九年级数学二次函数几种式的求法素材.doc

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1、二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c.二、交点型 例2 已知抛物线y=-2

2、x+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=y=x(x-3),即 y=.三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.再将点(1,2)代入求得a=-y=-即y=-由于题中只有一个待定

3、的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型 例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。y=x=xb=-6,c=6.因此选（B）五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比

4、公式d=就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.六、识图型例 6 如图1， 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。解 （1）抛物线y=与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=的顶点坐标为（0，1），b-2=0,d=1, b=2.Y=.将点N的坐标与b=2分别代入y=+(b+2)x+c得c=6.y=+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x 的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为

5、A、B，顶点为P，PAB的面积为8。求其解析式。解 将（0，-3）代入y=得 c=-3.由弦长公式，得点P的纵坐标为由面积公式，得解得因对称轴在y 轴的右侧, b=-2.所以解析式为y=八、几何型 例 8 已知二次函数y=-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解 由弦比公式，得AB=顶点C的纵坐标为-ABC为等边三角形解得m=4故所求解析式为y=或y=九、三角型 例 9已知抛物线y=的图象经过三点（0，）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解 A+B=90，sinB=cosA.则由根与系数的关系

6、，可得将（0，）代入解析式，得c=（1）,得-bb=-所以解析式为y=十、综合型 例 10 如图2，已知抛物线y=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，若ACB=90，且tgCAO-tgCBO=2，求其解析式解 设A，B两点的横坐标分别为x,则q=(-x由AOCCOB，可得OC=OAOB，q=q解得q=1,q=0（舍去），又由tgCAO-tgCBO=2得即x+x=-2xx 即 p=2p=2所以解析式为y=-x+2x+1 函数及其图象 例1.二次函数性质的应用例2.利用二次函数性质求点的坐标例3.求二次函数解析式例4.求二次函数解析式二、同步测试三、提示与答案-例6.已知抛物线y=ax2+bx

7、+c如图所示，对称轴是直线x=-1(1)确定a.b.c.b2-4ac的符号， (2)求证a-b+co ; (3)当x取何值时，y随x值的增大而减小。 解：(1)由抛物线开口向上，得出a0，由抛物线与y轴交点坐标为(O，C)，而此点在x轴下方，得出c0，又由抛物线的对称轴是x=-1，在y轴左侧，得出b与a同号b0。抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bc+c=0有两个不等的实根，b2-4ac0(2)当x=-1时，y=a-b+c0(3)当x-1时，y随x值的增大而减小。例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (

8、2)若此函数图象上有一点P，使PAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标。分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3，根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4，可知其与x轴交点为(1，0)，(5,0)解：(1)当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3，-2).设二次函数解析式为y=a(x-3)2-2又图象在x轴上截得线段AB的长是4，图象与x轴交于(1，0)和(5，0)两点a(1-3)2-2=0 a=所求二次函数解析式为y=x2-3x+(2)PAB的面积为12个平方单位，AB=44Py=12 Py=6 Pg=6但抛物线开口向上，函数值最小为-2，Py=-6应舍去，Pg

9、=6 又点P在抛物线上，6=x2-3x+x1=-1,x2=7即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式x1-x2=，会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。例8.如图，矩形EFGH内接于ABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上，AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?解：四边形EFGH是矩形 HGACABCHBG 设BD交HG于M 则BD与BM

10、分别是ABC和HBG的高。 HGAC, MD=HE=x,BM=6-x , HG= y=S矩形EFGH=HE*HG y=x* 整理得y=-x2+8x BD=6 自变量x的取值范围是0x6 x2的系数为-0， y有最大值 当x=-=3时， y最大值=12 所求函数的解析式为y=-x2+8x(0x6)，当它的宽为3cm时，矩形EFGH面积最大，最大面积为12cm2。 例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程ax2+bx-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A， (1)求二次函数的解析式 (2)求原点O到直线AB的

11、距离 解(1)如图 -=3 -=6 又x1+x2=-=6x1*x2=- 由已知，有x12+x22=26， (x1+x2)2-2x1x2=26 即(-)2+=26,=26-36 解得a=-1 解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4 (2)OB=5,OC=4,AC=3 AB=3 又OA=5 AOB为等腰三角形，作ODAB于D， BD= OD=, 即原点O到直线AB的距离为 三、同步测试： 选择题：1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是( )(A).(-2，-1) (B)(-3，-1) (C)(-3，-2) (D)(-4，-2)2.若点P(a,b)在第二、四象限

12、两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()(A)a=b (B)a=-b (C)a=b (D)a=b3.点P(x,y)在第二象限，且x=2，y=3,则点P关于x轴对称点的坐标为( )(A)(-2，3) (B)(2，-3) (C)(-2，-3) (D)(2，3)4.函数y=中，自变量x的取值范围是( ) (A)x2 (B)x2 (C)x2 (D)x25.函数y=中，自变量x的取值范围是( )(A)x-2且x1 (B)x-2且x1(C)x-2且x1 (D)x-2或x16.在下列函数中，成正比例函数关系的是( )(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽(C)正方形面积与它的边长(D)当底

13、边一定时，三角形面积与底边上的高7.函数y=k(x-1)与y=(ko)在同一坐标系下的图象大致如图( )8.如果直线y=kx+b的图象过二、三、四象限，那么( )(A)k0,b0 (B) k0，b0 (C)k0，b0 (D)k0，b09.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是( )(A)开口向上，顶点坐标是(，0)(B)开口向下，顶点坐标是(，0)(C)开口向下，顶点坐标是(-，)(D)开口向上，顶点坐标是(-，-)10.若a0,b0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的( )11.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则( )(A)a0,b0,c0,0 (B)a0,b0,c0

14、,0(C)a0,b0,c0,0 (D)a0,b0,c0,0 12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为( )(A)y=2x2+4x-8 (B)y=2x2-8x+8(C)y=2x2+4x-2 (D)y=2x2-8x-2填空题13.点A(，-5)到x轴的距离是_；到y轴的距离是_；到原点的距离是_.14.直线y=kx+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=_，在y轴上的截距为_.15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为_.16.已知抛物线的顶点为M(4，8)且经过坐标原点，则抛物

15、线所对应的二次函数的解析式为_.解答题：17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a0，若BAC为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。18.已知如图，在ABC中，AB=4，AC=6,D是AB边上一点，E是AC边上一点，ADE=C,设DB=x,AE=y。(1)求出y与x的函数关系式；(2)画出这个函数图象。19.在直角坐标系xoy中，直线l过点(4，0)，且与x，y轴围成的直角三角形面积为8，一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点，且以x=3为对称轴，开口向下。求二次函数的解析式及函数的最大值。20.已知抛物线y=x2-mx+(2m+3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于A、B两点，且A、B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2倍。(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限，求D点坐标。四.提示与答案 1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.A 13.5，3，214.-，-2 15.y=-4x-1 16.y=-x2+4x 17.y=-x-18.(1)y=-x+(0x4)；(2)图略19.y=-x2+3x-4,最大值为.20.(1)y=x2+2x-1;(2)D(1,2) ：- 15 -