第一讲 相似三角形的判定及性质

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1、质质相似三角形的判定及性相似三角形的判定及性三三相似三角形的判定相似三角形的判定1.三三角角形形知知识识先先回回顾顾初初中中已已学学的的相相似似.)(.,或或相相似似系系数数相相似似比比值值叫叫做做相相似似三三角角形形对对应应边边的的比比叫叫做做相相似似三三角角形形角角形形对对应应边边成成比比例例的的两两个个三三对对应应角角相相等等定定义义.,似的简单方法似的简单方法两个三角形相两个三角形相个判定个判定出过如下几出过如下几给给所以我们曾经所以我们曾经显然比较麻烦显然比较麻烦边是否分别成比例边是否分别成比例三组对应三组对应相等相等即三组对应角是否分别即三组对应角是否分别个元素个元素虑虑需要考需要

2、考个三角形是否相似个三角形是否相似由于从定义出发判断两由于从定义出发判断两6;,两三角形相似两三角形相似两角对应相等两角对应相等1;,两两三三角角形形相相似似相相等等两两边边对对应应成成比比例例且且夹夹角角2.,两三角形相似两三角形相似三边对应成比例三边对应成比例3.行严格证明行严格证明下面对这些判定方法进下面对这些判定方法进.,/.,./,ABCADEACAEDBADEBCDEABCADEBCDEACABEDABC因此因此是公共角是公共角而而可得可得由由又又对应边成比例对应边成比例和和可知可知由上一节的例由上一节的例且且边上的点边上的点、分别是分别是、中中在在如图如图3161161图图ABC

3、DE171图图EDABC?,/,否还成立否还成立那么结论是那么结论是图图且且线上线上的延长的延长、交于交于、如果如果探究探究171BCDECABAED.,.,我们把它称为预备定理我们把它称为预备定理形相似的一个定理形相似的一个定理这是判定两个三角这是判定两个三角同样可以证明同样可以证明的情形的情形对于图对于图ABCADE171181图图ABCDE1D2D1E2E.,结结论论看看看看能能否否得得出出一一些些新新的的下下面面从从预预备备定定理理出出发发.,.,.,/,.,/,.,/,两两三三角角形形相相似似两两角角对对应应相相等等这这样样就就有有相相等等那那么么第第三三个个对对应应角角一一定定应应

4、角角相相等等两两个个三三角角形形中中有有两两个个对对所所以以只只要要为为又又由由于于三三角角形形的的内内角角和和那那么么它它们们就就相相似似对对应应角角相相等等只只要要两两个个三三角角形形的的三三个个这这说说明明小小始始终终不不变变而而角角的的大大的的边边长长在在改改变变的的变变化化过过程程中中、因因此此在在由由于于从从运运动动变变化化的的观观点点看看那那么么也也有有如如果果如如图图都都有有边边上上什什么么位位置置、在在、无无论论只只要要可可以以发发现现01802121181ADEEDBCDEiEADABCiBCEDABCADEACABEDBCDEiiii .,)(角形相似角形相似所构成的三角

5、形与原三所构成的三角形与原三相交相交边的延长线边的延长线或两或两线和其他两边线和其他两边平行于三角形一边的直平行于三角形一边的直预备定理预备定理.,:.,141311PPP引引理理探探究究预预备备定定理理解解释释实实验验画画演演示示通通过过动动打打开开几几何何画画板板单单击击图图标标.:,:CBAABCBBAACBAABC求证求证中中和和在在如图如图已知已知191.,/,:EACBCDEDBAADABABABC于点交作过截取上的延长线或的边在证明.ABCADE由预备定理得,BADEBBBADE所以因为.,CBAADEBAADAA所以又因为.CBAABC因此191图图ABCDEABC.,:.,两

6、三角形相似两三角形相似相等相等两角对应两角对应简述为简述为两个三角形相似两个三角形相似那么这那么这相等相等三角形的两个角对应三角形的两个角对应角与另一个角与另一个如果一个三角形的两个如果一个三角形的两个对于任意两个三角形对于任意两个三角形判定定理判定定理我们有我们有一般地一般地1.:.,CDACBCBCBDACDACABABC22011求证求证边上一点边上一点是是中中在在如图如图例例ABCD.,.,相相似似和和要要证证明明为为此此即即可可组组对对应应边边为为一一对对相相似似三三角角形形的的两两、和和、只只要要证证明明即即证证明明要要证证明明分分析析BDCABCCDBCBCACCDBCBCACC

