基本不等式教案习题.doc

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1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如2012年福建T5，湖南T8等2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如2012年江苏T17等.归纳知识整合1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号探究1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：当ab时，取等号，即ab仅当ab时，取等号，即ab.2几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab2(a，bR)

2、；2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是2(简记：和定积最大)探究2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解例如，yx在x2时的最小值，利用单调性，易知x2时ymin.自测牛刀小试1已知m0，n0，且mn81，则mn的最小值为(

3、)A18B36C81 D243解析：选A因为m0，n0，所以mn2218.2若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1B1C3D4解析：选Cf(x)xx22，x2x20f(x)2 24当且仅当x2，即x3时，“”成立，又f(x)在xa处取最小值，所以a3.3已知x0，y0，z0，xy2z0则的()A最小值为8 B最大值为8C最小值为 D最大值为解析：选D.当且仅，即x2z时取等号4函数yx的值域为_解析：当x0时，x2 2；当x0，x2 2，所以x2.综上，所求函数的值域为(，22，)答案：(，22，)5在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两

4、点，则线段PQ长的最小值是_解析：由题意知：P，Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m0，n0，n，所以|PQ|24|OP|24(m2n2)416(当且仅当m2，即m时，取等号)故线段PQ长的最小值为4.答案：4利用基本不等式证明不等式例1已知a0，b0，ab1，求证：9.自主解答法一：a0，b0，ab1，112.同理，12.52549，当且仅当，即ab时取“”9，当且仅当ab时等号成立法二：111，a，b为正数，ab1，ab2，当且仅当ab时取“”于是4，8，当且仅当ab时取“”189，当且仅当ab时等号成立保持例题条件不变，证明： 2.证明：a0，b0，且ab1，

5、2.当且仅当a1，b1，即ab时“”成立利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等1已知a0，b0，c0，求证：abc.证明：a0，b0，c0，2 2c，2 2b，2 2a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.利用基本不等式求最值例2(1)(2012浙江高考)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6(2)已知a0，b0，a21，则a 的最大值为_自主解答(1)

6、由x3y5xy，得5(x0，y0)，则3x4y(3x4y)(1312)5.当且仅当，即x2y时，“”成立，此时由解得(2)a0，a ，当且仅当即时取等号a的最大值为.答案(1)C(2)应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)一正二定三相等“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2(1)函数ya1x(a0，a1)的图

7、象恒过定点A，若点A在直线mxny10(m，n0)上，求的最小值；(2)若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围解：(1)ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，A(1,1)又点A在直线mxny10(m0，n0)上，mn1(m0，n0)(mn)2224，当且仅当mn时，等号成立，的最小值为4.(2)abab3，又a，b(0，)，ab23.设t0，t22t30.t3或t1(舍去)ab的取值范围是9，)利用基本不等式解决实际问题例3为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数)如果不搞

8、促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？自主解答(1)由题意有14，得k3，故x4.故y1.5x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.基本不等式2 6，当且仅当t，即t2.5时等号成立故y27t27.527.5621.5.当且仅当t时，等号成立，即t2

9、.5时，y有最大值21.5.所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求.(4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.3某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000

10、件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解：(1)设每件定价为x元，依题意，有x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解

11、，等价于x25时，ax有解，x2 10(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元1个技巧公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等2个变形基本不等式的变形(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)3个关注利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因

12、是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 创新交汇基本不等式在其他数学知识中的应用1考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题2解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件典例(2012湖南高考)已知两条直线l1：ym和l2：y(m0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右

13、相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为()A16B8C8 D4解析数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，)内，而且xCxA与xBxD同号，所以，根据已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以2，由于m4，当且仅当，即2m14，即m时等号成立，故的最小值为28.答案B1本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，

