两边同时对求导（即利用隐函数求导方法），左边是 整理，将代入。例 ，求 例 设确定是的函数，求注

12、：若一函数不能直接用法则或上述方式求得，则将其分成几个函数分别求，然后再用法则例 求：（ ）5）求高阶导数步骤：先求出一阶，并整理； 再求二阶，三阶等。（每做一次，先整理后再求更高阶）例 设，求例 ，求例 设，求例 设，求注：常用高阶导数公式，6）求导数值 步骤：求出导函数 再将代入例 ，求例 ，求 例 ，求及 （注：本题点导数要用定义求）7）求切法线方程步骤：写出切点 求出，得或（此为参数方程） 写出切、法线方程公式，再代入例 求在点处的切法线方程。 例 曲线的切线与轴和轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方程和平面图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？例 已知是

13、周期为的连续函数，它在的某邻域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。 （）例 设曲线在点处的切线与轴交点坐标为，求8）求微分步骤：先求出；例 ，求例 ，求例 设函数由方程确定，求9）微分的近似计算步骤：将化成（为一较小的数），再设 求出，进而求出 写出近似公式 将代入进行计算例 计算 10）分段函数在分段点的连续与可导性步骤：改写函数，写出其在分段点处函数值 连续性：验证，成立则连续； 可导性：验证，成立则可导。例 ，讨论在处连续与可导性例 设，试确定的值，使函数在点连续可导。例 设，其中在点处连续，证明当时在 处可导.（利用函数在点处可导的充要条件）11

14、）积分上限函数的导数例 设为连续函数，且，求例 设为连续函数，求例 设为连续函数，求例 设为连续函数，求，求四、导数的应用1函数的单调性1）如果函数在区间内可导且，则在内是严格单调增加；2）如果函数在区间内可导且，则在内是严格单调减少。3）利用导数求函数单调区间步骤：写出函数的定义域求出求出或不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间列表讨论在小区间上的符号正负，得到函数的单调区间。2函数的极值函数在点的邻域内有定义1），有，则为一个极大值，是一个极大值点；2），有，则为一个极小值，是一个极小值点；注：极值是考虑函数在局部范围内取值情况；使函数取得极值的点称为函数的极值点。3）极值存在的必要条件：设函数在处可导且在处取得极值，则。4）极值存在的第一充分条件：设函数在的某个去心邻域内可导，在处连续，则当的符号在两侧左正右负时，为极大值。当的符号在两侧左负右正时，为极小值。4） 极值的第二充分条件：设函数在处二阶可导且，则 当时，为极小值； 当时，为极大值。5） 利用导数求函数极值的方法及步骤 确定函数的定义域 求出的导数 求出的驻点或不存在的点 利用极值的充分条件判断所求出的驻点及导数不存在的点是否是极值点 求出极值点。3函数最大值、最小值某函数在闭区间上连续，则可先求出函数在内所有驻点及导数不存在的点处的函数值并与比较，其中最大者是函数在上的最大值，最小者是函数在上的最小值。18