7、DACBC2201图图.,CAABC21800所以是等腰三角形因为证明.,CDBCBCD21800所以也是等腰三角形因为.,BDCABCCDBCA故是公共角又因为则.,CDACBCCDBCBCAC2即因此ABCDE211图图.:.,CBDBECEBECDABC求求证证交交圆圆于于一一点点延延长长后后的的角角平平分分线线圆圆内内接接如如图图例例2111.,是是否否相相似似三三角角形形这这四四条条线线段段所所在在的的两两个个、应应考考虑虑要要证证分分析析CBDBECEBCBDBECEBCBDBEBDECEB、中中在在、,.,相相似似与与因因此此可可以以考考虑虑证证明明中中在在ECBEBDECB.,

8、BCEACE可得由已知证明.ABEBCEABEACE则故是同弧上的圆周角ABEACE与因为.,CBDBECEBECBEBDCEBBED因此故又因为181图图ABCDE1D2D1E2E?,.,的的证证明明思思路路证证明明它它定定理理照照判判定定你你能能否否依依似似两两个个三三角角形形是是否否一一定定相相时时满满足足这这两两个个条条件件夹夹角角相相等等即即两两边边对对应应成成比比例例而而且且的的公公共共角角和和是是的的任任意意一一个个位位置置对对于于中中在在图图以以发发现现可可的的思思路路从从运运动动变变化化中中找找不不变变性性沿沿着着探探究究1181ACAEABADADEABCADE221图图A

9、BCDEABC.:.,:CBAABCACCAABBAAACBAABC求证求证中中和和在在如图如图已知已知221.,:.,角角形形相相似似两两三三对对应应成成比比例例且且夹夹角角相相等等两两边边简简述述为为两两个个三三角角形形相相似似那那么么这这并并且且夹夹角角相相等等成成比比例例对对应应边边两两的的角角形形三三个个一一和和另另如如果果一一个个三三角角形形的的两两边边角角形形对对于于任任意意两两个个三三判判定定定定理理 2221图图ABCDEABC,DECAAEBAADACABABC连接连接截取截取上上或它们的延长线或它们的延长线、的边的边在在如图如图分析分析221ADEAA所所以以因因为为,.

10、CBA我我们们可可以以通通过过证证这这样样,ABCADEABC而而证证明明明明.CBA只要只要由预备定理可知由预备定理可知,.,/ADEABCBCDE就可以得到就可以得到证明证明.,ACAEABADCAAEBAADACCAABBA有有以及以及由条件由条件.,/,的的证证明明定定定定理理那那么么就就能能得得到到判判推推出出如如果果能能从从于于是是2BCDEACAEABAD.,.,.,/,们需要先证明下面命题们需要先证明下面命题我我这样这样是成立的是成立的这个推理的逆命题可能这个推理的逆命题可能因而我们猜想因而我们猜想有有时时当当理可知理可知的推的推理理比例定比例定成成段段由平行线分线由平行线分线

11、ACAEABADBCDE.,)(第三边第三边这条直线平行于三角形这条直线平行于三角形那么那么所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例边的延长线边的延长线或两或两的两边的两边如果一条直线截三角形如果一条直线截三角形引理引理./:.,:BCDEACAEABADACABEDABC求证求证且且上上、分别在分别在、中中如图如图已知已知231E.,/EACBCDED于点交作直线过证明?.为什么则ACAEABAD.,ACAEACAEACAEABAD所以因为.AEAE 则./.,BCDEDEDEEE所以重合与直线即直线重合与点因此点.的的证证明明过过程程请请同同学学们们写写出出判判定定定定理理 2ABCDE2

12、31图图.,.,.,奠奠定定了了基基础础引引理理的的证证明明为为解解决决问问题题显显然然助助问问题题称称为为引引理理数数学学家家把把这这种种辅辅问问题题产产生生一一个个原原问问题题的的辅辅助助往往往往会会据据理理依依的的推推某某个个步步骤骤为为了了寻寻找找有有时时步步步步有有据据应应当当做做到到在在探探究究数数学学问问题题过过程程中中.,.,.,设设条条件件所所指指的的图图形形相相同同确确定定所所作作图图形形与与题题件件明明图图形形符符合合命命题题已已知知条条然然后后证证题题结结论论的的图图形形往往往往先先作作出出一一个个满满足足命命应应用用同同一一法法证证明明问问题题时时是是一一种种间间接接