14、考查了考生分析问题、解决问题的能力2解决本题的关键有以下几点(1)正确求出A、B、C、D四点的坐标；(2)正确理解a，b的几何意义，并能正确用A、C、B、D的坐标表示；(3)能用拼凑法将m(m0)化成利用基本不等式求最值的形式1已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A0B1C2D4解析：选D由题知abxy，cdxy，x0，y0，则4，当且仅当xy时取等号2若直线axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B.C. D.2解析：选C圆的直径是4，说明直线过圆心(1,2)，故ab1，当且仅当，即a2(1)，b2

15、时取等号3若x0，y0，且a恒成立，则a的最小值是_解析：由a，得a，令f(x，y)，则f(x，y) ，当且仅当xy时等号成立故a .答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1下列不等式一定成立的是()Alg(x2)lg x(x0) Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR) D.1(xR)2小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()AavBv C.v0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是()A.B1C4D84函数y(x1)的最小值是()A22 B22 C2 D25设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4

16、C4 D26已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面积分别 为，x，y，则的最小值是()A20 B18 C16 D19二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处8若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1 a2b22a3b33 2.9已知x0，y0，x2y2xy8，则x

17、2y的最小值是_三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知a0，b0，c0，d0.求证：4.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值12设a，b均为正实数，求证：ab2.1已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_解析：log2alog2blog2ab.log2alog2b1，ab2且a0，b0.3a9b3a32b222218，当且仅当a2b，3a9b的最小值为18.答案：182设a，b均为正实数，求证：ab2.证明：由于a、b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅当ab时等号成立，所以abab

18、2，当且仅当即ab时取等号3已知x，求f(x)4x2的最大值解：因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立4某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x4 000，得a.则S(x)(

19、a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)16080(2)4 160(x1)(2)804 160802 4 1601 6004 1605 760.当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1下列不等式一定成立的是()Alg(x2)lg x(x0) Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR) D.1(xR)解析：选C取x，则lglg x，故排除A；取x，则sin x1，故排除B；取x0，则1，故排除D.2(2012陕西高

20、考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()AavBvC.v Dv解析：选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为ab，所以全程的平均速度为va，即av0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是()A.B1C4D8解析：选C由a0，b0，ln(ab)0得故4.当且仅当ab时上式取“”4(2013淮北模拟)函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10，yx122 222，当且仅当x1，即x1时，取等号5设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：选C由0

21、得k，而24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.6(2013温州模拟)已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是()A20 B18C16 D19解析：选B由|cos 302得|4，SABC|sin 301，由xy1得xy.所以2(xy)22(522)18.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两

22、项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处解析：设x为仓库与车站距离，由已知y1；y20.8x费用之和yy1y20.8x2 8，当且仅当0.8x，即x5时“”成立答案：58若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1 a2b22a3b332.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab1，当且仅当ab时取等号，故正确；()2ab2224，当且仅当ab时取等号，得2，故错误；由于1，故a2b22成立，故正确；a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，ab1，ab1，又a2b22，a2b2ab1，a3b32，故错误；1112，当且仅当

23、ab时取等号，故正确答案：9(2013泰州模拟)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_解析：依题意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x2y4，当且仅当x12y1，即x2，y1时取等号，故x2y的最小值是4.答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知a0，b0，c0，d0.求证：4.证明：224(当且仅当ab，cd时，取“”)，故4.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x0，y0，xy2x8y2，即xy8，8，即xy64.当且仅当2x8y，即x16，y4时，“”成立xy的最小值为64.(2)

24、x0，y0，且2x8yxy0，2x8yxy，即1.xy(xy)10102 18，当且仅当，即x2y12时“”成立xy的最小值为18.12提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)

25、xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解：(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，则由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)取得最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时1

26、已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_解析：log2alog2blog2ab.log2alog2b1，ab2且a0，b0.3a9b3a32b222218，当且仅当a2b，3a9b的最小值为18.答案：182设a，b均为正实数，求证：ab2.证明：由于a、b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号3已知x，求f(x)4x2的最大值解：因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立4某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲

27、区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x4 000，得a.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)16080(2)4 160(x1)(2)804 160802 4 1601 6004 1605 760.当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米18