13、证证明明方方法法就就同同一一法法上上述述引引理理的的证证明明采采用用的的接接的的方方法法往往往往采采用用间间较较困困难难时时当当直直接接证证明明一一个个问问题题比比?,/,你你能能给给出出证证明明吗吗殊殊途途同同归归这这样样就就可可以以绕绕开开引引理理于于点点交交作作过过上上截截取取即即在在的的思思路路理理的的证证明明可可以以采采用用判判定定定定判判定定定定理理探探究究 EACBCDEDBAADAB12.:.,.,ABCDBEDABECBABDEBCABCEBDADDABC求证求证外外在在点点和和连接连接一点一点取取内任内任在在如图如图例例2413ABCDE.,DBCABDABCCBDEBCD

14、BEABCDBE,中与在证明241图图 1ABCDBE所以因为,EBCABD由已知条件有中与在,CBEABD.,CBEABDDABECBDBAEBC所以 .,ABCDBE知由判定定理式综合221 2.,ABBDBCBEABBCBDBE即则.,:,.,两两三三角角形形相相似似应应成成比比例例三三边边对对可可以以得得猜猜想想两两三三角角形形全全等等相相等等三三边边对对应应类类比比例例如如得得出出有有关关猜猜想想行行类类比比等等的的判判定定进进还还可可以以通通过过与与三三角角形形全全方方法法外外除除了了上上述述判判定定问问题题研研究究两两个个三三角角形形相相似似的的.,:.,两三角形相似两三角形相似

15、三边对应成比例三边对应成比例简述为简述为那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似应成比例应成比例三角形的三条边对三角形的三条边对个个一一另另和和边边三三的的形形角角三三如果一个如果一个对于任意两个三角形对于任意两个三角形判定定理判定定理3251图图ABCDEABC.:.,:ABCCBACAACBCCBABBACBAABC求证求证中中和和在在图图已知已知251于是可得于点交作过点上截取或延长线的边在证明,/,EACBCDEDBAADABABC.,ABCADEACAEBCDEABAD所以因为,BAAD.ABBAABAD,BCCBBCDECAACBCCBABBA所以又因为.CAACCAEA,.,CB

16、AADEACEACBDE故则.ABCCBA因此.:.,ABCDEFABCABCABCFED求证求证的中点的中点、三边三边分别是分别是、已知已知如图如图例例2614ABCDEF261图图的中位线是、因为线段证明ABCDEFDEF.,ABDECAFDBCEF212121所以,21ABDECAFDBCEF从而得的三边对应成与则ABCDEF.ABCDEF故.比例?,条件可以怎样简化条件可以怎样简化形相似形相似果要判定两个直角三角果要判定两个直角三角如如定三角形相似定理定三角形相似定理以上我们得到了三个判以上我们得到了三个判思考思考我我们们有有例例如如化化角角形形相相似似的的条条件件得得到到简简可可以以

17、使使判判定定两两个个直直角角三三这这种种关关系系特特殊殊的的边边角角关关系系三三边边长长满满足足勾勾股股定定理理等等直直角角直直角角三三角角形形有有一一个个角角为为与与一一般般三三角角形形相相比比我我们们知知道道,.,;,那那么么它它们们相相似似锐锐角角对对应应相相等等如如果果两两个个直直角角形形有有一一个个2.,理理角角形形相相似似的的另另一一个个判判定定可可引引出出直直角角三三定定定定理理类类比比与与直直角角三三角角形形全全等等的的判判此此外外;,们们相相似似那那么么它它锐锐角角对对应应相相等等如如果果两两个个直直角角形形有有一一个个定定理理1.,角角形形相相似似那那么么这这两两个个三三角

18、角边边对对应应成成比比例例三三角角形形的的斜斜边边和和一一条条直直和和一一条条直直角角边边与与另另一一个个如如果果一一个个直直角角形形的的斜斜边边定定理理ABCCBA271图图.:.,:CBARtABCRtCAACBAABCCCBARtABCRt求证求证中中与与如图如图已知已知090271,kCAACBAAB可设由已知证明.,CkAACCkAAB那么,222222CBkCABAkACABBC所以.,kCBBCCAACBAABCBkBC所以即222.CBARtABCRt得由判定定理3ABCDEH281图图 .;:.,HEBHDAHACBEBCADBEADHACBCABCBEAD上上求求证证的的交

19、交点点、是是边边上上的的高高边边和和中中是是分分别别、已已知知如如图图例例212815,中和在证明BECRtADCRt1.,.,ACBEBCADBCACBEADBECRtADCRtBCEACD即所以因为,BHDAHEBHDRtAHERt因为中和在2,BHDAHE所以.,HEBHHDAHHDHEBHAH即相似三角形的性质相似三角形的性质2.,.,.,面面积积等等所所具具有有的的关关系系、角角平平分分线线、中中线线、三三角角形形的的高高、周周长长如如两两个个素素考考察察与与三三角角形形相相关关的的元元条条件件下下相相似似的的个个三三角角形形们们可可以以在在两两我我地地一一般般结结论论可可以以得得出

20、出哪哪些些的的条条件件下下角角形形相相似似质质讨讨论论的的则则是是在在两两个个三三似似三三角角形形的的性性相相有有两两个个三三角角形形相相似似才才能能哪哪些些条条件件具具备备的的是是论论讨讨相相似似三三角角形形的的判判定定我我们们知知道道几几何何画画板板单单击击图图标标操操作作打打开开的的信信息息技技术术应应用用;等等于于相相似似比比和和对对应应角角平平分分线线的的比比都都、对对应应中中线线的的比比相相似似三三角角形形对对应应高高的的比比1:形形的的性性质质定定理理可可以以发发现现下下列列相相似似三三角角;于于相相似似比比相相似似三三角角形形周周长长的的比比等等2.于于相相似似比比的的平平方方

21、相相似似三三角角形形面面积积的的比比等等3ABCDABCD291图图,CBAABC2911 如图证明.,对应边上的高和分别是、设相似比为CBAABCDAADk.,BBCBAABC所以因为,090BDAADB又因为,DBAABD所以.kDAABDAAD因此.自自己己证证明明其其余余两两个个结结论论请请同同学学们们,CBAABC因为2,kACCACBBCBAAB所以.kCABCABACCBBAkACCBBACABCAB因此 221213kkkDAADCBBCDACBADBCSSCBAABC,AkCCACkBBCBkAAB则.,.,长长求这个正方形零件的边求这个正方形零件的边上上、顶点分别在顶点分别

22、在其余两个其余两个上上使正方形的一边在使正方形的一边在成正方形零件成正方形零件要把它加工要把它加工边上的高边上的高边边是一块钢板余料是一块钢板余料锐角三角形锐角三角形如图如图例例ACABBCcmADBCcmBCABC12243016.,.xcmEPNABCACABNPBCQMPQMN设正方形的边长为相交于点的高与边上、分别在、顶点上在边的正方形零件为加工成正方形解.,/ABCAPNBCPN所以因为.,.cmxxxBCPNADAE8241212解得即则ABCDPQMNE301图图?,.,你你想想到到了了哪哪些些元元素素系系呢呢相相似似比比有有联联些些元元素素是是否否与与三三角角形形的的这这元元素

23、素他他形形内内的的其其在在三三角角不不关关但但考考虑虑与与三三角角形形有有拓拓宽宽思思路路比比有有关关要要素素与与相相似似平平分分线线、周周长长、面面积积等等、内内角角、中中线线三三角角形形的的高高相相似似知知理理可可由由相相似似三三角角形形的的性性质质定定考考思思?系系积积比比与与相相似似比比有有什什么么关关、面面接接圆圆的的直直径径比比、周周长长比比两两个个相相似似三三角角形形的的外外问问题题1 .,.,09021311DBAABDDBBDCBAABCDAADCBAABC则、连接外接圆的直径和分别是、如图探究.,.,DDCDCDCCCBAABC所以而所以因为.DBAABD故 2311图图A

24、BDCO 1ABCDO,kBAABDAAD设,ADADO22的周长圆,DADAO22的周长圆.:kDAADOO的周长圆的周长圆.,2222DAOADO的面积圆的面积圆.:222kDAADOO的面积圆的面积圆:于是可得结论于是可得结论.比比的的平平方方似似外外接接圆圆的的面面积积比比等等于于相相等等于于相相似似比比径径比比、周周长长比比相相似似三三角角形形外外接接圆圆的的直直.?请请同同学学们们自自己己探探究究系系有有什什么么关关比比与与相相似似比比比比、周周长长比比、面面积积圆圆的的直直径径两两个个相相似似三三角角形形的的内内切切问问题题2.,21和问题和问题究问题究问题探探操作打开的几何画板操作打开的几何画板单击图标单击图标